高三数学高效课堂资料39等差数列与等比数列的综合应用导学案

高三数学高效课堂资料
山东省昌乐及第中学高三数学
《等差数列与等比数列的综合应用》理科导学案
使用说明
1.先仔细阅读教材必修
5,再思考知识网络构建所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，
画出知识树；规范完成探究部分，并总结规律方法。

2.激情投入、高效学习，培养扎实严谨的科学态度.
一．学习目标
1、灵活运用等差等比数列的定义、公式、性质解决综合问题。

2. 通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。

二．考点自测1.已知数
n a 的前n 项和2
9n
S n
n ，第k 项满足5
8k
a ，则k=
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
2.已知
a b c d ，，，成等比数列，且曲线
2
23y x
x 的顶点是()b c ，，则ad 等于
Ａ．3
Ｂ．2
Ｃ．1
Ｄ．
2
3. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n
a a 为递减数列，则（
）
A ．
0d B ．0d
C ．10a d
D ．10
a d
4.已知等差数列
{}n a 的公差1d ,前n 项和为n S .若131,,a a 成等比数列,则1a =
三．知识网络构建
数列综合应用包括：
①等差数列与等比数列的综合
②数列与函数③数列与不等式④数列与解析几何
我的知识树
四．典例探究
考点一等差数列与等比数列的综合问题
例题1.【例1】已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
小结：
考点二数列在实际问题中的应用
【例2】(2012·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年
初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出a n＋1与a n的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
小结：
考点三数列与函数、不等式的综合应用
【例3】设数列{a n}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(a n－a n＋1＋a n＋
2)x＋a n＋1cos x－a n＋2sin x满足f′π
2
＝0.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝，求数列{b n}的前n项和S n.
小结：
五．学后反思
（1）知识方面
（2）数学思想及方法方面
六．当堂检测
1.在函数y=f （x ）的图象上有点列
{x n ，y n }，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数
y=f （x ）的解析式可能为（）
A ．f （x ）=2x+1 B
．f （x ）=4x 2
C
．f （x ）=log 3x D ．f （x ）=
34
x
2.数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a 构成公比为q 的等比数列，则q
________.
3.
已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)．
(1)求证：{S n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n ＜a 2
－a 恒成立，求实数a 的取值范围．
山东省昌乐及第中学高三数学
《等差数列与等比数列的综合应用》
巩固案
1.．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝(
)．
A ．15
B ．－15
C ．±15
D ．10
2.若等差数列{n a }和等比数列{n b }的首项均为1，且公差d>0,公比q>1则集合{n|n n b a }(n
*)
N
的元素的个数最多有（A ） 1个 (B) 2
个 (C) 3个 (D) 4个
3．已知{n a }为等差数列，{n b }为等比数列，其公比q ≠1,且),,
3,2,1(0n i b i
，若
,11b a ,1111
b a 则（A ）
66
b a (B)
66
b a (C)
66
b a (D)
66
b a 或6
6
b a 4.．在数列{n a }中，2)1(,21
1n n
a n na a （)*
N n 则10a 为
（A ） 34 (B) 36 (C) 38 (D) 40
5．若向量
)sin 2,1(),sin ,2(cos n b n n a n
n （)*N n
则数列{|n n b a }
1|
2
（A ）是等差数列 (B) 是等比数列 (C) 是等差也是等比数列(D) 不是等差数列也不是等比数列
6．
n
n a b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为11a ,b ，且1
11,1
a b 5,a b N ,
设n
n b c a (n
N ),则数列n c 的前10项和等于
A.55
B.70
C.85
D.100
7.在等差数列{}n a 中,2
1
8a a ,且4a 为2a 和3a 的等比中项,数列{}n a 的前n 项和。

8.数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *
)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是
9．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天
的2倍，则需要的最少天数
n(n ∈N *
)等于________．
10.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，
若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则公比q 为。

11.已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：
①f(x)＝1
x
，②f（x）=x2，③f（x）=e x，④f(x)＝x，
则为“保比差数列函数”的所有序号为
12.已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nb n＝a n(n∈N*)，求{b n}的通项公式b n.
13.已知函数f(x)＝x2－2x＋4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d ＋1)，
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)S n为{a n}的前n项和，求证：1
S1
＋
1
S2
＋…＋
1
S n
≥
1
3
.
14.设{a n }是公差大于零的等差数列，已知a 1=2，a 3=a 22
-10．
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设{b n }是以函数y=4sin 2
（πx+12
）-1的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列
{a n -b n }的前n 项和S n ；（Ⅲ）若f （n ）=
1
2
222222n
n
a n
a n
a （n ∈N ，且n ≥２，求函数f （n ）的最小值．
15.将数列
n
a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7
a 8
a 9
a 10
a ……
记表中的第一列数
1247a a a a ，，，，构成的数列为n b ，1
1
1b a ．n S 为数列n b 的前n 项和，
且满足2
21(2)
n
n n
n
b n b S S
≥．（Ⅰ）证明数列
1n
S 成等差数列，并求数列
n b 的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正
814 91
a
时，求上表中第
(3)
k k≥行所有项的和．
数．当。