2019届湖南省长沙、师大附中、雅礼、长郡高三下学期5月联考数学（文）试题

2019届湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学高
三下学期5月联考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}
20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B =( )
A ．{}1
B ．{}2
C ．{}2,3
D ．{}1,2,3
【答案】C
【解析】先求出集合A ，进而与集合B 取交集即可. 【详解】
由题意，{}
2A x x =≥，{}1,2,3B =，则{}2,3A B =.
故选：C. 【点睛】
本题考查集合间的交集，考查学生对基础知识的掌握.
2．已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a =（ ） A ．12
-
B ．2
C ．
12
D ．2-
【答案】D
【解析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可． 【详解】
()()12a i i +-＝()212a a i ++-，∵复数是纯虚数，∴20a +=且120a -≠
得2a =-且a ≠1
2
，即2a =-， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．
3．已知p ：2x <；q ：220x x --<，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别求出p 、q 对应的不等式的解，进而可选出答案.
【详解】
由题意，222x x <⇔-<<，即p ：22x -<<；
22012x x x --<⇔-<<，即q ：12x -<<，
所以q p ⇒，p q ，即p 是q 的必要不充分条件.
故选：B. 【点睛】
本题考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法，考查命题的充分性与必要性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.
4．如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A ．
14
B ．
13
C ．
23
D ．
34
【答案】B
【解析】分析：设小黑色三角形面积为S ，则整个在图案面积为12S ，黑色部分总面积为4S ，根据几何概型概率公式可得结果. 详解：设小黑色三角形面积为S ， 则整个在图案面积为12S ， 黑色部分总面积为4S ， 由几何概型概率公式可得， 在点取自黑色部分的概率是
41
123
=，故选B. 点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
5．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量
越好，其对应关系如表：
AQI指数值0～5051～100
101～
150
151～
200
201～
300
300
空气质量优良
轻度污
染
中度污
染
重度污
染
严重污
染
如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势：
下列叙述错误的是（）
A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
1
4
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【答案】C
【解析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.
【详解】
对A，因为第10天与第11天AQI指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对B，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占
1
4
，正确；
对C，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；
对D，由图知，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，所以正确，故选C.
【点睛】
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例
考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
6．已知实数x ，y 满足不等式组140x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，记2z x y =-的最大值为m ，则函数
22x y a m -=+（0a >，1a ≠）的图象所过定点坐标为( )
A ．()1,4
B ．()2,1
C ．()2,3
D ．()2,4
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的可行域，当目标函数2z x y =-过点()2,2A 时，z 取得
最大值，可求出2m =，结合指数函数的图象过定点0,1，可得函数2
22
x y a -=+（0a >，1a ≠）的图象所过定点. 【详解】
作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，联立0
4
x y x y -=⎧⎨
+=⎩，可得()2,2A ，
目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，当目标函数过点()2,2A 时，z 取得最大值2，故2m =.
因为函数x
y a =（0a >，1a ≠）的图象过定点0,1，所以函数222x y a -=+（0a >，
1a ≠）的图象过定点()2,4.
故选：D.
【点睛】
本题考查线性规划，考查函数图象过定点问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.
7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为( )
A．5 B．12
C．25 D．50
【答案】D
i ，结束循环，输出v的值，得出结果. 【解析】根据程序框图依次运行，直到0
【详解】
由题意，运行该程序，
输入4n =，2x =，则1v =，4130i =-=≥，判断框成立； 则1235v =⨯+=，3120i =-=≥，判断框成立； 则52212v =⨯+=，2110i =-=≥，判断框成立； 则122125v =⨯+=，1100i =-=≥，判断框成立；
则252050v =⨯+=，0110i =-=-<，判断框不成立，输出50v =. 故选：D. 【点睛】
本题考查程序框图，关键在于准确识别循环结构和判断框语句，属于基础题.
8．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数
()h f t =的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】
函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，
则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 9．要得到函数2cos(2)3
y x π
=+的图象，只需将函数sin 23cos 2y x x =+的图象
（ ）
（A ）向左平移4π个单位 （B ）向右平移2π
个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向左平移8
π
个单位
【答案】A
【解析】试题分析：根据题意，由于将函数sin 23cos 2y x x =+=2sin(2+)3
x π
的图
象向左平移
4
π
个单位可以得到函数y=52sin[2(++]2sin(2+)2cos(2+)4363
x x x ππππ
==）也就是函数2cos(2)
3y x π=+的图象，故选A.
【考点】三角函数图象变换
点评：主要是考查了三角函数的图象的平移变换的运用，属于基础题。

10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A ．
132
π
B ．7π
C ．
152
π
D ．8π
【答案】B
【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可． 【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个1
4
的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，
可得：该几何体的表面积为：
221
41212274
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．
故选：B ． 【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()1
e e x
x
f x =-
.若不等式()()
242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(
,2-∞ B ．()2,0-
C ．()(
)
,02,-∞+∞
D ．((
)
,22,-∞-+∞
【答案】A
【解析】由()f x 是R 上的奇函数，并结合当0x ≥时，()1
e e
x
x f x =-
，可得()f x 的解析式，进而判断其单调性，可将不等式转化为2420mt t m ++<对任意t ∈R 恒成立，进而可求得实数m 的取值范围. 【详解】
由题意知，0x <时，0x ->，则()1
e e
x
x f x ---=-
， 因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()11e e e e x
x
x
x f x f x --⎛⎫=--=--
=- ⎪⎝
⎭
，
所以当x ∈R 时，()1
e e x
x
f x =-
. 因为函数1x
y e
=
为R 上的减函数，所以1e x y =-为R 上的增函数，故()1e e x
x f x =-为R 上的增函数，
由()(
)2
42f t f m mt
->+，可得2
42t m mt
->+，即2420mt t m ++<对任意t ∈R
恒成立，
当0m =时，不等式可化为40t <，显然不符合题意，
所以0m ≠，可得2
1680m m <⎧⎨∆=-<⎩
，解得m <故选：A. 【点睛】
本题考查奇函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.
12．设1F ，2F 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点.
过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1PF OP ，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．2
y x =±
B ．y =
C ．y =
D ．3
y x =±
【答案】B
【解析】先根据点到直线的距离求出2||PF b =，再求出||OP a =，在三角形12F PF 中，由余弦定理可得22212122122||||||2||||cos PF PF F F PF F F PF O =+-∠，代值化简整理可得
c =，问题得以解决．
【详解】
解：双曲线22
22:1(0x y C a a b -=>．0)b >的一条渐近线方程为b y x a =，
∴点
2F 到渐近线的距离d b =
=，即2||PF b =，
||OP a ∴==，2cos b
PF O c
∠=
，
1|||PF OP =，
1||PF ∴=，
在三角形12F PF 中，由余弦定理可得22212122122||||||2||||PF PF F F PF F F COS PF O =+-∠，
2222222264224343()b
a b c b c c b c c a c
∴=+-⨯⨯⨯
=-=--， 即223a c =，
222a b ∴=，
y ∴=
故选：B ． 【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
二、填空题
13．已知函数()2
2log f x x a x =+，若()25f =，则12f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
______. 【答案】3
4
-
【解析】由()25f =，可求出a 的值，进而可求得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【详解】
由题意，()2
222log 245f a a =+=+=，解得1a =，故()2
2log f x x x =+，
所以2
log 11
113124
244f ⎛⎫==-=- ⎪⎝+⎭. 故答案为：34
-. 【点睛】
本题考查求函数值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
14．已知点()1,1A -，点2,B y ，向量()1,2a =，若//AB a ，则实数y 的值为______. 【答案】7
【解析】求出AB ，进而由//AB a ，列出式子，可求出实数y 的值. 【详解】
由题意，()3,1AB y =-，()1,2a =，
因为//AB a ，所以()32110y ⨯-⨯-=，解得7y =. 故答案为：7.
【点睛】
本题考查平面向量平行的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
15．如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AD DC ⊥，2BC =，2
3AD =，60ACB ACD ∠=∠+︒，则tan ACD ∠=______.
3
【解析】设ACD θ∠=，在Rt ACD △中，可知sin AD
AC θ
=
，在ABC 中，可得60BAC θ∠=︒-，由正弦定理可得
sin sin BC AC
BAC ABC
=∠∠，整理可得()sin 2sin 60θθ=︒-，进而可求得tan θ的值.
【详解】
设ACD θ∠=，在Rt ACD △中，
AD DC ⊥，23AD =
3
sin AC θ
∴=
， 在ABC 中，60ACB θ∠=︒+，60ABC ∠=︒，2BC =， 60BAC θ∴∠=︒-.
由正弦定理得：()23
2sin sin 60sin 60θ
θ=︒-︒
，
得()sin 2sin 60θθ=︒-，展开可得2sin 3θθ=.
3tan θ∴=
，故3
tan ACD ∠=3
【点睛】
本题考查解三角形，考查正弦定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 16．如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中
点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
【答案】32542⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦， 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以
//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为
11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄
平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N
MN N =，所以
1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在
线段MN 上，在直角11A B M ∆中，222111115
1()2A M A B B M =
+=+=
，同理，在直角11A B N ∆中，求得15
A N =
，所以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N 处时1A P 最长，
2
2
221
15232()()24AO A M OM =-=-=，
115A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是325⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦，.
【考点】点、线、面的距离问题.
【方法点晴】
本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
三、解答题
17．已知{}n a 是等差数列，且1lg 0a =，4lg 1a =． （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和． 【答案】（1）32n a n =-．（2）()
2311
2,41223
n n k S n n ==
-+- 【解析】()1直接利用已知条件求出数列的通项公式;()2利用等比数列的性质得到公比以及数列{}n b 的通项，进而{}n n a b +求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和． 【详解】
()1数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且1lg 0a =，4lg 1a =．
则：111
310
a a d =⎧⎨
+=⎩，
解得：3d =
所以：()13132n a n n =+-=-．
()2若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，
则：2
16k a a a =⋅，根据等差数列的通项公式得到：32k a k =-，
代入上式解得：2k =；1a ，2a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，1214a a ==，， 所以：等比数列{}n b 的公比为4q =．
由等比数列的通项公式得到：1
4n n b -=． 则1
324n n n a b n -+=-+，
故：()()(
)1
1
1144324
n n S n -=++++⋯+-+，
()3141
2
41
n n n --=+
-， ()
2311
41223
n n n =
-+-． 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
18．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是等边三角形，90BAD BCD ∠=∠=，点P 是AC 的中点，连接BP ，DP
()1证明：平面ACD ⊥平面BDP ； ()2若6BD =
，3
cos BPD ∠=-
，求三棱锥A BCD -的体积． 【答案】（1）见证明；（2）
2
3
【解析】()1证明PD AC ⊥，PB AC ⊥，得出AC ⊥平面PBD ，从而证明平面ACD ⊥平面BDP ；()2利用直角三角形以及余弦定理求出AB 的值，计算BPD 的面积和AC 的值，即可求得三棱锥A BCD -的体积． 【详解】
()1证明：如图所示，
因为ABC 是等边三角形，90BAD BCD ∠=∠=， 所以Rt ABD ≌Rt BCD ，可得AD CD =，
又因为点P 是AC 的中点，则PD AC ⊥，PB AC ⊥， 又PD PB P ⋂=，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 所以平面ACD ⊥平面BDP ；
()
2
设AB a =，在Rt
ABD 中，BD =AD ==
在等边ABC 中，BP AB =
=，
在等腰ACD 中，DP =
==；
在BPD 中，由cos BPD ∠=，得sin BPD ∠= 由余弦定理得2222cos BD BP DP BP BPD =+-⋅⋅∠，
即22356624423a a a ⎛⎫=+--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
，解得2a =；
所以BPD 的面积为1sin 22
S BP DP BPD =
⋅⋅⋅∠=
，
所以三棱锥A BCD -的体积为1
123
323
BPD
V AC S =⋅⋅=⨯⨯=
． 【点睛】
本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直.
19．某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；
（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；
（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率.
（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下22⨯列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++
【答案】（1）平均值为16.92．（2）
2
7
（3）见解析 【解析】()1根据平均数的公式进行计算即可;()2利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可;()3完成22⨯列联表，计算2K 的值，利用独立性检验的性质进行判断即可． 【详解】
()1由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为
()1
7.51812.51217.5922.5927.5632.5437.5216.9260
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈；
所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．
()2设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A ，
依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[)5,10，[)0,15l ，[
)15,20的女性客户中抽取1人(设为)a ，2人(设为A ，)B
4人，(设为1c ，2c ，3c ，4)c ，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为： aA ，aB ，1ac ，2ac ，3ac ，4ac ，AB ，1Ac ，2Ac ，3Ac ，4Ac ，1Bc ，2Bc ，3Bc ，
4Bc ，12c c ，13c c ，14c c ，23c c ，24c c ，34c c ，共21种，
其中事件A 所包含的基本事件为：12c c ，13c c ，14c c ，23c c ，24c c ，34c c ，共6个， 则事件A 发生的概率62217
P =
=． ()3依题意得22⨯列联表如下
则()()()()
22
2
()100(48241612)16.66710.82864366040n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=
=≈>++++⨯⨯⨯． 故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
20．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的一个焦点为)F
，点)
P
在
C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()1,0且斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，椭圆长轴的两个
端点分别为1A ，2A ，1A M 与2A N 相交于点Q ，求证：点Q 在某条定直线上.
【答案】（1）22
142
x y +=；
（2）证明见解析. 【解析】（1）椭圆C
的两焦点分别为)
F
，()F '
，由)
P
，可求得
PF PF '+的值，结合椭圆的定义，可求得a
的值，再结合c =2b 的值，
进而可得到椭圆C 的方程；
（2）设l 方程为1x ky =+，联立221
14
2x ky x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去x 得到关于y 的一元二次方程，
设()11,M x y ，()22,N x y ，可表示出1A M l 、2A N l 的方程，联立两直线方程，并结合韦达定理，可证明点Q 在某条定直线上. 【详解】
（1）依题意，椭圆C
的两焦点分别为)
F
，()
F '，
则
4PF PF '+=
=，
所以24a =，即2
a =， 又c =
222422b a c =-=-=，
故椭圆C 的方程为22
142
x y +=.
（2）设()12,0A -，()22,0A ，l 的方程为1x ky =+，
联立221
14
2x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()
22
2230k y ky ++-=，
设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212222
32k y y k y y k -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
，
故
121223
y y k
y y +=，1212332y y ky y +=. 又1A M l 的方程为()1
122y y x x =
++，2
A N l 的方程为()2222
y y x x =--，
联立两直线方程得
()()12
122222
y y x x x x +=-+-， 即()()2121122
1212121
2332221y x y ky ky y y x x y x y ky ky y y ++++==⋅=----， 因为1212332y y ky y +=，所以12121
121
23232ky y ky y y x x ky y y +-+==--， 整理得4x =.
故点Q 在定直线4x =上. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()
2
1
1e
x f x x ax -=+-，()()
2
e x
g x x ax ax b =+--.
（1）若2x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 的极小值； （2）若对任意的实数a ，函数()()()e F x f x g x =-+在0,上总有零点，求实数
b 的取值范围.
【答案】（1）1-；（2）1
,
【解析】（1）对函数()f x 求导，可得()20f '-=，计算可求出a 的值，进而得到函数
()f x 的解析式，并判断单调性可求出极小值；
（2）函数()e x
F x ax b =--在0,
上总有零点，若0a <，可知()F x 在
0,
上单调递增，可得()00F <，即1b >，故()F x 在0,
上总有零点的必要条件是
1b >，然后分0a <和0a ≥两种情况，分别证明当1b >时，()F x 在0,
上总有
零点即可. 【详解】
（1）由题可得()()()
()12121
2e 1e 21e x x x f x x a x ax x a x a ---'⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦
， 因为()20f '-=，所以()()2
21221e 20a a --⎡⎤-+-⎣⎦
-=+，解得1a =-， 故
()()211e x f x x x -=--，()()212e x f x x x -'=+-，
令0f
x
，得220x x +->，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(),2-∞-和
1,
上单调递增；
令0f
x
，得220x x +-<，解得21x -<<，所以()f x 在()2,1-上单调递减.
所以()f x 极小值为()()11
1111e
1f -=--=-.
（2）函数()()()e F x f x g x =-+在0,
上总有零点，
即()()()
2
2
e 1e e x
x
x
F x x ax ax b ax b x ax =-++-=----+在0,
上总有零
点.
若0a <，则()e x
F x ax b =--在0,
上单调递增，则()00F <，即1b >.
故()F x 在0,
上总有零点的必要条件是1b >.
以下证明：当1b >时，()e x
F x ax b =--在0,上总有零点.
①若0a <，由于()010F b =-<，
e e 0b b
a a
b b F a b a a --⎛⎫⎛⎫
-=---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且()F x 在0,上连续，
故()F x 在0,b a ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
上必有零点； ②若0a ≥，()010F b =-<，
构造函数()2e x
h x x =，则()()3
e 2x x h x x
-'=，显然()h x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，即()h x 在
0,
上最小值为()2
e 214
h =>，
所以2e x x >在()0,x ∈+∞上恒成立，取0x a b =+，则1a b +>，()2
e a b a b +>+， 则
()()()()()()2
20e 110
a b F x F a b a a b b a b a ab b ab b b b a b +=+=-+->+---=+-=+->，
由于()010F b =-<，()0F a b +>， 故()F x 在()0,a b +上必有零点. 综上，实数b 的取值范围是1,.
【点睛】
本题考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用导数研究函数的单调性，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生的计算求解能力，属于难题.
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,
6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2
）过点)
P 作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求11PD PE
-的值. 【答案】（1
）2y =-，24y x =；（2）12
【解析】(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可得到曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线DE
的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）， 代入24y x =
得20t +-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由题意得点A
的直角坐标为
)，将点A
代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，
得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩， 则直线l
的普通方程为2y =
-. 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =.
故曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =. （2）设直线DE
的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，（t 为参数）， 代入2
4y x =
得20t +-=．
设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．
则12t t +=-
12t t =-，且120,0t t ><. 1212121211111112
t t PD PE t t t t t t +∴-=-=+==． 【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式
cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan x y y x
ρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．已知函数()21f x x x =+--.
(1)求()f x 的值域;
(2)设()233(0)ax x g x a x
-+=>若对于任意()0,s ∞∈+,任意t ∈R ,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.
【答案】(1)[]
3,3-；(2)[
) 3,.∞+ 【解析】试题分析： (1)将函数写成分段函数的形式可得函数的值域为[]3,3-；
(2)由恒成立的充要条件结合题意可得实数a 的取值范围为[)3,.∞+ 试题解析：
(1)函数可化为()21,221,2121,1x x x f x x x x x x x --+-≤-⎧⎪=++--<<⎨⎪+-+≥⎩=3,221,213,1x x x x -≤⎧⎪+-<<⎨⎪≥⎩
则有()f x 的值域为[]
3,3-； (2)当0x >时,(
)233333ax x g x ax x x
-+==+-≥ 当且仅当23ax =,
即x ==时等号成立.
()
min 3g x =,由(1)得()max 3f x =.
由任意()0,s ∞∈+，任意(),t ∞∞∈-+恒有()()g s f t ≥成立,
得()()min max g x f x ≥,所以33≥,解得3a ≥； 所以实数a 的取值范围为[)3,.∞+。