单招等差数列试题及答案

单招等差数列试题及答案
一、选择题
1. 等差数列是指一个数列中，相邻两项的差是常数的数列。

以下哪个数列不是等差数列？
A. 1, 3, 5, 7, 9
B. 2, 4, 8, 16, 32
C. 10, 8, 6, 4, 2
D. 5, 10, 15, 20, 25
答案：B
2. 如果等差数列的首项是 \( a \)，公差是 \( d \)，则该数列的第\( n \) 项可以表示为：
A. \( a + (n-1)d \)
B. \( a - nd \)
C. \( a + nd \)
D. \( a - (n-1)d \)
答案：A
二、填空题
3. 等差数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，若\( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，则 \( S_5 \) 等于。

答案：25
4. 一个等差数列的第 4 项是 12，第 8 项是 28，那么这个数列的公差 \( d \) 是。

答案：4
三、解答题
5. 已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的前三项分别为 \( a_1 = 5 \)，\( a_2 = 9 \)，\( a_3 = 13 \)，求该数列的第 10 项。

解：首先确定等差数列的公差 \( d \)，由 \( a_2 = a_1 + d \) 得 \( d = a_2 - a_1 = 9 - 5 = 4 \)。

然后利用等差数列的通项公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \) 求第 10 项，即 \( a_{10} = 5 + (10-1) \times 4 = 5 + 9 \times 4 = 5 + 36 = 41 \)。

6. 一个等差数列的前 \( n \) 项和为 \( S_n = 3n^2 - 2n \)，求该数列的第 5 项。

解：首先利用等差数列的前 \( n \) 项和公式 \( S_n =
\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] \) 确定首项 \( a_1 \) 和公差 \( d \)。

将 \( S_n = 3n^2 - 2n \) 与 \( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] \) 进行比较，可以得出 \( a_1 = 1 \)，\( d = 3 \)。

然后利用通项公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \) 求第 5 项，即 \( a_5 = 1 + (5-1) \times 3 = 1 + 4 \times 3 = 1 + 12 = 13 \)。

四、证明题
7. 证明等差数列中，若 \( m + n = p + q \)，则 \( a_m + a_n = a_p + a_q \)。

证明：设等差数列 \( \{a_n\} \) 的首项为 \( a_1 \)，公差为\( d \)，则根据等差数列的通项公式，我们有 \( a_m = a_1 + (m-1)d \) 和 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)。

同样地，\( a_p = a_1 + (p-1)d \) 和 \( a_q = a_1 + (q-1)d \)。

将 \( m + n = p + q \) 代入上述公式，我们得到 \( a_m + a_n = a_1 + (m-1)d + a_1 +
(n-1)d = 2a_1 + (m+n-2)d \)。

由于 \( m + n = p + q \)，我们可以将 \( m +。