数学---浙江省温州中学2016-2017学年高二下学期期中考试

浙江省温州中学2016-2017学年高二下学期期中考试
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：
柱体的体积公式： 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式：
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
台体的体积公式： 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，表
示台体的高
球的表面积公式：
球的体积公式： 其中表示球的半径 第I 卷(选择题 共30分)
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。

）
1．设.R a ∈则
”“01
1
2<+--a a a 是“1<a ”成立的（ ▲ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既非充分也非必要条件 2．若集合{
}2015
*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m N n N =++++++=∈∈ ，则集合A
中的元素个数是（ ▲ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
3．在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，若
1566
AP AD AB =+ ，则()BC tPB t R +∈
的取值范围是（ ▲ ）
A ．[1,)+∞
B
．)+∞ C
． D ．
)+∞ 4．设是两条异面直线，下列命题中正确的是 （ ▲ ） A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个 B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个 C ．m 与n 所成的角的范围是()π，0
V Sh =S h 13
V Sh =S h )(312211S S S S h V ++=h 24S R π=33
4R V π=R ,m n
D ．过空间一点P 与m 、n 均平行的的平面有且只有一个 5．当4
x π
=
时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3(
)4
y f x π
=-是
（ ▲ ） A ．奇函数且图像关于点(
,0)2
π
对称 B ．偶函数且图像关于点(,0)π对称
C ．奇函数且图像关于直线2
x π
=
对称 D ．偶函数且图像关于点(
,0)2
π
对称
6．设实数c b a ,,满足,0
)
(252⎪⎩
⎪⎨⎧>=+≥a ac b c a b 若b a c b a +++485的最大值和最小值分别为m M ,，则m M +的值为（ ▲ ）
A ．9
B ．
3
32 C ．349 D ．19
7．点F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 是准线，A 是抛物线在第一象限内的点，
直线AF 的倾斜角为60
，AB l ⊥于B ，ABF ∆
p 的值为（ ▲ ）
A
．
2
B ．1 C
D ．3
8．定义点),(00y x P 到直线)0(0:22≠+=++b a c by ax l 的有向距离为：
2
2
00b
a c by ax d +++=
.已知点1P 、2P 到直线l 的有向距离分别是1d 、2d .以下命题正确的是
（ ▲ ）
A ．若121d d ==，则直线1P 2P 与直线l 平行
B ．若121,1d d ==-，则直线1P 2P 与直线l 垂直
C ．若120d d +=，则直线1P 2P 与直线l 垂直
D ．若120d d ⋅≤，则直线1P 2P 与直线l 相交
9．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设
,,,,n n n n n n n
b a b
c a a b ≤⎧=⎨
>⎩若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*
n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ▲ ）
A ．45-≤≤-k
B ．34-≤≤-k
C ．35-≤≤-k
D ．4-=k
10．已知函数()x f 为R 上的奇函数，当0>x 时，
)cos 3cos 2cos (2
1
)(ααα++++=
x x x f (παπ≤≤-),若对任意实数 恒成立都有)()3(,x f x f R x ≤-∈,则实数α取值范围是（ ▲ ）
A ． ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
-32,ππ B ． ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-65,65ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65 D ． ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-32,32ππ 第Ⅱ卷（非选择题，共70分）
二、填空题（本题共7道小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分）
11．一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方
形边长都为1），则该多面体的体积为 ▲ ，表面积为 ▲ ．
12．函数44()sin cos f x x x =+的最小正周期是 ▲ ；单调递增区间是 ▲ .
13．若变量,x y 满足20
2300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y
+的最大值为 ▲ ，
_____2
1
的取值范围-+x y ▲ . 14．已知4316a b
a -=，21log a a b
+=，则a = ▲ ；b = ▲ .
15．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐
近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
OP OA OB λμ=+u u u r u u r u u u r ，()4
,25
R λμλμ=∈，则双曲线的离心率e 的值是 ▲ .
16．已知点()()1,0,1,0A m B m -+，若圆:上存在一点，使
得，则正实数．．．的最小值为 ▲ ．
17．记集合{}8,6,4,2,0=P ,{}
P a a a a a a m m Q ∈++==321321,,,10100，将集合Q 中的
所有元素排成一个递增数列，则此数列第68项是 ▲
三、解答题（本大题共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：
C 22
88310x y x y +--+=P 0PA PB ⋅=
m
18．（8分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足
sin sin sin sin A C a b
A B c
--=+，
b =21
cos 28
C =
． （Ⅰ）求B ，a 的值； （Ⅱ）若6
A π
>
，如图，D 为边BC 中点，P 是边AB 上动点，求CP PD +的最小
值．
19．（9分）已知f n (x)=a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，且f n (-1)= (-1)n ·n ，n=1，2，3，….
(Ⅰ) 求321,,a a a ；
(Ⅱ) 求数列{n a }的通项公式；
(Ⅲ) 当7k >且N *k ∈时，证明：对任意n ∈N *都有
2
3
12121212121>+⋯++++++-++nk n n n a a a a 成立．
20．（9分）如图，在正三棱柱DEF ABC —中，
.1,2==AD AB P 是CF 的沿长线上一点，.t FP =过 P B A ,,三点的平面交FD 于M ，交FE 于.N
（Ⅰ）求证：MN ∥平面CDE ；
（Ⅱ）当平面⊥PAB 平面CDE 时，求t 的值.
21．（9分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为1
2，
直线1y =与C 的两个交点间的距离为3
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）分别过12F F 、作12l l 、满足12l l //，设12l l 、与C 的上半部分分别交于A B 、两点，
求四边形21ABF F 面积的最大值.
22．（10分）已知函数2()f x ax x x b =+-
（1）当1-=b 时，若不等式()21f x x --≥恒成立，求实数a 的最小值； （2）若0<a ，且对任意[]
2,1∈b ，总存在实数m ，使方程1()4
f x m -=
在[]3,3-上
有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：1-12、CADAC DBACD 二、填空题：11、
159,568 12、2
π [,]()242k k k Z πππ-∈ 13、8，1[3,]2
-- 14、3，3log 16 15、3119
(
,]106
16、4 17 、464 三、解答题 18．解（Ⅰ）
sin sin sin sin A C a c A B a b
--=
++a b
c -=， 化简得2
2
2
a c
b a
c +-=，
所以2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，3B π=．
由21cos sin 28C C =
⇒=
由
3sin sin c b c C B
=⇒=． 由2
2
2
b a
c ac =+-，得
2793a a =+-，2320a a -+=，
1a =或2a =；
（Ⅱ）由6
A π
>
知2a =，
作C 关于AB 的对称点'C ， 连',','C D C P C B ，
22222'(')'1227C D BD BC BD BC =++⋅=++=
''CP PD C P PD C D +=+≥=
当',,C P D 共线时取等号，
故CP PD +
19. 解：(Ⅰ) 由11(1)1f a -=-=-得11a =，由212(1)2f a a -=-+=得23a =， 又3123(1)3f a a a -=-+-=-，所以35a =；……………………4分
(Ⅱ) 由题得：123(1)(1)(1)n n n n f a a a a n -=-+-++-=-⋅
1
1
11231(1)(1)
(1)
(1)n n n n f a a a a n -----=-+-++-=-⋅- ，2n ≥
两式相减得：1(1)(1)(1)(1)(1)(21)n n n n n a n n n --=-⋅---=--
得当2n ≥时，21n a n =-，又11a =符合，所以21n a n =-（n ∈N *）．…………9分 (Ⅲ) 令12
n n a b n +==
则12111111
121
111n n n nk S b n n n nk b b b ++-=
=++++++-++++ ……11分 ∴111111112()()()()112231S n nk n nk n nk nk n
=++++++++-+-+-- …………(*)
当0,0x y >>
时，x y +≥
11x y +≥ ∴11()()4x y x y ++≥ ∴
114
x y x y
++≥, 当且仅当x y =时等号成立． 上述(*)式中，7k >，0n >，1,2,,1n n nk ++- 全为正，所以
44444(1)
21122311
n k S n nk n nk n nk nk n n nk ->
++++=
+-++-++--++- ∴2(1)2(1)223
2(1)2(1)1117121k k S k k k n
-->
>=->-=++++-
，得证． …………15分 20．（Ⅰ）因为AB ∥DE ，AB 在平面FDE 外，所以AB ∥平面FDE ；…………2分
MN 是平面PAB 与平面FDE 的交线，所以AB ∥MN ，故MN ∥DE ； (4)
分
而MN 在平面CDE 外，所以MN ∥平面.CDE ……6分
注：不写“AB 在平面FDE 外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、
算结果这四个步骤是否正确来评分.
（Ⅱ）解法一：取AB 中点G 、DE 中点H 则由GH ∥PC 知H G C P ,,,在同一平面上，
并且由PB PA =知.AB PG ⊥而与（Ⅰ）同理可证AB 平行于平面PAB 与平面CDE
的交线，因此，PG 也垂直于该交线，但平面⊥PAB 平面CDE ，所以⊥PG 平面CDE ，
∴CH PG ⊥…………10分
于是，CGH ∆∽PCG ∆
∴
GH
CG
CG PC =…………12分
即
.2,13
3
1==+t t …………14分 （Ⅱ）解法二：如图，取AB 中点G 、DE 中点H . 以G 为原点，GB 为x 轴、GC 为
y 轴、GH 为z 轴建立空间直角坐标系.
则在平面PAB 中,)1,3,0(),0,0,1(t P B +， 向量).1,3,0(),0,0,1(t +==
设平面PAB 的法向量),,(111,z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n GB n 即⎩⎨⎧=++⋅=⋅0
)1(30
1111t z y x
得)3,1,0(1-+=t n ……………………9分
在平面CDE 中,)0,3,0(),1,0,0(C H ，向量).0,0,1(),1,3,0(==-=GB HE CH
设平面CDE 的法向量),,(2222z y x n =，由⎩⎨⎧=⋅=+-⋅0
10
)3(222x z y
得)3,1,0(2=n ……………………12分
平面⊥PAB 平面CDE ，021=⋅∴n n ，即.2,031=∴=-+t t (14)
分
21、
（Ⅰ）易知椭圆过点，所以228113a b +=， ① ………… 2分
又
1
2
c a =， ② ………… 3分 222a b c =+， ③ ………… 4分
①②③得2
4a =，2
3b =，
所以椭圆的方程为22
143
x y +=. ………… 6分 （Ⅱ）设直线1:1l x my =-，它与C 的另一个交点为D .
与C 联立，消去x ，得22(34)690m y my +--=， ………… 7分
2144(1)0m ∆=+>.
2
34
AD
m
=
+
………… 9分
又
2
F到
1
l
的距离为d=………… 10分
所以
2
ADF
S
∆
=. ………… 11分
令1
t=≥，则
2
12
1
3
ADF
S
t
t
∆
=
+
，所以当1
t=时，最大值为3. ………… 14分
又
2
21
2111
111
()()
222ADF
ABF F
S BF AF d AF DF d AB d S
∆
=+⋅=+⋅=⋅=
四边形
所以四边形
21
ABF F面积的最大值为3. ………… 15分22. （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f(x)≥﹣2x﹣1恒成立，即为ax2≥﹣x|x+1|﹣2x-1，当x=0时，0＞﹣1成立；
当x≠0时，a≥
2
211
x x x
x
---+，令g(x)=
2
211
x x x
x
---+，
即有g(x)=
2
2
513
,1,0
42
511
,1
42
x x
x
x
x
<
-+-≠
-+-
⎧⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎩⎝⎭
≥
，
当x≥﹣1，x≠0时，x=2
3
-时，g(x)取得最大值
5
4
；当x＜﹣1时，x=﹣2时，g（x）取得
最大值5
4
．则有g(x)的最大值为5
4
．即有a≥
5
4
，则a的最小值为5
4
；……… 7分
（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程f（x）=m±1
4
在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．而f(x)=
()
()
2
2
1,
1,
a x x
b x b
a x x
b x b
⎧+-
⎪
⎨
-+<
⎪⎩
≥
，
（1）当a＜﹣1时，f(x)在(-∞，()
21
b
a
-
)递增，在(()
21
b
a
-
，+∞)递减．
方程f(x)=m±
1
4
在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；………………………9分
（2）当a=﹣1时，f(x)在（-∞，
4
b）递增，在（
4
b，+∞）递减，
方程f(x)=m±1
4
在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；………………………11分
（3）﹣1＜a ＜0时，①当
()
21b
a +＜
b ，即1
02a -<≤，f （x ）在(-∞，()21b
a -)递增，在
(
()
21b a -，b)递减，在（b ，+∞）递增．又1≤b≤2， 1
02
a -<≤，2[()21b
a --]﹣
b ＞﹣3，
要使方程f (x )=m ±1
4
在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．则f (()21b a -)﹣f (b )＞12，∀b ∈
[1，2]，都有a (9﹣b 2)＞3b ﹣172
，b 2[()141a -﹣a ]＞12．当a (9﹣b 2)＞3b ﹣17
2，即a ＞
2
617182b b --，令6b ﹣17=t ∈[﹣11，﹣5]，g(b )=
2
617182b b --=1835
34
t t
--，当t =﹣5即b =2时，g(x )max =
﹣
12
，即有a ＞﹣
12
，当b 2[
()
141a -﹣a ]＞
12
．则4a 2﹣2a ﹣1＞0，解得
a 4a 412
＜a 4
；……………………13分
②当
()
21b
a +＞
b ，即﹣1＜a ＜﹣12，f （x ）在(-∞，()21b a -)递增，在(21b a -，()21b
a +)
递减，在(
()
21b a +，+∞)递增．∀b ∈[1，2]，
()
21b a +＜3，f (3)﹣f (
()
21b a +)=9(a +1)
﹣3b +
()241b a +＞
12
，当()
21b a +＜3，∀b ∈[1，2]恒成立，解得a ＞﹣
2
3
，当9(a +1)﹣3b +()
2
41b a +＞
12，∀b ∈[1，2]恒成立，取b =2代入得a ＞﹣12
或a ＜﹣79．所以无解． 14
分
综上可得，a 的取值范围为(﹣
12
，
14
)．………………………………………15分。