高考数学压轴专题许昌备战高考《复数》全集汇编附答案

【最新】数学《复数》高考知识点
一、选择题
1．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188i +
B ．1188i -+
C ．1188i --
D ．1188i - 【答案】B
【解析】 【分析】
计算得到18
i z --=
，再计算共轭复数得到答案. 【详解】 21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴=
==-+-Q . 故选：B .
【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
2．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -
∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因
, 故由题设
, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.
3．设复数4273i z i -=
-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数运算法则求解1712929z i =
-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929
i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-
故选：C
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.
4．在复平面内与复数21i z i =
+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）
A ．1i --
B ．1i -
C ．1i +
D ．1i -+ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.
【详解】 由题()()()2122211112
i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.
故选：D
【点睛】
此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.
5．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）
A B ．2 C ．52 D ．54
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解.
由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z
43(43)(1)1717,12222||2i i i i z i i z ----=
===-+∴== 故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
6．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简22z i =
-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-
，可得)()(
)1|1|11122i i z i i i --=
==-++-， 则复数z
在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )
A
B
C ．3
D ．5
【答案】B
【解析】
(2)2z i i i i =-=-==B ．
8．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．10101010i --
B ．10111010i --
C ．10111012i --
D ．10111010i -
【解析】
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,
可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，
则24201923020(1)22020i S i i i i i
i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i
--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2
(1)(1)(1)20202020202112
i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++=
==---， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
9．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则
222m i i +=-（ ） A ．i
B ．1
C ．- i
D ．1- 【答案】A
【解析】
因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20
{240m m m >⇒=-=，故
22(1)222(1)
m i i i i i ++==--，应选答案A ．
10．设i 是虚数单位，则复数
734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】 因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)
25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.
11．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为
“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）
A ．8-
B ．8+
C ．1+
D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.
【详解】
|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，
(,)a b 到原点的距离，
故22a b +的最大值为
)221(18=+=+. 故选：B .
【点睛】
本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】 由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()
10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
13．在复平面内，复数21i z i =
+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】
分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112
i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.
本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．设2i 2i 1i z =
++-，则复数z =（ ） A ．12i -
B ．12i +
C ．2i +
D ．2i -
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．
【详解】 由题意，可得复数()()()
2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．
15．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）
A ．1
B C ．2 D 【答案】A
【解析】 分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求 1z i ++的最小值.
详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，
它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6，
所以点Z 的轨迹为线段AB,
因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离，
所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1.
故答案为：A
点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi
++表示复数z对应的点到（-a,-b）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.
16．欧拉公式cos sin
ix
e x i x
=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，
4i i
e e π
π表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B
【解析】
【分析】
根据欧拉公式计算
4i i
e e π
π，再根据复数几何意义确定象限.
【详解】
因为
4
44
i
i
e cos isin
cos isin
e
π
π
ππ
ππ
+
===
+
，所以对应点
22
-
（，，在第
二象限，选B.
【点睛】
本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.
17．若复数z的虚部小于0
，|z|=4
z z
+=，则iz=（）
A．13i
+B．2i+C．12i
+D．12i
-
【答案】C
【解析】
【分析】
根据4
z z
+=可得()
2
z mi m
=+∈R，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】
由4
z z
+=，得()
2
z mi m
=+∈R
，因为||z==1
m=±.
又z的虚部小于0，所以2
z i
=-，12
iz i
=+.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.
18．已知方程()()2
440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）
A ．22i -
B ．22i +
C ．22i -+
D ．22i --
【答案】A
【解析】
【详解】
由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=, 整理可得：()()
2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩
，所以22z i =-，故选A .
19．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）
A ．1
B ．2
C
D ．【答案】C
【解析】
试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12
i i i z i i -=
==++因此1z i =+= 考点：复数的模
20．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()
222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。