2019-2020学年新疆乌鲁木齐市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题含解析

2019-2020学年新疆乌鲁木齐市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）
A ．()()
()2
2
f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦
B ．()
()()2
2f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ C ．()()
()2
2f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ D ．()
()()2
2f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
即可得出2x x <，从而得出()
()()21f x f x f <<，从而得出选项．
【详解】
∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+，
由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，
由于
1
12
x <<，故2x x <，所以()
()()210f x f x f <<=， 而()2
0f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()2
2
f x f x f x <<，故选D.
【点睛】
本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题. 2．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛
⎫=
=+> ⎪⎝⎭
且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】 【分析】
本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当01a <<时，函数x
y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1
x y a
=
过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x
y a =过定点(0,1)且单调递增，
则函数1x
y a =
过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 3．已知函数1()2ln (R)f x x a x a x ⎛⎫
=-+∈ ⎪⎝⎭
在定义域上有两个极值点12,x x ，则()12f x x ⋅的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,0)-∞
C ．(0,)+∞
D ．(1,)+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等价转化的思想，可得'()0f x =在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，可得
1a >，最后利用导数判断()12f x x ⋅单调性，可得结果.
【详解】
2
22
122'()1x ax a
f x a x
x x -+⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭ 令2
()2g x x ax a =-+，
依题意得方程()0g x =有两个不等正根1x ，2x ，
则21212
(2)40
20
10a a x x a a x x a ⎧∆=-->⎪
+=>⇒>⎨⎪=>⎩，
()121()2ln 2ln 1f x x f a a a a a a a a ⎛⎫
∴⋅==-+=-- ⎪⎝⎭
，
令()2ln 1(1)T a a a a a =-->，
'()12ln 0T a a ∴=--< ()T a ∴在(1,)+∞上单调递减， ()(1)0T a T ∴<=，
故()12f x x ⋅的取值范围是(,0)-∞， 故选：B 【点睛】
本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.
4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a = A ．
1
9
B ．19
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】A 【解析】
设公比为q,则2
2
4
11111111
109,99
a a q a q a q a q a q a ++=+⇒==∴=Q ，选A.
5．设
sin a xdx π
=⎰
，则二项式8
(展开式的常数项是（ ） A ．1120 B ．140
C ．-140
D ．-1120
【答案】A 【解析】 【详解】
分析：利用微积分基本定理求得2a =，先求出二项式8
⎛
⎝
的展开式的通项公式，令x 的指数等
于0，求出r 的值，即可求得展开式的常数项. 详解：由题意()00
sin cos |2a xdx x π
π
==-=⎰
，
∴二项式为8
⎛
⎝
，设展开式中第r 项为1r T +，
(()8
84
18
812r
r
r r r r r
r T C C x ---+⎛∴==-⋅⋅ ⎝
， 令40-=r ，解得4r =，
代入得展开式中可得常数项为()4
4
48121120C -⋅=，故选A.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公
式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系
数和；（3）二项展开式定理的应用. 6．已知函数1()()(,)2
x x
x f x e e a e e aex b a b R =⋅+--+∈在1x =时取得极大值，则a 的取值范围是( ) A ．[0,)+∞ B ．(,0)e -
C ．(,0)-∞
D ．(,)e -∞-
【答案】D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，可得当a≥0时，f （x ）在x ＝1取得极小值，不符合；当a ＜0时，令f′（x ）＝0，得x ＝1或ln （﹣a ），为使f （x ）在x ＝1取得极大值，则有ln （﹣a ）＞1，由此求得a 的范围得答案． 【详解】 由()()212
x
x f x e a e e aex b =
+--+，得 f′（x ）＝e 2x +（a ﹣e ）e x ﹣ae ＝（e x +a ）（e x ﹣e ）．
当a≥0时，e x +a ＞0，由f′（x ）＞0，得x ＞1，由f′（x ）＜0，得x ＜1． ∴f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数， 则f （x ）在x ＝1取得极小值，不符合；
当a ＜0时，令f′（x ）＝0，得x ＝1或ln （﹣a ），
为使f （x ）在x ＝1取得极大值，则有ln （﹣a ）＞1，∴a ＜﹣e ． ∴a 的取值范围是a ＜﹣e ． 故选：D ． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题． 7．将函数2sin 23
y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图形向左平移ϕ个单位后得到的图像关于y 轴对称，则正数ϕ的最小正值是（） A ．
3
π B ．
12
π
C ．
56
π D ．
512
π
【解析】 【分析】
由题意利用函数Asin()y x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】
解：将函数2sin 23
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭的图形向左平移ϕ个单位后， 可得函数2sin 223
y x πϕ⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
的图象， 再根据得到的图象关于y 轴对称，可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，即212
k ππϕ=-， 令1k =，可得正数ϕ的最小值是512
π
， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数Asin()y x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 8．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成（ ） A ．7队 B ．8队 C ．15队 D ．63队
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得男队员的选法有7种，女队员的选法有9种，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队， 则男队员的选法有7种，女队员的选法有9种， 由分步乘法计数原理，知共可组成7963⨯=组队方法； 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查分步计数原理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
9．
2
2
(1cos )x dx π
π-
+⎰等于( )
A ．π
B ．2
C ．π-2
D ．π+2
【答案】D
∵2
sin |
(sin )[sin()]222222
x x x x ππππ
π=+=+--+-=+-原式.故选D 10．某单位为了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，
并制作了统计表：由表中数据得到线性回归方程ˆ260y
x =-+，那么表中m 的值为（）
A ．40
B ．39
C ．38
D ．37
【答案】C 【解析】 【分析】
由表中数据计算可得样本中心点()
,x y ，根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得m 的值. 【详解】 由表格可知()
1813101104
x +++-=
=，
24346412244
m m
y ++++=
=，
根据回归直线经过样本中心点()
,x y ， 代入回归方程可得122210604
m
+=-⨯+， 解得38m =， 故选：C. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的简单应用，由回归方程求数据中的参数，属于基础题. 11．已知,x y 满足2ln y x x =-，其中1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则x y -的最小值为（ ）
A ．
2111e e
++ B ．21e e +- C ．
3
ln 24
+ D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
令()2
ln f x x y x x x =-=-+，利用导数可求得()f x 单调性，确定()min 12f x f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，进而得到结果. 【详解】
令()2
ln f x x y x x x =-=-+，则()()()221112112x x x x f x x x x x
-++-'=-+==
. 1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
Q ，由()0f x '<得：11,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；由()0f x '>得：1,2x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
()f x ∴在11,2e ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，
()min 13
ln 224
f x f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，即x y -的最小值为3ln 24+.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数最值的求解问题，关键是能够利用导数确定函数的单调性，进而确定最值点. 12．数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，1
12n n n n
b a a b ++-==，n *∈N ，则数列{}
n
a b 的前n 项和为（ ）． A ．
()1
4413
n -- B ．
()4413
n
- C ．
()1
1413
n -- D ．
()1413
n
- 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意是数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列，分别求出它们的通项，再利用等比数列前n 项和公式即可求得. 【详解】 因为1
12n n n n
b a a b ++-=
=，111a b ==，所以数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的等比数列， 因此()12121n a n n =+-=-，11
122n n n b --=⨯=，
数列{}
n a b 的前n 项和为：1213521n a a a n b b b b b b b -+++=++++L L
02422222n =++++L
()14141143
n n -==--. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，是中档题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若26241012
01256(2)x a a x a x a x a x +=+++++L ，则0246a a a a +++=______.
【答案】365 【解析】
分析：令21x = 代入可知01256a a a a a +++⋯++ 的值，令21x =- 代入可求得
01256a a a a a -++⋯-+的值，然后将两式相加可求得0246a a a a +++的值．
详解：()
6
2
241012012562x a a x a x a x a x +=+++++L 中，
令21x = 代入可知6
012563,a a a a a +++⋯++=
令21x =-代入可得012561a a a a a -++⋯-+=，除以相加除以2 可得0246365a a a a +++=. 即答案为365.
点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键．
14．某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______．
【答案】2 【解析】 【分析】
由题意，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为83，84，85，86，87，先求出所剩数据的平均数，由此能求出所剩数据的方差． 【详解】
解：某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为： 83，84，85，86，87，
∴所剩数据的平均数为：
()1
8384858687855
x =
++++=， 所剩数据的方差为：
(
2222221
[(8385)(8485)(8585)(8685)8785)25
S ⎤=-+-+-+-+-=⎦． 故答案为1． 【点睛】
本题考查方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x ＋1)＝()()
11f x f x +-，则f(2018)= ________.
【答案】-1 【解析】 【分析】
由已知分析出函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化，可得答案． 【详解】
∵函数f （x ）满足：f （1）=2，f （x +1）=()()
11f x f x +-，
∴f （2）=﹣1， f （1）=﹣1
2
， f （4）=
13
， f （5）=2， ……
即函数f （x ）的值以4为周期，呈周期性变化， ∵2018=504×4+2，
故f （2018）=f （2）=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】
本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，难度不大，属于中档题． 16．已知角θ的终边经过()2,3-，则3cos 2
πθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
________．
【答案】13
. 【解析】
分析：根据任意角的三角函数的定义，求得sin θ的值,再结合诱导公式即可得到结果． 详解：∵角θ的终边经过点()2,3-，
∴x=2-，y=3，
则sin θ=
y r
=13
．
∴3cos sin 2
13πθθ⎛⎫
+
== ⎪
⎝
⎭
． 点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()2
1ln 12
g x a x x b x =+
+-. （1）若()g x 在点()()
1,1g 处的切线方程为8230x y --=,求,a b 的值; （2）若121,,b a x x =+是函数()g x 的两个极值点,试比较4-与()()12g x g x +的大小. 【答案】（1）1,1a b ==-； （2）()()124g x g x +<-. 【解析】 【分析】
（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）将()g x 转化为只含有a 的式子.对函数()g x 求导，利用二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围并利用韦达定理写出
12,x x 的关系式.化简()()12g x g x +的表达式，并利用构造函数法求得()()128ln212g x g x +<-.用差比
较法比较出8ln212-与4-的大小关系. 【详解】
（1）根据题意可求得切点为51,
2⎛⎫
⎪
⎝⎭
,由题意可得,()()'1a g x x b x =++-, ∴()()512'14g g ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
,即15122114b a b ⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩,解得1,1a b ==-.
（2）∵1b a =+,∴()21ln 2g x a x x ax =+
-,则()'a
g x x a x
=+-. 根据题意可得20x ax a -+=在()0,∞+上有两个不同的根12,x x .
即2
02400a
a a a ⎧>⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩
,解得4a >,且1212,x x a x x a +==.。