2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试(十三)文科数学

2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试（十三）
文科数学
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高二考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A {x |x 3n 1,n N}==-∈，B {6,=8，10，12，14}，则集合A B ⋂中元素的个数为( ) A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
正确理解集合A ，根据集合的交集运算，即可求解．
【详解】由题意，集合A {x |x 3n 1,n N}==-∈，B {6,=8，10，12，14}，
{}A B 8,14∴⋂=，
∴集合A B ⋂中元素的个数为2．
故选A ．
【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.已知复数z 满足(2)3i z i -=+，则||z =（ ）
B. 5
D. 10
【答案】C
【解析】
分析：将()23i z i -=+化为32z i
i
+-=，然后进行化简即可得到z=a+bi 的形式，再有模长公式计算即可．
详解：()23i z i -=+Q
2
2332z 13i i i i i i
++∴-===-
z 13i ∴=+
z ∴= 故选C
点睛：本题主要考查复数的运算和复数的模长． 3.下列函数为奇函数的是（ ）
A. y =
B. |sin |y x =
C. cos y x =
D. x x
y e e -=-
【答案】D 【解析】
函数y =
sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．
考点：函数的奇偶性． 【此处有视频，请去附件查看】
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3372S a a 18=+=，则1a (= ) A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】
试题分析：由等差数通项公式和前n 项和公式,又337218S a a =+=,可得()112332818a d a d +=+=，解得1
a 1,d 2==.故本题答案选A.
考点：等差数列的通项公式和前n 和公式.
5.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，
统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.
【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .
对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；
对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；
对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；
对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.
【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u r u u u r ，则ED =u u u r
（ ）
A. 1233
AD AB -u u u
r u u u r
B. 2133
AD AB +u u u
r u u u r
C. 2133
AD AB -u u u
r u u u r
D. 1233
AD AB +u u u
r u u u r
【答案】C 【解析】 【分析】
画出图形，以,?AB AD u u u v u u u v 为基底将向量ED u u u v
进行分解后可得结果．
【详解】画出图形，如下图．
选取,?AB AD u u u v u u u v
为基底，则()
211333
AE AO AC AB AD =
==+u u u v
u u u
v u u u v u u u v u u u v ， ∴()
121 333
ED AD AE AD AB AD AD AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v =-=-+=-． 故选C ．
【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
7.若变量,x y满足约束条件
20,
{0,
220,
x y
x y
x y
+≥
-≤
-+≥
则2
z x y
=-的最小值等于（）
A.
5 2 -
B. 2-
C.
3
2
- D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【详解】解：由变量x，y满足约束条件
20
220
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪-+≥
⎩
作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立
20
220
x y
x y
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得A（﹣1，
1
2
）．
∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）
15
22
-=-．
故选A．
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8.一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成
.已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为
1
.
2
若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域的概率为(
)
A.
38
B.
34
C.
67
D.
37
【答案】D 【解析】 【分析】
设全等矩形“显示池”的面积为S ，每一个深色区域的面积为x ，运用几何概率的公式，计算可得所求值． 【详解】设全等矩形“显示池”的面积为S ，
每一个深色区域的
面积为x ，则7x 1S 2=，可得x 1S 14=， 即有点B 落在深色区域内的概率为6x 136S 147
=⨯=， 故选D ． 本题考查
【点睛】本题主要考查了几何概率的应用题，注意运用面积这个测度，考查运算能力和题目的理解能力，属于基础题.
9.已知双曲线22
22x y C :l(a 0,b 0)a b
-=>>一个焦点为()F 2,0，且F 到双曲线C
的
渐近线的距离为1，则
双曲线C 的方程为( )
A. 2
2
y x 13
-=
B. 22x y 13
-=
C. 2
2
y x 14
-=
D. 22x y 14
-=
【答案】B 【解析】 分析】
根据题意，分析可得要求双曲线的焦点在x 轴上，且c 2=，设双曲线的方程为双曲线C ：
22
22x y l(a 0,b 0)a b
-=>>，求出其渐近线方程为ay bx 0±=，又由点F 到渐近线的距离为1，则有2
2
1a b
=+，解可得b 的值，计算可得a 的值，将a 、b 的值代入双曲线方程即可得答案．
【详解】根据题意，要求双曲线C 的中心为原点，点()F 2,0是双曲线C 的一个焦点，
即双曲线的焦点在x 轴上，且c 2=，
设双曲线C ：22
22x y l(a 0,b 0)a b
-=>>其渐近线方程为b y x a =±，即ay bx 0±=，
若点F 到渐近线的距离为1，则有有2
2
1a b
=+，
解可得b 1=，则222a c b 3=-=，
则要求双曲线的方程为：2
2x y 13
-=；
故选B ．
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程的求解，以及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理准确运算是解答的关键，同时属于双曲线的焦点的位置，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 10.《九章算术》
给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除111ABC A B C -中，111AA //BB //CC ，1AA a =，1BB b =，
1CC c =，两条平行线1AA 与1BB 间的距离为h ，直线1CC 到平面11AA B B 的距离为h'，则该羡除的体积
为()hh'
V a b c .6
=
++已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为( )
A. 33
B.
53
C.
43
D. 3【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图求出羡除的体积()hh'
V a b c 6
=
++中所需数据，代入得答案． 【详解】由三视图还原原几何体知，羡除111ABC A B C -中，
AB//EF ，底面ABCD 是矩形，AB CD 2==，EF 1=，
平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ，CD 间的距离h AD 2==， 如图，取AD 中点G ，连接EG ，则EG ⊥平面ABCD ， 由侧视图知，直线EF 到平面ABCD 的距离为h'1=，
∴该羡除的体积为()()hh'125V a b c 221663
⨯=
++=++=． 故选B ．
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．
11.设点P 在曲线y lnx =上，点Q 在曲线1
y 1(x 0)x
=->上，点R 在直线y x =上，则PR RQ +的最小值为( ) A.
)2
e 12
- )2e 1-
C.
22
2
【答案】D 【解析】 【分析】
求出两曲线对应函数的导数，求得切线的斜率，由与直线y x =的平行，可得切点，由点到直线的距离公式可得最小值，进而得到所求和的最小值. 【详解】由题意，函数y lnx =的导数为1y'x
=
， 设曲线y lnx =与直线y x =的平行线相切的切点为()m,n ，
可得
11m =，即m 1=，可得切点为()1,0，此时PR 102
2
-=，
1y 1(x 0)x =-
>的导数为21y'x
=， 设曲线1
y 1(x 0)x
=->与直线y x =的平行线相切的切点为()s,t ，
可得21
1s =，即s 1=，可得切点为()1,0，
此时RQ 的最小值为
102
2
-=
， 则P ，Q 重合为()1,0，R 为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，
PR RQ +取得最小值为2．
故选D ．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程，以及合理利用点到直线的距离公式，准确求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题．
12.在等腰直角ABC V 中，AB AC ⊥，BC 2=，M 为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上一个动点，
ABD V 沿AD 翻折使BD DC ⊥，点A 在平面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法
错误的是( )
A. 线段NO 为定长
B. AMO ADB 180o ∠∠+>
C. 线段CO 的长CO 2⎡∈⎣
D. 点O 的轨迹是圆弧
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，作出图形，直角三角形的性质，判定A ，C ，D 正确，即可得出结论． 【详解】如图所示，
对于A 中，在AOC V 为直角三角形，ON 为斜边AC 上的中线，1
ON AC 2
=
为定长，即A 正确； 对于C 中，点D 在M 时，此时点O 与M 点重合，此时AO 1=，CO 1=，此时CO 2⎡∈⎣，即正确； 对于D ，由A 可知，根据圆的定义可知，点O 的轨迹是圆弧，即D 正确；
故选B ．
【点睛】本题主要考查了平面图形的翻折，以及空间几何体的结构特征，其中解答中合理完成平面图象的翻折，以及熟练应用空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项1a 1=，且满足：n n 12S a 1+=-，则345a a a ++=___． 【答案】117 【解析】
试题分析：∵121n n S a +=-，∴
，∴，，，，
，故
，故答案
为117.
考点：数列递推式.
14.过定点()F 1,0且与直线1x =-相切的动圆圆心M 的轨迹方程为______． 【答案】2
y 4x = 【解析】 【分析】
根据题意，结合抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，由此不难求出它的轨迹方程．
【详解】设动圆的圆心为()M x,y
Q 圆M 过点()F 1,0且与直线l ：x 1=-相切
∴点M 到F 的距离等于点M 到直线l 的距离．
由抛物线的定义，得M 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线 设方程为2
y 2px(p 0)=>，则
p
12
=，2p 4= M ∴的轨迹方程是2
y 4x =
故答案为2y 4x =
【点睛】本题主要考查了给出动圆经过定点并且与定直线相切，求动圆圆心的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题．
15.若将函数()f x sin2x cos2x =+的图象向右平移φ个单位后所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值为______． 【答案】38
π 【解析】
试题分析：()sin 2cos 2)4f x x x π=+=+，向右移ϕ个单位得())]4
g x x π
ϕ=-+
2)4x πϕ=+-，由题意有2,42k k Z ππϕπ-=+∈，28k π
ϕπ=--()k Z ∈，1k =-时，ϕ取得
最小正值38
π
．
考点：三角函数图象的平移与对称性．
16.某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门,,A B C 实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A 部门工作，安排方法有______种(用数字作答)． 【答案】24 【解析】 【分析】
根据题意，设4名毕业生为甲、A 、B 、C ，分2种情况讨论：1（）甲单独一人分配到B 或C 部门，2（）甲和其他人一起分配到B 或C 部门，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，设4名毕业生为甲、A 、B 、C ，分2种情况讨论： （1）甲单独一人分配到B 或C 部门，则甲有2种情况，
将A 、B 、C 分成2组，有13C 3=种分组方法，再将2组全排列，分配到其他2个部门，有2
2A 2=种情况，
则此时有23212⨯⨯=种安排方法； 2（）
甲和其他人一起分配到B 或C 部门，
在A 、B 、C 中任选1人，与甲一起分配到B 或C 部门，有1
3C 26⨯=种情况，
将剩余的2人全排列，分配到其他2个部门，有2
2A 2=种情况，
则此时有6212⨯=种安排方法；
则一共有121224+=种不同的安排方法； 故答案为24
【点睛】本题主要考查分类计数原理与排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，认真审题、分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.如图，在ABC V 中，
已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=o ，22
sin BAC 3
∠=，AB 32=，AD 3=．
()1求BD 长； ()2求cosC
【答案】（13（26
【解析】 【分析】
()1由已知利用诱导公式可求cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可计算BD 的长．
()2由()1可求cos BAD ∠的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠，由正弦定理可求
sin ADB ∠的值，根据诱导公式可求cosC 的值．
【详解】（1）由题意，因为DAC 90∠=o ，
πsin BAC sin BAD cos BAD 2∠∠∠⎛⎫
∴=+= ⎪⎝⎭，22cos BAD ∠∴=，
在ABD V 中，由余弦定理得，222BD AB AD 2AB AD cos BAD ∠=+-⋅⋅， 即222
BD 189232333
=+-⨯⨯⨯
=，得BD 3.= ()2由2
2cos BAD ∠=，得1sin BAD 3
∠=
， 在ABD V 中，由正弦定理，得：
BD AB
sin BAD sin ADB
∠∠=．
132AB sin BAD 63sin ADB BD 33
∠∠⨯
⋅∴==
=， πADB DAC C C 2∠∠=+=
+Q ，6
cosC .∴= 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.如图所示，在矩形ABCD 中，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到'D EC ∆的位置，使二面角'D EC B --是直二面角.
（1）证明:'BE CD ⊥；
（2）求二面角'D BC E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（23
【解析】
试题分析：（1）由题意可得,BAE CDE ∆∆是等腰直角三角形，所以BE EC ⊥，因为平面'D EC ⊥平面BEC ，根据面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面'D EC ，可得'BE CD ⊥；
（2）以,EB EC 所在的直线为x 轴、y 轴，过E 垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，可得平面BEC 的法向量为
()10,0,1n =u r ;设平面'D BC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r
，列方程组赋值求得其坐标，根据向量的夹角公式
可得二面角'D BC E --的余弦值.
试题解析：（1）22,AD AB E ==Q 是AD 的中点，,BAE CDE ∴∆∆是等腰直角三角形，易知，90BEC ∠=o ,
即BE EC ⊥.Q 又平面'D EC ⊥平面BEC ,面'D EC ⋂面BEC EC BE =∴⊥面'D EC ,又'CD ⊂面
','D EC BE CD ∴⊥
.
（2）分别以,EB EC 所在的直线为x 轴、y 轴，过E 垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，
则)()()
22222,0,0,2,0,'0,,2,2,0,'0,2222B
C D BC D C ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u u r . 设平面BEC 的法向量为()10,0,1n =u r ;平面'D BC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r
.由
()22222122212212
220,1,1,1,1·0
{{·2230,cos ,·'0
·x x n n BC n n y z n n n D C n n -+====⇒-=∴〈〉===u u r
u u r u u u r
u r u u r u r u u r u u r u u u u r
u r u u r 取得∴二面角'D BC E --的余弦值为3
考点：空间中直线与平面的垂直关系及二面角的求法.
19.某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.
整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[
)50,60，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下： 分数 [)0,30
[)30,50
[)50,60
满意度指数 0
1
2
（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；
（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由. 【答案】（I ）20人；（II ）0.3；（III ）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）对A 餐厅“满意度指数”为0，是指分数在[)0,30内，由频率分布直方图求出 [
)0,30内的频率，再求出人数；（2）分别求出对A,B 餐厅评价“满意度指数”为0,1,2时的概率，对A 餐厅评价的“满意度指数”比对A 餐厅评价的“满意度指数”高包括：对A 餐厅评价的“满意度指数”为1，对B 餐厅评价的“满意度指数”为0；对A 餐厅评价的“满意度指数”为2，对B 餐厅评价的“满意度指数”为0；对A 餐厅评价的“满意度指数”为2，对B 餐厅评价的“满意度指数”为1，由相互独立事件计算公式，求出结果；（3）从学生对A,B 餐厅评价的“满意度指数”期望看，分别求出分布列，算出期望，得出结果. 试题解析：
（Ⅰ）由对A 餐厅评分的频率分布直方图，得
对A 餐厅“满意度指数”为0的频率为()0.0030.0050.012100.2++⨯=， 所以，对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数为1000.220⨯=.
（Ⅱ）设“对A 餐厅评价‘满意度指数’比对B 餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C .
记“对A 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1A ；“对A 餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A ；“对
B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B .
所以()()10.020.02100.4P A =+⨯=，()20.4P A =， 由用频率估计概率得：()02350.1100P B ++=
=，()21540
0.55100
P B +==.
因为事件i A 与j B 相互独立，其中1,2i =，0,1j =. 所以()()102021P C P A B A B A B =++
()()()()()()102021P A P B P A P B P A P B =++
0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=
所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3. （Ⅲ）如果从学生对A ，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：
A 餐厅“满意度指数”X 的分布列为：
B 餐厅“满意度指数”Y
分布列为：
因为()00.210.420.4 1.2E X =⨯+⨯+⨯=；
()00.110.5520.35 1.25E Y =
⨯+⨯+⨯=，
所以()()E X E Y <，会选择B 餐厅用餐.
注：本题答案不唯一.只要考生言之合理即可.
20.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12l l //，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）由
1
2
c a =，3b =及222c a b =-，可得方程； （2）易知直线MN 不能平行于x 轴，所以令直线MN 的方程为1x my =-与椭圆联立得
()
2
234690m
y my +--=，令直线PQ 的方程为1x my =+，可得MN PQ =，进而由MNPQ Y 是菱形，
则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u v u u u v
，于是有12120x x y y +=由韦达定理代入知无解. 试题解析： （1）由已知，得
1
2
c a =，3b =， 又222c a b =-， 故解得2
2
4,3a b ==，
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）由（1），知()11,0F -，如图，
易知直线MN 不能平行于x 轴. 所以令直线MN 的方程为1x my =-，
()11,M x y ，()22,N x y . 联立方程2234120,
1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩
，
得(
)
2
2
34690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，122
9
34
y y m -=+.
此时MN =
同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，
()33,P x y ，()44,Q x y ，
此时342634m y y m -+=+，342
9
34
y y m -=+，
此时PQ =
.
故MN PQ =.
所以四边形MNPQ 是平行四边形.
若MNPQ Y 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u v u u u v
， 于是有12120x x y y +=. 又()()121211x x my my =--，
()212121m y y m y y =-++，
所以有()
()2
1212110m y y m y y +-++=，
整理得到22
125
034
m m --=+， 即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形.
21.已知函数2()2ln 2(0)f x x mx x m =-+> （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当2
m ≥
时，若函数()f x 的导函数'()f x 的图象与x 轴交于,A B 两点，其横坐标分别为1212,()x x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且12,x x 恰为函数2()ln h x x cx bx =--的零点，求证：
1202
()'()ln 23
x x h x -≥-+
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对m 进行讨论可得函数单调性；（2）由函
数的导函数可知，1212,1x x x x +==又是()2
ln h x x cx bx =--的零点，代入相减化简得
()1
21212
ln x x b c x x x x =-+-，对()h x 求导，()()120'x x h x -= 1
2112
2
12ln 1x x x
x x x -⋅-+.令()1201x t t x =<<，求得函数()12
2ln ln213
t G t t t -=⋅
--++的最小值为.不等式得证． 试题解析：（1）由于()2
2ln 2f x x mx x =-+的定义域为()0,+∞，则()(
)221
'x mx f x x
-+=
.对于方程
210x mx -+=，其判别式24m ∆=-.当240m -≤，即02m <≤时，()'0f x ≥恒成立，故()f x 在
()0,+∞内单调递增.当2
40m ->，
即2m >，方程2
10x mx -+=
恰有两个不相等是实x =令()'0f x >
，得02m x <<
或2
m x +>，此时()f x 单调递增；令()'0f x <
，得
x <<
()f x 单调递减. 综上所述，当02m <≤时，()f x 在()0,+∞内单调递增；当2m >时，()f x
在
⎝⎭
内单调递减，在⎛ ⎝⎭
，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
内单调递增. （2）由（1）知，()(
)221
'x mx f x x
-+=
，所以()'f x 的两根1
x ，2
x 即为方程2
10x
mx -+=的两根.因
为2
m ≥
，所以240m ∆=->，12x x m +=，121x x =.又因为1x ，2x 为()2
ln h x x cx bx =--的零点， 所以211
1ln 0x cx bx --=，222
2ln 0x c bx --=，两式相减得()()()1
1212122
ln
0x c x x x x b x x x --+--=，
得()1
21212
ln
x x b c x x x x =-+-.而()1
'2h x cx b x =--，所以()()120'x x h x -= ()120012x x cx b x ⎛⎫---=
⎪⎝⎭ ()()()121212121212ln 2x x x x c x x c x x x x x x ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥--+-+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()121
1222ln x x x x x x -=-=+ 12112212ln 1
x x x x x x -⋅-+. 令
1
2
(01)x t t x =<<，由()2212x x m +=得22
212122x x x x m ++=，因为121x x =，两边同时除以12x x ，得212t m t ++=
，因为m ≥，故152t t +≥，解得102t <≤或2t ≥，所以102t <≤.设()12ln 1t G t t t -=⋅-+，所以()()()2
2
1'01t G t t t --=<+，则()y G t =在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦上是减函数，所以()min 12ln223G t G ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
，
即()()120'y x x h x =-的最小值为2
ln23
-+. 所以()()1202
'ln23
x x h x -≥-
+. 22.已知直线l
的参数方程为x 4t 2
y t 2⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极
坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ4cos θ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．
()1求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；
()2动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求ABP V 的面积的最大值．
【答案】(1)
.
(2)
2+【解析】
分析：(1)先根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线l
的参数方程代入圆C 方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦AB 的长；(2)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.
详解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=
所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为()2
224x y -+= 将直线l 的参数方程代入圆()2
2:24C x y -+=
，并整理得20t +=，
解得120,t t ==-所以直线l 被圆C
截得的弦长为12t t -=（2）直线l 的普通方程为40x y --= . 圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数）， 可设圆C 上的动点()22cos ,2sin P θθ+，
则点P 到直线l
的距离2cos 4d πθ⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭ 当cos 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭时，d 取最大值，且d
的最大值为2+
所以(
1222ABP S ∆≤⨯=+ 即ABP ∆
的面积的最大值为2+.
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
.(t 是参数，t 可正、可负、可为0) 若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则
(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α).
(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.
(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122
t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +.
(4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.
23.已知函数()f x 2x 22x 3=-++．
()1求不等式()f x 15<的解集；
()2若()2f x a x x ≥-+对于x R ∈恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）74,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）194a ≤ 【解析】
分析：（1）根据零点分段法去掉函数()f x 的绝对值符号，分段化简不等式求解即可.
（2）将恒成立问题转化为2()a f x x x ≤+-恒成立，即{}
2min ()a f x x x ≤+-，再根据三角不等式和二次函数的最值求解.
详解：（1）∵()341,2322235,1241,1x x f x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩
， 当32x ≤-
时，有4115x --<，解得4x >-，即342
x -<≤-； 当312x -<<时，515<恒成立，即312
x -<<； 当1x ≥时，有4115x +<，解得72x <，即712x ≤<. 综上，解集为74,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
. （2）由()2f x a x x ≥-+恒成立得22223a x x x x ≤-+++-恒成立， ∵()()222322235x x x x -++≥--+=，当且仅当()()22230x x -⋅+≤，即312x -
≤≤是等号成立； 又因为214x x -≥-，当且仅当12
x =时等号成立， 又因为13,122⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以21192223544x x x x -+++-≥-=，所以194
a ≤.
点睛：含有绝对值不等式的解法：
（1）定义法；
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）； （4）图象法或数形结合法；。