九年级数学上册234中位线学案2新版华东师大版

23.4 中位线
课前知识管理
1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是△ABC的一条中位线.
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图，在△ABC中，点E，F 分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且.
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典例精析：
知识点1：用三角形中位线判断四边形形状
例1、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AB、BC、C D、DA的中点，则四边形EFGH是（）（A）等腰梯形（B）矩形（C）菱形（D）正方形
【解题思路】因为梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知EF与HG都平行且等于AC的一半，同理，EH和FG都平行且等于BG的一半，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.
【解】选C.
【方法归纳】顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四边形之间的关系为：
对应练习：顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形各边中点得到的图形是.
答案：矩形.
知识点2：利用三角形中位线计算
例2、如图，在等腰梯形中，，，，相交于点，且，
顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（）
A．24 B．20 C．16D．12
【解题思路】过D作FD∥AC交BC的延长线交于E,由已知条件易知是等边三角形,而四边形ACED为平行四边形,易得AC=BD=BE=DE=AD+BC=8,由三角形中位线定理可得,中位线等于第三边的一半,所以顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的周长为16.
【解】选C.
【方法归纳】梯形中常见的辅助线常有平移一腰，作底边上的高线，平移一条对角线，延长两腰等方法.通过辅助线将梯形转化为特殊三角形，或平行四边形，矩形等以便找出等量关系.
对应练习：如图所示，EF是△ABC的中位线，BD平分交EF于D，若ED=2，则EB=________________.
答案：2
知识点3：应用三角形中位线定理说明角相等
例3、已知，如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE 的延长线相交于点N.试说明：∠AME＝∠DNE.
【解题思路】因E、F分别是AD、BC的中点，可考虑连结BD，构造出中位线.
【解】连结BD，取BD的中点O，连结OE、OF.易得EO＝AB，且EO∥AB，FO＝CD，且FO∥CD. ∴∠OEF＝∠
AME，∠OFE＝∠DNE.
又因为AB＝CD，∴EO＝FO，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠AME＝∠DNE.
【方法归纳】要善于利用点构造“中位线”研究相关问题，一般是由“中点”联想到“中位线”，多数情况下这个想法是行得通的.
对应练习：如图所示，在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（）
A. B. C. D.
答案：B
知识点4：应用三角形中位线定理证明线段相等
例4、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的。