高三数学北师大版大一轮复习 平面向量基本定理及表示

2019届高三数学北师大版大一轮复习
平面向量基本定理及坐标运算
考点一。

向量坐标 (11222121(,),B(,)AB=(-,-)A x y x y x x y y ∴；
1122212121211212a (,),(,)+=(,);-=(,);cos (;x y b x y a b x x y y b a x x y y a b x x y y a b θ==∴++--=+=同起点）
（1）已知向量)12()41()3(，，，，，===c b k a ，且c b a ⊥-)32(，求实数k 的值。

解：0124)42(3)32(232)32(=-=+-+=⋅-⋅=⋅-→
→→
→k k c b c a c b a ，所以3=k ．
（2）已知),2(),2,1(m b a =-=，若b a ⊥.
解：由b a ⊥得到0221=-⨯m ，得1m =514=+=
.
（4），在第二象限，且为坐标原点，），，（），（已知
120AOC C O 31B 0,1A =∠
解：1,323y 32-,),,C =∴-=+-=+=λλ
λ
λλx y x y x ），则，（）
则（（设. 考点二。

向量共线 (12211212b:b x x ;b:=x x 0;a a y y a a b y y λ==⊥+=或)
(1)已知点A （1，-5），B （a ，-2），C(-2，-1)共线，求a.
解：()()AB=a-1,3)BC=-a-2,1)a 132a -=--（，（，则∴5
4
a =-
. （2）已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若4ma b +与2a b -共线，求m 的值。

解:()()
424,38,24,1ma b m m a b +=-+-=-，
()()()241438m m -⨯-=+∴2m =-.
（3）已知三点共线。

求证：D ,C ,A ,28,2B ,--=+=-= 证明：由题三点共线。

则D b b ,C ,A ,2a 8CD ,a 4AC --=+=
（4）.,C ,A ,k a 2CD ,3-2a B C ,a AB k D b b b 三点共线，求
若-==+= 解：。

，即且则34
k 23,-k 2-,m 23,,k 2,2=====∴-=-=m m m
（5）最小值。

共线，求，，）且（）（），（若b
b 1
a 1C B A 0,OC ,2,a -OB 4,2-OA +===
解：12),2)(2()4)(-2),2,2(),4,2(=+
∴-+=---=-+=b a b a a b 则（，
故223
223)11)(2a +≥++=++b a a b b a b （。

（6）非零向量OB OA ，
不共线，BA 3
1
=，求。

解：OA 31
OB 32BA 31OB BM OB OM +=+=+=。

（7）等差数列{}n a ，若M ，N ，P 三点共线，o 为外一点，且a 1615a +=，求30S 。

解：1a 1615=+a ，则152
)
a 30S 161530=+=
a （。

（8）在△ABC 中，AE →＝14AC →，P 为BE 上一点，且AC AB 112
m +=，求m. 解：因B ，P ，E 三点共线，则11
3
m 118m 4112m =+=⨯+
=A A . （9）直线l 与平行四边形ABCD 两边AB ，AD 分别交于E ，F ，与AC 交于K ，λλ，32===A A
解：因E ，F ，K 三点共线，则5D 3
2
)32(1
)(1
=∴+
=
+=
+=λλ
λ
λ
λ
A A A .
考点三：向量加法法则
（1）在平行四边形ABCD 中， AB →＝a ，AD →＝b ，N 为AC 上的点，且AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝________. 解：N 为AC 四分点．MN →＝MC →＋CN →＝12AD →－14AC →＝12AD →－14(AB →＋AD →)＝－14AB →＋14AD →＝－14a ＋1
4b.[来]
（2）在平行四边形ABCD 中， AB →＝a ，AC ＝b ，且AC 41NC =，MC 2
1
BM =，求MN →＝____.
（3）在平面四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE BA BD λμ=+，则λμ+=________． 解：11111()()22224BE BA BO BA BD BA BD =+=+=+所以11,24
λμ==，则34λμ+=
（4）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →
，则λ＋μ＝________. 解：AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12
AD →
，于是得
⎩⎨⎧
1
2
λ＋μ＝1λ＋12μ＝1
，所以λ＋μ＝4
3.
（5）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →
＝a ，BD →＝b ，则AF →
＝_______.
解：作OG ∥EF 交DC 于G ，由于DE ＝EO ，得DF ＝FG ，又由AO ＝OC 得FG ＝GC ，于是DF →＝13DC →＝13(－12b ＋1
2
a)，
那么AF →＝AD →＋DF →＝(12a ＋12b)＋13(－12b ＋12a)＝23a ＋13b.
（6）在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →
.
解：取AE 的三等分点M ，使|AM|＝13|AE|，连接DM.设|AM|＝t ，则|ME|＝2t.又|AE|＝1
4
|AC|，∴|AC|＝12t ，|EC|＝9t ，
且DM ∥BE.∴在△DMC 中CE CM ＝CP CD ＝911∴CP ＝911CD ∴DP ＝2
11CDAP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)
＝13AB →＋211(－13AB →＋AC →)＝311AB →＋211AC →＝311a ＋2
11
b.。