华南农业大学精品课程申报

i1 j1
i1 j1
组内平方和
反映的是重复试验种随机误差的大小。误差平方和
这里
1 n
r i 1
ni
ij ,
j 1
ni
i ij j 1
i 表示水平Ai的随机误差； 表示整个试验的随机误差
若假设 H0 : a1 a2 ... ar 0 成立，则
Xij ~ N , 2 （各子样同分布）
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牢记安全之责，善谋安全之策，力务 安全之 实。2020年12月15日 星期二4时25分 9秒Tuesday, December 15, 2020
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相信相信得力量。20.12.152020年12月 15日星 期二4时25分9秒20.12.15
谢谢大家！
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生活中的辛苦阻挠不了我对生活的热 爱。20.12.1520.12.15Tuesday, December 15, 2020
其中 Ti Xij , T Ti
j 1
i 1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料 A
增重
51
40
43
48
B
23
25
26
C
23
28
解：T1 51 40 43 48 182,
灯泡
寿命
1 2 3 4 5 678
灯丝
甲 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800
乙 1580 1640 1640 1700 1750
丙 1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820
丁 1510 1520 1530 1570 1680 1600
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踏实肯干，努力奋斗。2020年12月15日上午4时25分 20.12.1520.12.15
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追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2020年12月15日星期 二上午4时25分 9秒04:25:0920.12.15
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严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020年12月 上午4时 25分20.12.1504:25December 15, 2020
；
（2）若 F0.05 F F0.01 ，则称因素的差异显著（差异
* 有统计意义），或称因素A的影响显著，作标记 ；
（3）若 F0.1 F F0.05 ，则称因素A有一定影响，作
* 标记（ ）；
（4）若 F F0.10 ，则称因素A无显著影响（差异无
统计意义）。
单因素试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
组间 组内 总和
SS A
df A
MS A
SS A df A
SSE
df E
MSE
SSE df E
SST dfT
F值 F MSA
MSE
F 值临介值
F r 1, n r
简便计算公式：
SSA
r i 1
Ti 2 ni
T2
n
SSE
r i 1
ni
T 2 X ij n j 1
r2 i
i1 i
ni
r
的一个样本：X i1, X i2 ,...X ini .
因此， X i1, X i2 ,...X ini 相互独立，且与 X i 同分布。
我们的目的是通过试验数据来判断因素 A 的不 同水平对试验指标是否有影响。
单因素试验资料表
水平
重复 试验结果 A1 A2 ... Ar
1
X11 X 21 ... X r1
引例
灯泡的使用寿命——试验指标
灯丝的配料方案——试验因素（唯一的一个）
四种配料方案（甲乙丙丁）——四个水平
因此，本例是一个四水平的单因素试验。
用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为 四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差 相同的正态分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4）
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作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2020年12月15日星期 二4时25分9秒04:25:0915 December 2020
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好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。上 午4时25分9秒 上午4时 25分04:25:0920.12.15
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本例问题归结为检验假设 H0：1= 2= 3= 4 是否成立
单因素试验的方差分析
设 A 表示欲考察的因素，它的 r 个不同水平，对 应的指标视作 r 个总体 X1, X 2 ,...X r . 每个水平下,我 们作若干次重复试验：n1, n2 ,...nr .（可等重复也可不 等重复），同一水平的 ni 个结果，就是这个总体 Xi
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
Xij i ij , j 1, 2,...ni , i 1, 2,...r 线性统计模型
其中 ij 为试验误差，相互独立且服从正态分布
即
ij ~ N 0, 2
整个试验的均值
令
1 n
r
nii , （其中 n
i 1
r
ni
i 1
）称为一般平均值。
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造 成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...r 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X r 相互独立，从而各子样也相互独立。
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.12.1504:25:0904:25Dec-2015-Dec-20
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.12.1520.12.1504:25:0904:25:09December 15, 2020
T2 23 25 26 74,
T 182 74 51 307
T3 23 28 51
dfA r 1 2, dfE n r 9 3 6,
dfT n 1 8
解：T1 182, T2 74, T3 51, T 307
dfA 2, dfE 6, dfT 8
结论：方差分析实质上是假设检验，从分析离差 平方和入手，找到F统计量，对同方差的多个正态总体 的均值是否相等进行假设检验。单因素试验中两个水 平的均值检验可用第七章的T检验法。
约定
注意：在方差分析表中，习惯于作如下规定：
（1）若 F F0.01，则称因素的差异极显著（极有统计意
* * 义），或称因素A的影响高度显著，这时作标记
等价于检验假设： H0 :1 2 ... r 0
若H0成立，则 Xij ij , j 1, 2,...ni , i 1, 2,...r
r
考察统计量 SST
ni
2
X ij X
总离差平方和
i1 j1
经恒等变形，可分解为： SST SSA SSE 见书P168
r
其中 SSA
由P106定理5.1可推得：
SST
2
~ 2 n 1,
SS A
2
~
2
r
1 ,
SSE
2
~ 2 nr
将
SST
2
,
SS A
2
,
SSE
2
的自由度分别记作 dfT , dfA, dfE
则 F SSA dfA ~ F r 1, n r
SSE dfE
（记 SSA dfA MSA, SSE dfE MSE ，称作均方和）
...
... ... ... ...
ni
X 1n1
X 2n2
... X rnr
ni
列和Ti Xij
T1
j 1
列平均X i Ti ni
（水平组内平均值）
X1
T2 ... X 2 ...
r
Tr
总和 Ti
i 1
Xr
X
1 n
r i 1
ni X i
（总样，n ni i 1
ni
2
r
2
X i X ni i i
i1 j1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 n
r i 1
ni
ij ,
j 1
ni
i ij j 1
r ni
2
r ni
2
SSE
X ij X i
ij i
例：五个水稻品种单位产量的观测值——P165
品种 重复
A1 A2 A3 A4 A5
1 2 3
3
xij
j 1
xi
41 33 38 37 31
39 37 35 39 34
40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
53
xij 546
i1 j 1
53
40 35 36 38 33 xij 15 36.4 i1 j 1
引言
在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样 的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影 响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥 量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对 产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果 进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果 的一种方法。
基本概念
i i , 称为因素A的第 i 个水平 Ai 的效应。
r
r
r
显然有： nii ni i nii n 0
i 1
i 1
i 1
则线性统计模型变成
Xij i ij , j 1, 2,...ni , i 1, 2,...r
于是检验假设： H0 : 1 2 ... r
MSA 934.73 2 467.36 MSE 90.17 6 15.03
* * F MSA 467.36 31.10 MSE 15.03
F0.01 2, 6 10.92 F0.05 2, 6 5.14
列方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值
F 值临介值
组间
934.73 2
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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。04:25:0904:25:0904:2512/15/2020 4:25:09 AM
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做一枚螺丝钉，那里需要那里上。20. 12.1504 :25:090 4:25De c-2015 -Dec-2 0
即H0不成立时，SSSSEA
r 1 nr
有大于1的趋势。
所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。
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树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20.12.1520.12.15Tuesday, December 15, 2020
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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。04:25:0904:25:0904:2512/15/2020 4:25:09 AM
则 F SSA dfA ~ F r 1, n r MSA
SSE dfE
MSE
（记 SSA dfA MSA, SSE dfE MSE ，称作均方和）
对给定的检验水平 ，由 PF F r 1, n r
得H0 的拒绝域为：F F r 1, n r F 单侧检验
思考：为什么此处只做单侧检验？
试验指标——试验结果。
可控因素——在影响试验结果的众多因素中，可人为 控制的因素。
水平——可控因素所处的各种各种不同的状态。每个 水平又称为试验的一个处理。
单因素试验——如果在一项试验中只有一个因素改变， 其它的可控因素不变，则该类试验称为 单因素试验。
引例
例1 （灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯 丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿 命（单位：小时），数据如下：
各水平数据放同一列 各水平数据放在不同列
0.01 0.05
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
定理 在单因素方差分析模型中，有
r
E(SSA ) (r 1) 2
ni
2 i
E
(SSE
)
(n
r
)
r
2
i 1
如果H0不成立，则
ni
2 i
0
i 1
所以，
E
SS A r 1
E
SSE nr
467.36
F0.05 2, 6 5.14
31.10 * *
F0.01 2, 6 10.92
组内 90.17 6
15.03
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；
2、选择Stat>ANOVA>one-way(unstacked)
SSA
r i 1
Ti 2 ni
T2
n
1822
4
742 3
512
2
3072
9
11406.83 10472.11 934.72
SSE
r i 1
ni
X
2 ij
j 1
r Ti2 n i1 i
512 402 ... 282 11406.83
11497 11406.83
SST SSA SSE 11497 10472.11 1024.89