福建莆田第一中学18-19学度高一下学期第一学段考试——数学

福建莆田第一中学18-19学度高一下学期第一学段考试——数
学
本卷须知
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

【一】选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.〕
A.直线a 平行于平面α，那么a 平行于α内任意一条直线
B.直线a 与平面α相交，那么a 不平行于α内任意一条直线
C.直线a 不垂直于平面α，那么a 不垂直于α内任意一条直线
D.直线a 不垂直与平面α，那么过a 的平面不可能垂直于α
2、假设一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，那么这个几何体可能是〔〕
A 、圆锥 B.圆柱 C . 三棱柱 D.球体
3、ABC 的斜二侧直观图如下图，那么ABC 的面积为〔〕
A
、2B 、C 、2D 、4
4、假设直线
22
1020ax y x y x ++=+-=与圆相切，那么a 的值为〔〕 A.1，－1B.2，－2C.－1D.0
5、如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中AB 与CD 的
位置关系为〔〕 A.平行B.相交成60°角
C.异面成60°角
D.异面且垂直
6、点M 〔X0，Y0〕是圆X2＋Y2＝A2〔A 》0〕内不为圆心的一点，那么直线X0X ＋Y0Y ＝A2与该圆的位置关系是〔〕
A 、相离
B 、相切
C 、相交
D 、相切或相交
7、圆X2＋2X ＋Y2＋4Y －3＝0上到直线X ＋Y ＋1＝0的距离为2的点共有〔〕 A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
A
8、圆O1：06422=+-+y x y x 和O2：
0622=-+x y x 交于A 、B 两点，那么AB 的垂直平分线的方程是〔〕
A.X －3Y ＋7＝0
B.3X －Y －5＝0
C.X ＋3Y ＋3＝0
D.3X －Y －9＝0
9、将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ACD 与平面ABC 成
①AC BD ⊥；②面DBC 是等边三角形；③三棱锥D ABC -
的体积是.
其中正确命题的序号是〔〕 A 、①② B 、②③ C 、①③
D 、①②③
10、如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，那么直线
0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在〔〕
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【二】填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕
11、过点),2()4,(a B a A -和的直线的倾斜角等于45，那么a 的值是＿＿＿＿＿＿＿ 12、集合A ＝｛〔X ，Y 〕｜X2＋Y2＝4｝，B ＝｛〔X ，Y 〕｜〔X －3〕2＋〔Y －4〕2＝R2｝，其中R 》0，
假设A ∩B 中有且仅有一个元素，那么R 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
13、直线m y x m l -=++2)1(:1和1624:2-=+my x l ，假设1l ∥2l ，那么m 的值为＿＿＿＿＿＿＿
14、长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，那么这个球面的表面积为＿＿＿＿＿＿＿
15、从正方体的8个顶点中，任意选择4个不共面的为顶点，所得四面体的四个面中是直角三角形的个数可以为＿＿＿＿＿＿＿＿〔写出所有可能结果的序号〕
①0个，②1个，③2个，④3个，⑤4个。

【三】解答题：〔本大题共6个小题，总分值55分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤、请按照题目顺序在第二卷各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效、〕
16、〔本小题总分值6分〕如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为
220x y --=，点(2,0)C 。

〔1〕求直线CD 的方程；〔2〕求AB 边上的高CE
〔3〕假设
AB =ABCD 的面积。

17、〔本小题总分值7分〕
在正方体ABCD －A1B1C1D1中，求证： 〔Ⅰ〕AC ／／面A1C1B 。

〔Ⅱ〕B1D ⊥面A1C1B 。

18、〔本小题总分值12分〕 如图，在Rt AOB △中，
π
6OAB ∠=
，斜边4AB =、
Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是
直二面角、动点D 在斜边AB 上、
〔1〕求证：平面COD ⊥平面AOB ；
〔2〕当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值； 〔3〕求CD 与平面AOB 所成角的最大值的正切值、
19、〔本小题总分值7分〕
圆O1的方程为X2＋〔Y ＋1〕2＝6，圆O2的圆心坐标为〔2，1〕。

假设两圆相交于A 、B 两点，且
4
AB =，求圆O2的方程。

20、〔本小题总分值11分〕
如图，在长方体ABCD —A1B1C1D1，中，AD ＝AA1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动. 〔1〕证明：D1E ⊥A1D ；
〔2〕当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD1的距离；
〔3〕当AE 等于何值时，二面角D1—EC －D 的大小为4π
.
21、〔本小题总分值12分〕
圆X2＋Y2－2AX －6AY ＋10A2－4A ＝0〔0《A ≤4〕的圆心为C ，直线L ：Y ＝X ＋M 。

〔1〕假设A ＝2，求直线L 被圆C 所截得的弦长AB 的最大值； 〔2〕假设M ＝2，求直线L 被圆C 所截得的弦长
AB
的最大值；
〔3〕假设直线L 是圆心C 下方的切线，当A 变化时，求实数M 的取值范围。

莆田一中2017－2018学年度下学期第一学段考试答卷页 高一数学必修2 选择题：〔每题3分，共30分〕请填入答题卡。

………………………………
【三】解答题：〔55分〕
【一】选择题BACDCACDCA 【二】填空题
11、112、3或713、114、14π15、①④⑤ 【三】解答题
16、解：〔1〕∵四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴。

2CD AB k k ∴==。

∴直线CD 的方程为()22y x =-，即240x y --=。

－－－－－－2分
〔2〕∵CE AB ⊥，
11
2CE AB k k ∴=-
=-。

∴直线CE 的方程为
()1
22y x =-
-，即220x y +-=。

－－－－－－4分
〔3〕∵点(2,0)C 到直线220x y --=
ABCD 的面积为2。

－－－－－－6分
17、〔Ⅰ〕在正方体ABCD －A1B1C1D1中，
1AA ∥1CC ，得平行四边形11AAC C
∴AC ／／A1C1，
又AC 在面A1C1B 外，A1C1在面A1C1B 内，所以AC ／／面A1C1B 。

－－－－3分 〔Ⅱ〕连接B1D1，那么B1D1⊥A1C1，由DD1⊥平面A1B1C1D1知DD1⊥A1C1， 又∵B1D1∩DD1＝D1所以A1C1⊥面B1D1D ，〔－－－－5分〕从而A1C1⊥B1D ， 同理A1B ⊥B1D ，又∵A1B ∩A1C1＝A1所以B1D ⊥面A1C1B 。

－－－－7分 18、解：〔1〕依题意Rt AOB △≌Rt AOC △，∴AO ⊥OC ，AO ⊥OB ，OC ＝OB ∴∠COB 为二面角B AO C --的平面角－－－－－－1分
∵二面角B AO C --是直二面角∴∠COB ＝2π
即OC ⊥OB
∵OC ⊥AO ，,,AO OB AOB AO OB O ⊂⋂=平面 ∴OC ⊥平面AOB
∵OC COD ⊂平面∴平面COD ⊥平面AOB －－－－－－4
分 〔2〕取OB 中点E ，连接DE ，CE ∵D 为AB 的中点∴DE ∥AO
∴∠CDE 为异面直线AO 与CD 所成角－－－－－－5分
∵在Rt AOB △中，
π
6OAB ∠=
，4AB =
∴OA =，OB ＝2，DE =，OE ＝1 ∴OC ＝OB ＝2在RT △COE 中，CE ∵AO ⊥OC ，AO ⊥OB ，,,OB OC COB BO OC O ⊂⋂=平面 ∴OA ⊥平面COB －－－－－－6分 ∵DE ∥AO ∴DE ⊥平面COB ∴DE ⊥CE
∴在RT △CED 中，
tan CE CDE DE ∠=
== ∴当D 为AB 的中点时，异面直线AO 与CD 所成角的正切值为5－－－－－－
O
C
A
D
B
E
8分
〔3〕∵OC ⊥平面AOB ∴∠CDO 为CD 与平面AOB 所成的角－－－－－－9分
∴在RT △COD 中，
2
tan OC CDO OD OD ∠=
=
∴当OD 最小即OD ⊥AB 时，tan CDO ∠最大－－－－－－10分 ∴在RT △AOB 中，OD ⊥AB 时，那么OD ·AB ＝OA ·OB
∴OD =
2tan CDO OD ∠=
== ∴CD 与平面AOB
所成角的最大值的正切值为－－－－－－12分
19、解：设圆O2的方程为
()()2
2
221x y r -+-=()
0r >－－－－－－1分
∵圆O1的方程为X2＋〔Y ＋1〕2＝6，
∴直线AB 的方程为
2
44100x y r ++-=－－－－－－3分
圆心O1到直线AB 的距离D
，由2
2
2
d
+＝6，得
()
2
2
1432
r
-＝2－－－5
分
∴2
r －14＝±8，2
r ＝6或22
故圆O2的方程为()()22
216
x y -+-=或
()()22
2122
x y -+-=。

－－－7
分
20、解：〔1〕∵在长方体中AE ⊥平面AA1DD1，A1D ⊂平面AA1DD1
∴AE ⊥A1D 又∵在正方体中A1D ⊥AD1，且AE ∩AD1＝A ∴A1D ⊥平面AED1从而D1E ⊥A1D 、－－－－－－3分
〔2〕设点E 到面ACD1的距离为H ，在△ACD1中，AC ＝CD1＝5，AD1＝2，
∴
.21,231==
∆∆ACE C AD S S 而－－－－－－5分
11111131
,1,.
33223D AEC AEC AD C V S DD S h h h -∆∆∴=⋅=⋅∴⨯=⨯∴=－－－－－－7分
〔3〕过D 作DH ⊥CE 于H ，连D1H 、DE ，∵DD1⊥CE ，DH ∩DD1＝D
∴CE ⊥平面DHD1那么D1H ⊥CE ，
∴∠DHD1为二面角D1—EC —D 的平面角.－－－－－－8分 设AE ＝X ，那么BE ＝2－X ，
11,, 1.,,,
4
Rt D DH DHD
DH Rt ADE DE
Rt DHE EH x π
∆∠=
∴=∆
=∆
=在中在
中在中
122,.
4Rt DHC CH Rt CBE CE x x AE D EC D π
∆=∆=∴+=∴=--在中在中二面角的大小为
－－－－－－11分
21、解：圆C 的方程可化为〔X －A 〕2＋〔Y －3A 〕2＝4A
∴圆心为C 〔A ，3A 〕，半径为R ＝2a －－－－－－－－－－－－－1分 假设A ＝2，那么C 〔2，6〕，R ＝22， ∵弦AB 过圆心时最长，∴
AB
MAX ＝4
2－－－－－－－－－－－－－3分
假设M ＝2，那么圆心C 〔A ，3A 〕到直线X －Y ＋2＝0的距离
D 21
a =-，R ＝2a －－－－－－－－－－－－－5分
AB ＝2
6
)2(2228222222+--=-+-=-a a a d r
∴当A ＝2时，
AB
MAX ＝26，－－－－－－－－－－－－－8分
圆心C 〔A ，3A 〕到直线X －Y ＋M ＝0的距离D
＝2
2m
a +-－－－－－－－－－－－
－－9分
∵直线L 是圆心
C 的切线，∴
D ＝R
=，
2m a -=∴M ＝2A ±－－－－－－－－－－－－－－－－10分 ∵直线L 是圆心C 下方，∴M ＝2A －2a 2＝〔a 2－1〕2－1
∵A ∈〔0，4〕∴当A ＝21
时，MMIN ＝－1；当A ＝4时，，MMAX ＝8－42，
故实数M 的取值范围是【－1，8－42】－－－－－－－－－－－－－－－－12分。