函数与极限的相关性模拟试题

函数与极限的相关性模拟试题题目一：
设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，且有极限
lim(x→a)[f(x)-3]=7，求常数a的值。

解析：
根据极限的性质，lim(x→a)[f(x)-3]=lim(x→a)f(x)-lim(x→a)3。

根据题意，lim(x→a)f(x)存在，则有lim(x→a)f(x)=lim(x→a)[f(x)-3]+lim(x→a)3=7+3=10。

所以，lim(x→a)f(x)=10，即f(x)在点x=a处的极限为10。

题目二：
已知函数f(x)在点x=2处的极限为3，请写出该函数的表达式。

解析：
根据题意，f(x)在点x=2处的极限为3，即lim(x→2)f(x)=3。

根据极限的定义，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-
2|<δ时，有|f(x)-3|<ε成立。

因此，我们可以拟设函数f(x)的表达式为f(x)=3+φ(x)，其中φ(x)为当0<|x-2|<δ时的剩余项。

则对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-2|<δ时，有|3+φ(x)-3|<ε成立。

化简可得|φ(x)|<ε，即φ(x)的取值范围小于ε。

综上所述，函数f(x)的表达式可以写为f(x)=3+φ(x)，其中φ(x)的取
值范围小于给定ε的范围。

题目三：
已知函数f(x)在点x=0处的极限不存在，即lim(x→0)f(x)不存在。

证明函数f(x)在点x=0无极限。

解析：
根据极限的定义，当函数f(x)在点x=0处有极限存在时，对于任意
给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-0|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，其中L
为f(x)在点x=0处的极限。

反证法证明，假设函数f(x)在点x=0处有极限存在。

根据极限的定义，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-
0|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。

由于函数f(x)在点x=0处的极限不存在，即lim(x→0)f(x)不存在，
我们可以找到两个数列{x_n}和{y_n}，它们都收敛于0，且满足
lim(n→∞)f(x_n)≠lim(n→∞)f(y_n)。

根据以上条件，我们可以找到一个ε>0，使得对于任意给定的δ>0，当|x_n-0|<δ且|y_n-0|<δ时，有|f(x_n)-L|≥ε或|f(y_n)-L|≥ε成立。

这与函数f(x)在点x=0处的极限定义矛盾。

因此，假设错误，函数f(x)在点x=0处无极限。