“将军饮马”模型案例的认识省级课题研究《基于教

“将军饮马”模型案例的认识省级课题
研究《基于教
泉州台商张坂中学，福建省泉州市，362123
一、案例背景知识：
【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走
才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个
被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直
【核心素养】数学思想方法是数学学科的精髓,是数学素养的重要内容之一,学生只有领
会数学思想方法,才能有效地应用数学知识,形成能力,从而为解决数学问题,进行数学思维起
到很好的促进作用。

数学建模思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

本文通过对“将军饮马”模型的探究及建立过程使学生初步形成模型思想，提高学习数学的
兴趣和应用意识。

二、案例常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小
【题型】将军饮马
【背景】将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营。

问：将军怎么走能使得路程最短？
例：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即
PA+PB最小.
【作法】过点A作关于定直线l的对称点A’，连接AA’，与直线l的交点P，即为所要寻找的点，即PA+PB最小，且最小值等于AA’.
2.两定两动型最值
【一】将军遛马
【背景】将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，并且沿着河岸走定长一段路，再返回军营B处。

问：将军怎么走能使得路径最短？
例：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d （动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
【模型】条件：已知点A、B在直线l的同侧,MN为直线l上定长线段.
结论：在直线l上找两点M、N，且MN为定长，使AM+MN+NB最小.
【依据】线段公理：两点之间，线段最短
【画板演示】
【关键】找对称点；存在定长的动点问题一定要考虑平移.
【关键】找对称点,存在定长的动点问题一定要考虑平移.
【作法】将点A向右平移长度MN得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

【二】将军过桥（或称为造桥选址）
【背景】将军在图中点A处，现在他要过河去往军营B处，桥必须垂直于河岸建造.
问：桥要建在何处才能使得路径最短？
例：直线l1∥l2，距离为d，在直线l1上找一个点M，直线l2上找一个点N，使得MN⊥l2,且AM＋BN＋MN最短．
【模型】条件：已知A、B两点之间有两条平行直线l1∥l2，且两条平行直线间的距离为MN的长.
结论：MN在两条平行线间的何处，使AM+MN+NB最小.
【依据】线段公理：两点之间，线段最短
【画板演示】
【关键】存在定长的动点问题一定要考虑平移.
【作法】过点A作AO⊥l1，沿AO方向向下平移长度d至点A’，连接A’B，交l2于点N，过点N作MN⊥l2于点M，连接AM．则桥MN即为所求．此时最小值为A’B+MN.
3.两定四动型最值
【题型】将军过双桥
【背景】将军在图中点A处，现在他要过两条河去往军营B处，桥必须垂直于河岸建造.问：桥要建在何处才能使得路径最短？
例：已知A、B是两个定点，直线l1∥l2，l3∥l4,距离分别为d1,d2，在定直线l1上找一个点M，直线l2上找一个点N，使得MN⊥l2，在直线l3上找一个点P，直线l4上找一个点Q，使得PQ⊥l4，且AM＋MN＋NP+PQ+PQ最短．
【模型】条件：已知A、B两点之间有两组平行直线，l1∥l2，l3∥l4,且两
组平行直线间的距离分别为MN、PQ的长.
结论：MN、PQ在两组平行线间的何处，使AM+MN+NP+PQ+QB最小.
【依据】线段公理：两点之间，线段最短
【画板演示】
【关键】存在定长的动点问题一定要考虑平移.
【作法】过点A作AO⊥l1，沿AO方向向下平移长度d1至点A’，过点B作BO’⊥l4，沿
BO’方向向上平移长度d2至点B’，连结A’B’，交直线l2、l3于N、P，过点N作MN⊥l2
于点M，过点P作PQ⊥l3于点Q，连接AM、BQ．则AM+MN+NP+PQ+QB最小.
三、案例反思
“将军饮马”模型揭示了两类最短路线问题，（1）直线异侧两点和直线同侧两点，通
过作对称点求距离的和最小问题；（2）在两条或四条直线异侧两定点，通过平移定长距离
求距离的和最小问题.这里我们把这里最短路线问题称为“将军饮马”模型。

三、案例评价
数学思想方法是数学学科的精髓所在，在分析数学题中把数学思想方法和知识的系统性
与连贯性结合起来可以提高学习数学的时效性和针对性，充分理解并掌握“将军饮马”模型
的原理和作法对解决这一类最短路线问题有很大帮助，帮助学生从理论的高度认识数学思想
方法，并应用于实践，符合数学来源于生活，并应用于生活的应用观。