人教A版高中数学选修2-2课件归纳法.pptx
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= n(n +1)(n + 2) 3
试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确
1、 1 3 5 • • • (2n－１) n2 1(n∈ N *)
证明: 假设n = k时命题成立， 即
1+ 3 + 5 + • • • + (2k－１) = k 2 +1
错误！ 那么，当n=k+1时 1+ 3 + 5 + • • • + (2k－１) + (2k +1)
空白演示
在此输入您的封面副标题
我是 一毛
我是 二毛
我是 三毛
我不是
四猜毛！： 我四是小毛 明！！
我是
谁？
提出问题：
(n对∈于数N列* )（｛1a）n｝求，出已数知列a前1 4=项1,，你a能n+1得=到1+a什na么n 猜
想？（2）你的猜想一定是正确的吗？
解:
a1
1 1
1 a2 2
a3
1 3
a4
请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足 哪几个条件 1、第一块骨牌倒下
2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致 后一块倒下
条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之 就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下
数学归纳法.
多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题的相似
性。 多米诺骨牌游戏原理
根据(1)和(2)，猜想对于任何 n∈ N * 都成立。
例用数学归纳法证明 12 + 22 + 32 + • • • + n2 = n(n +1)(2n +1) (n∈ N *)
6 证明：（1）当n=1时，左边=12=1 右边=1 等式成立
(2)假设当n=k时等式成立,即
12 + 22 + 32 + • • • + k 2 = k(k +1)(2k +1)
那么,当n=k+1时
6
用到假 设
12 + 22 + 32 + • • • + k 2 + (k +1)2
k(k +1)(2k +1) =
+ (k +1)2 = k(k +1)(2k +1) + 6(k +1)2
6
6
(k +1)(2k 2 + 7k + 6) (k +1)(k + 2)(2k + 3)
即当n=k+1时等式也成立 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈ N *都成立.
错误原因：由证明n=k+1等式成立时 没有用到n=k命题成立的归纳假设
小结：
一种方法：一种用来证明某些“与正整数 n有关的命题”的方法— 数学归纳法
二个注意：1、“二步一结论”缺一不可。 2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1 也成立”时一定要用到归纳假设
证明:(1)当n=1时,左边=20=1, 右边=21 － 1=1 等式成立
（2）假设n=k时，等式成立，即
20 + 21 + 22 + • • • + 2k-1 = 2k－ 1
错误！ 那么，当n=k+1时 20 21 22 • • • 2k-1
2k
1 2k1
2k 1
1
1 2
2k 1 2k 2 2k 1 2k1 1
凑出目标
=
6
=
6
(k +1)[(k +1) +1][2(k +1) +1] =
即当n=k+1等式也成立
6
根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈ N *都成立.
练习:用数学归纳法证明
1、
1+2+3+4+•••+n =
1 n(n +1)
2
2、 1× 2 + 2×3 + 3× 4 + • • • + n(n +1) 1
知不论有多少块骨牌， 对任意的正整数n，猜想
都能全部倒下。
都成立。
对于数列｛an｝，已知 a1 = 1，an+1 =
写出数列前4项,并猜想其通项公式 an
an (n∈ N *)
1+ an
;同学们,你能验证
你(猜即那2的)想解当么猜假证数:,n想当a设明列1=是n当:的k不(=111n+通)是当=k1a项时正2k+n时公,1确猜=时式1,2的猜1想为时,a呢想a也3a,?k成na+成1113立=立=n1,11a即=4+a11a=kak, 14k=猜k1=想1+成k1k1立= 。k 1+1
思考
已知数列
1 ,
1× 4
1 ,
4×7
1 ,
7 ×10
1 ···，(3n－ 2)(3n 1)
，···，计算S1，S2，S3，S4， 根据计算结果，猜想
Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。
验a猜8证想=:81同数理列a得的9 =通a591项=公•15•式a•6为=a正 无16n 整 数a7数 个1 n=!
(n
1
7
1 =
4
N*)
啊,有完 没完啊?
? 本题有没有行之有效,步骤有限的方法呢?
下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有 什么启示？
问题情景
你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一 下那场景!
= k 2 +1+ (2k +1) = k 2 + 2k +1+1
= (k +1)2 +1 即当n=k+1时等式也成立
可知等式对任何 n∈ N *都成立.
错误原因：没有第一步n=1等式成立的证明
其实n=1等式并不成立，左边=1，右边=2
2、 20 + 21 + 22 + • • • + 2n-1 = 2n－1(n∈ N *)
1
通项公式为an
明方法
n
的证
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时，猜想成立
（2）若第k块倒下时， 则 相 邻 的 第 k+1 块 也 倒下。
（ 2 ） 若 当 n=k 时 猜 想 成
立，即
1 ak = k
，则当Байду номын сангаас
n=k+1时猜想也成立，
即 ak+1 =
1。 k +1
根据（1）和 （2），可 根据（1）和（2），可知
试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确
1、 1 3 5 • • • (2n－１) n2 1(n∈ N *)
证明: 假设n = k时命题成立， 即
1+ 3 + 5 + • • • + (2k－１) = k 2 +1
错误！ 那么，当n=k+1时 1+ 3 + 5 + • • • + (2k－１) + (2k +1)
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我是 一毛
我是 二毛
我是 三毛
我不是
四猜毛！： 我四是小毛 明！！
我是
谁？
提出问题：
(n对∈于数N列* )（｛1a）n｝求，出已数知列a前1 4=项1,，你a能n+1得=到1+a什na么n 猜
想？（2）你的猜想一定是正确的吗？
解:
a1
1 1
1 a2 2
a3
1 3
a4
请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足 哪几个条件 1、第一块骨牌倒下
2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致 后一块倒下
条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之 就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下
数学归纳法.
多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题的相似
性。 多米诺骨牌游戏原理
根据(1)和(2)，猜想对于任何 n∈ N * 都成立。
例用数学归纳法证明 12 + 22 + 32 + • • • + n2 = n(n +1)(2n +1) (n∈ N *)
6 证明：（1）当n=1时，左边=12=1 右边=1 等式成立
(2)假设当n=k时等式成立,即
12 + 22 + 32 + • • • + k 2 = k(k +1)(2k +1)
那么,当n=k+1时
6
用到假 设
12 + 22 + 32 + • • • + k 2 + (k +1)2
k(k +1)(2k +1) =
+ (k +1)2 = k(k +1)(2k +1) + 6(k +1)2
6
6
(k +1)(2k 2 + 7k + 6) (k +1)(k + 2)(2k + 3)
即当n=k+1时等式也成立 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈ N *都成立.
错误原因：由证明n=k+1等式成立时 没有用到n=k命题成立的归纳假设
小结：
一种方法：一种用来证明某些“与正整数 n有关的命题”的方法— 数学归纳法
二个注意：1、“二步一结论”缺一不可。 2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1 也成立”时一定要用到归纳假设
证明:(1)当n=1时,左边=20=1, 右边=21 － 1=1 等式成立
（2）假设n=k时，等式成立，即
20 + 21 + 22 + • • • + 2k-1 = 2k－ 1
错误！ 那么，当n=k+1时 20 21 22 • • • 2k-1
2k
1 2k1
2k 1
1
1 2
2k 1 2k 2 2k 1 2k1 1
凑出目标
=
6
=
6
(k +1)[(k +1) +1][2(k +1) +1] =
即当n=k+1等式也成立
6
根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈ N *都成立.
练习:用数学归纳法证明
1、
1+2+3+4+•••+n =
1 n(n +1)
2
2、 1× 2 + 2×3 + 3× 4 + • • • + n(n +1) 1
知不论有多少块骨牌， 对任意的正整数n，猜想
都能全部倒下。
都成立。
对于数列｛an｝，已知 a1 = 1，an+1 =
写出数列前4项,并猜想其通项公式 an
an (n∈ N *)
1+ an
;同学们,你能验证
你(猜即那2的)想解当么猜假证数:,n想当a设明列1=是n当:的k不(=111n+通)是当=k1a项时正2k+n时公,1确猜=时式1,2的猜1想为时,a呢想a也3a,?k成na+成1113立=立=n1,11a即=4+a11a=kak, 14k=猜k1=想1+成k1k1立= 。k 1+1
思考
已知数列
1 ,
1× 4
1 ,
4×7
1 ,
7 ×10
1 ···，(3n－ 2)(3n 1)
，···，计算S1，S2，S3，S4， 根据计算结果，猜想
Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。
验a猜8证想=:81同数理列a得的9 =通a591项=公•15•式a•6为=a正 无16n 整 数a7数 个1 n=!
(n
1
7
1 =
4
N*)
啊,有完 没完啊?
? 本题有没有行之有效,步骤有限的方法呢?
下面我们看看下列的情景对我们解决本题证明有 什么启示？
问题情景
你见过多米诺骨牌游戏吗?请欣赏一 下那场景!
= k 2 +1+ (2k +1) = k 2 + 2k +1+1
= (k +1)2 +1 即当n=k+1时等式也成立
可知等式对任何 n∈ N *都成立.
错误原因：没有第一步n=1等式成立的证明
其实n=1等式并不成立，左边=1，右边=2
2、 20 + 21 + 22 + • • • + 2n-1 = 2n－1(n∈ N *)
1
通项公式为an
明方法
n
的证
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时，猜想成立
（2）若第k块倒下时， 则 相 邻 的 第 k+1 块 也 倒下。
（ 2 ） 若 当 n=k 时 猜 想 成
立，即
1 ak = k
，则当Байду номын сангаас
n=k+1时猜想也成立，
即 ak+1 =
1。 k +1
根据（1）和 （2），可 根据（1）和（2），可知