2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题含详细答案

2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题含详细答案
一、一元二次方程
1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2
﹣（2k +1）x +4（k ﹣
1
2
）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】
分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】
当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()2
14421402k k ⎛⎫-++-
= ⎪⎝⎭
解得：5
2
k = 当52
k =
时，原方程为x 2
﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，
∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；
当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2
﹣4×1×4（k ﹣12
）＝（2k ﹣3）2
＝0， 解得：k ＝
32
， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，
∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出
发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2
？
【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】
【分析】
作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=1
2
×PB×QE，有P、Q点的移动速
度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】
解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝1
2•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意，1
2
•（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t2＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．
3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；
②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，
整理得：x2﹣65x﹣750=0，
（x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用
4．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣1
3
，x2=
2
3
．
【解析】
试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣1
3
，x2=
2
3
．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.
5．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5
2
m %，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了
9
20
m 元，购买数量在原计划基础上增加15m %，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15
2
m %，求出m 的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】
试题分析：（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+5
2
m %），在“美团”网上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣9
20
m ]（1+15m %）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了
15
2
m %”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，x ≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+52
m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a
（1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52
m %）+a （72﹣ 9
20m ）（1+15m %）=144a （1+
15
2m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．
答：m 的值是20．
点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
6．解方程： 22
12x x 6x 9-=-+（）
【答案】124
x x 23
=
=-，
【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得
22
12x x 3-=-（）（）
开平方，得
12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124
x x 23
=
=-，
7． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;
或
( x≥m) ；
8．关于x 的方程(k －1)x 2+2kx+2=0
（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根．
（2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2
+2kx+2=0的两个根，记S=
++ x 1+x 2，S 的值能为2吗？
若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）S 的值能为2，此时k 的值为2． 【解析】
试题分析：（1） 本题二次项系数为(k －1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=
有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k ）²-4×2（k-1）=4k²-8k ＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0 方程有两不等根
综合①②得不论k 为何值，方程总有实根 （2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=
∴S=+
+ x 1+x 2
=
=
=
=
=2k-2=2， 解得k=2，
∴当k=2时，S 的值为2 ∴S 的值能为2，此时k 的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
9．已知关于x 的一元二次方程()2
204
m
mx m x -++
=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当4m =时，求方程的解.
【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =
，
2x =
. 【解析】 【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】
（1）由题意得：24b ac ∆=- =()2
2404
m
m m +->g g
，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.
（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得134x +=，234
x =
. 【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.
10．关于x 的一元二次方程()2
2
210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x .
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.
【答案】(1) k＜1
4
;(2) k=0.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，
∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，
解得：k＜1
4
，
即实数k的取值范围是k＜1
4
；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，
∵x1+x2+x1x2-1=0，
∴1-2k+k2-1=0，
∴k2-2k=0
∴k=0或2，
∵由（1）知当k=2方程没有实数根，
∴k=2不合题意，舍去，
∴k=0．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．
11．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？
（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?
【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元
【解析】
【分析】
（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,
（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.
【详解】
解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,
设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：
（x-40）(-10x+780)=3570, 解得：x=57,
∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元. （3）设每星期的利润为w ，
W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610, ∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值, 当x=59时, 利润最大，为3610元. 【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.
12．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +2
14
k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；
(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)k ＞﹣1
2
；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】
(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×
14
k 2
＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】
(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +2
14
k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14
k 2
＞0， ∴k ＞﹣
12
； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，
∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2
﹣4ac ：当△＞0，方程有两
个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
【解析】
试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20
考点：一元二次方程的应用．
14．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣1
2
）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝3
2
或2．
【解析】
【分析】
（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．
【详解】
（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣1
2
）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程总有实数根；
（2）
() 2k12k3 x=
2
±
＋﹣
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k ＝
3
2或2． 【点睛】
本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.
15．已知关于x 的方程()()2
12310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．
()1求k 的取值范围．
()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？
【答案】(1)13
12
k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】 【分析】
（1）因为方程（k ﹣1）x 2
+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别
式△＞0，可解得k 的取值范围；
（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值． 【详解】
（1）方程（k ﹣1）x 2
+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且
△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜
13
12
且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2． ∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =3
2
． 又∵k ＜
13
12
且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2
+px +q =0的两根
时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．。