《核物理》中子通量热中子通量的空间分布

¡ D是中子通量的扩散系数，有长度量纲。D0是通用的 ¡ 这就是斐克定律，它是简单扩散理论的基本假设。
N p = ∫ n p dV
V
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n p = − D∇ 2 Φ
这就是泄漏率。8
第五章 3、简单中子与物质的相互作用 扩散理论和扩散方程
第五章 中子与物质的相互作用 一、中子通量的空间分布
3）单位时间单位体积中子的产生率 ¡ 单位时间单位体积中子的产生率S表示。于是中 子守恒定律方程为
数值模拟方法两种。
3
n a = Σ a vn
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第五章 中子与物质的相互作用 1）单位时间单位体积介质 里中子的吸收数
第五章 3、简单中子与物质的相互作用 扩散理论和扩散方程
乘积vn为每平方厘米面积内每秒通过 的中子数，称为中子通量，用Φ表示 。也就是1cm3内 所有中子在1s时间 内所走距离的总和，因此也称做轨迹 长度。
∫
4π
r r r r 1 r r v′n (r ， v′， Ω′，t ) dW (v′Ω′ → vΩ ) + s (r ， v， Ω ，t ) λ s (v′)
¡ 波尔兹曼迁移方程，它是全部中子迁移的理论基础，
是研究一切中子分布问题的依据。
¡ 波尔兹曼方程的求解主要有数值求解法和Monte Carlo
第五章 4、无限中子与物质的相互作用 均匀介质中点源的扩散方程解 ¡ 假设同位素点源每秒放出一个中子，取球形坐标
）均为0，这样扩散方程进一步变为
系，点源位于原点处，这样中子分布就是球对称 的。 空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变 换关系为 z P(r,φ,θ)
D∇ 2 Φ − Σ a Φ = 0
¡脉冲中子C/O能谱测井就是通过测量和分析非
脉冲中子寿命测井
¡热中子寿命是表征地层中子特性的重要参数之一。
弹性散射γ能谱和俘获γ能谱，求取地层的C/O 等参数，进而确定地层的岩性、孔隙度、流体 饱和度，监测油田开发动态。
¡由于经常利用这一测井方法求取地层C/O值来 确定地层的含油饱和度，因此也称之为C/O能 谱测井或C/O测井。
积的中子数。
¡ 意义：中子通量在空间的分布状况及随时间的变化特
征，决定了中子与介质相互作用的特点，这是中子测 井方法的理论基础。掌握了中子通量的分布规律，可 以优化中子测井仪器的设计，有效地确定地层岩性和 地质参数。
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∂n 为中子通量随时间的变化率。 ∂t
l 当系统处于平衡状态即定态时， ∂n =0 ∂t
u = Ae − kr + Ce kr
φ=A e − kr e kr +C r r
lim 4πr J = 1
r →0
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第五章 4、无限中子与物质的相互作用 均匀介质中点源的扩散方程解 ¡ 根据边界条件1，C=0，因为C≠0时，当 r → ∞ Φ
第五章 4、无限中子与物质的相互作用 均匀介质中点源的扩散方程解 ¡ 这样：
d u + − K 2u = 0 dr 2
a ¡ 由于 K = D >0,于是方程的普遍解为： 2
Σ
①除中子源位置外，即r=0位置除外，中子通量是有限的 ②当r趋近0时，穿过一个球面 （4πr2）的中子总数必定 等于中子源的强度。如果J是该球面上的中子流密度， 这个边界条件就可以写成： 2 A和C是由边界 条件决定的常数
∂n ∂t
产生率- 泄漏率- 吸收率 =0
2
第五章 中子与物质的相互作用 一、中子通量的空间分布
第五章 中子与物质的相互作用 一、中子通量的空间分布
2、波尔兹曼方程
¡ 表示中子守恒原理的方程称为波尔兹曼方程
∂n r 1 + v gradn + vn ∂t λ
=∫
v v0 0
3、简单扩散理论和扩散方程 ¡ 先决条件：如果中子速度矢量的角分布各向同性，或 者近似各向同性，或者与能量及位置的分布无关，那 么中子守恒定律就可以用扩散方程表示。此时就可以 不考虑速度矢量。 1）单位时间单位体积介质里中子的吸收数 ¡ 假设中子以速率v（cm/s）运动，介质的宏观俘获截面 为Σa，那么，每秒内一个中子被俘获的平均几率就是 vΣa。假如中子束的中子密度为n，则每秒每立方厘米 中被俘获的中子数应为
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De ∇ 2φe − Σ eφe + S = 0
该产生项除 源外均为0
Dt ∇ 2φt − Σ tφt + Σ eφe = 0
该项表示每秒单位体积中由 超热中子减速到热中子组的 中子数。
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3
第五章 5、扩散中子与物质的相互作用 方程的分组扩散法解 ¡ 上述方程组可以分别利用前面的点状源方法求解：
第五章 中子与物质的相互作用 热中子通量的特点
热中子通量的特点：
v热中子通量的分布 不 仅 快 中
子的减速长度有关，还与热中 子的扩散和俘获性质有关。
v随着源距的增大，热中子通量不仅
取决于有多少快中子在探测区域内 转化为热中子，而且取决于其中有 多少热中子能够到达探测器而不被 俘获即以多大速率衰减。
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lim 4πr 2 J = lim 4πDAe− kr ( kr + 1) = 1
r →0 r →0
1 A= 4πD
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第五章 中子与物质的相互作用 一、中子通量的空间分布
第五章 5、扩散中子与物质的相互作用 方程的分组扩散法解 ¡ 双组扩散法是一种简单而又合理的方法。该方法将中子
5、扩散方程的分组扩散法解
第五章 中子与物质的相互作用
第五章 中子与物质的相互作用 一、中子通量的空间分布
第五节 中子通量、热中子通量的空间分布 一、中子通量的空间分布
¡ 定义：中子通量也叫中子密度。单位时间通过单位面
1、中子守恒定律
l 中子守恒定律：在一定体积内，中子通量随时
间的变化率等于它的产生率减去吸收率和泄漏 率，这就是中子守恒定律。 产生率- 泄漏率- 吸收率 =
v当 源距 很小 时，热中子通量
的大小主要取决于有多少快中 子在离源很近的区域能够慢化 成热中子。显然，在含氢量大 的地层即孔隙度大的地层，热 中子通量大。
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v含氢量大的地层热中子通量衰减
快，含氢量小的地层热中子通量衰 减慢。
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第五章 中子与物质的相互作用
第五章 中子与物质的相互作用
脉冲中子碳氧比测井
第五章 4、无限中子与物质的相互作用 均匀介质中点源的扩散方程解 ¡ 为了求解方程方便，令
2
拉氏算符▽2中，含有 dθ、dφ的项将为0。
¡ 除中子源所在位置外，其它各处中子通量满足
u = φr
,可有
d 2φ 2 dφ + − K 2φ = 0 dr 2 r dr
¡ 求解上式需要利用下列两个边界条件：
∫ J ⋅ dS = ∫ ( − Dgrad Φ ) ⋅dS
S S
r
r
r J = − DgradΦ
扩散系数的关系
D0 = Dv
r J = − D0 gradn
根据高斯定理
∫ J ⋅ dS =∫ divJdV = ∫ − Ddiv( gradΦ )dV = ∫ − D∇ ΦdV
2 S V V V
r
r
r
就不是有限值，而是无穷大。再求常数A。
¡ 在r处的中子流密度是
φ=
e − kr 4πDr
− r
J = −D
dφ kr + 1 = DAe − kr 2 dr r
¡
e Le 对超热中子，有 φ e = 4πD e r
其中 Le = De Σ 此时，扩散方程变为：
只适用于在离开强的源、强吸收介质或距不同物质边 界两三个平均自由程以外的区域。
¡ 在实际测井中，遇到的条件不能完全满足上面条件，
D∇ 2Φ − Σ aΦ + S = 0
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但应用该公式仍然能获得满意的结果。
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第五章 4、无限中子与物质的相互作用 均匀介质中点源的扩散方程解 ¡ 除源所在位置外，系统中其它各点的S项（产生率
数学上的 波动方程
∇ Φ−K Φ =0
2 2
K2 = Σa D
量纲cm-2
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x = r sin ϕ cos θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos ϕ
φ o θ x
r y Q
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第五章 4、无限中子与物质的相互作用 均匀介质中点源的扩散方程解 ¡ 由于通量分布是球对称的，因此，在用球坐标表示的
Lt = Dt Σt

Φ t (r ) =
e −r / L f e− r / Lt Lt2 − 2 2 4πDt ( L f − Lt ) r r

Lf为快中子减速长度，Lt为热中子的扩散长度，Dt为热 中子扩散系数。
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第五章 中子与物质的相互作用 二、热中子通量的空间分布
¡ 分组扩散法假设1：中子能量由源能量到热中子能量
之间可以分成有限的几个能量区间，即“能组”。
¡ 假设2：中子在每一组中扩散时不损失能量，而是在
分为两组，热中子组成一组，其它能量更高的中子组成 另一能组，具体到测井中，就是把其它高能量中子全看 成超热中子。这样扩散方程可以用两个方程描述：
经过多次碰撞后能量在一瞬间降低，转移到第二组内 。并且这一过程一直继续到中子能量从最高能组下降 到最低能组。 显然，分组处理时，能组分得越多，越符合实际情况， 但计算量非常大。简单办法就是单组处理方法，即上面 的点状源处理方法。但这种处理法显得粗糙。
关。
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第五章 中子与物质的相互作用
补偿中子测井 热中子测井是测量地层热中子通量随深 度变 化的测井方法。应用最成功的是 双探测器热 中子测井，也称补偿中子测井。
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4、无限均匀介质中点源的扩散方程解
¡ 在同位素点状中子源情况下，源强不大，且较稳定。
D∇ 2 Φ − Σ a Φ + S =
∂n ∂t
此时系统可以认为是稳定的，因而中子密度随时间的 变化率为0，
这就是扩散方程，在中子测井中有广泛应用。
¡ 在理论上，该方程的适用范围仅限于单能中子，而且
∂n =0 ∂t
2）单位时间内由单位体积泄漏出去的中子数 S V dV
np
na = Σ a Φ
¡ 即每秒每立方厘米介质中，中子被俘获（或吸收） 的数目等于宏观俘获截面与中子通量的乘积。
5
若从dV中每秒泄漏出的中子数为 np，则从整个体积V 中泄漏出的中子数Np应等于
N p = ∫ n p dV
V
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第五章 中子与物质的相互作用 2）单位时间内 由单位体积泄漏出去的中子数
第五章 中子与物质的相互作用 第五节 中子通量、热中子通量的空间分布
二、热中子通量的空间分布 r
中子源
e − r / Le φe (r ) = 4πDe r
φt ( r ) = e − r / Le e − r / Lt L2 t − 2 2 4πDt ( Le − Lt ) r r
第五章 中子与物质的相互作用 2）单位时间内 由单位体积泄漏出去的中子数
V S dS 在dS外法线方向 单位时间单位面 积流出的中子数
从dS流出的中子数为
r r r JdS = − DgradΦ dS r
则通过整个封闭曲面漏失的中子总数为
J 如果中子流是单能的，并且散射角余弦的均方值与 位置无关时，中子流密度为
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¡脉冲中子寿命测井就是将脉冲中子发生器产生的 14.1MeV的高能快中子与地层物质的原子核发生非弹 性散射、弹性散射。使几乎所有的快中子都被慢化成 热中子，在一定的时间内，通过测量热中子衰减时间 谱来确定热中子寿命，进而确定地层的流体饱和度的 方法。因而，脉冲中子寿命测井也称为热中子衰减时 间测井。 ¡在一般储集层中，热中子寿命主要与地层的含氯量有