2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)

（第3题）
2018年高考模拟试卷（9）
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分．
1． 设集合A = ｛1，x }，B = {2，3，4｝，若A ∩B =｛4｝，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．
3． 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的
频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间［20,25）和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．
4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机
分配红包，总金额为9。

9元，随机分配成5份，金额分别为2。

53元,1。

19元,3。

21元，
0.73元，2.33元,则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．
6． 函数2
2log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．
7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO
＝30°,则三棱锥的体积为 ▲ ．
8． 已知双曲线2
2
14
y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，
且离心率为
32
，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ,交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．
（第4题）
9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x ）12-
，若()6
f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ．
10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列,数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++
1121n n n a a a a a --++++
++(2,n n *∈N ≥)，若(28)2018m m a b +-=,则m 的值为
▲ ．
11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值
为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若
352115CA AB AB BC BC CA
==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中,圆O ：2
2
1x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点
Q 作圆O 的切线，切点为,P N ,且2
3
QP QN ⋅=
，则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2
()1f x x =-+，
若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，
且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值
为 ▲ ．
二、解答题:本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3
M π
．
(1）求()f x 的解析式；
（2)已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=,24
()13
f β=，求()f αβ-的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中,90BAD ∠=︒，AD BC ∥,2AD BC =,AB PA ⊥． (1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB
17．（本小题满分14分）
有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪,草坪内距离O 百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ,B 两点，为了方便居民散步,同时修建小路OA ，OB ,其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
（2）若要在△ABO 区域内（含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试
求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和π)
18．（本小题满分16分）
如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆22
14+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右
（第16题）
焦点,过点n *
∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴)交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．
（1)若3AF =,点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；
② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．
19．（本小题满分16分）
已知函数2
()ln f x x x ax =+．
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．
① 求实数a 的值；
② 设函数()()f x g x x =
，当0s >时，试比较()g s 与1
()g s
的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）,求证：11
()2
f x >-．
20．（本小题满分16分)
设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的
*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．
（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*
n ∈N ,
并给出证明；
（2）已知数列{}n c 为“好”数列．
① 若20172018c =,求数列{}n c 的通项公式；
② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，(1s >）,有1s t c c c ，，成等比数列, 求证：2
t s ≥．
2018年高考模拟试卷（9）
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲］（本小题满分10分）
如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E,若BD ∥CE ， AB 交CE 于M ，求证：2
AB AE AD =⋅
B ．［选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分)
已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦
作用后，再绕原点逆时针旋转90︒， 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，
,求点A 的坐标．
D
A
（第21-A ）
C ．［选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠,以极点为坐标原点，极轴为x 轴
正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,
(43
x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数),若直线l
与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．
D ．[选修4－5：不等式选讲］ （本小题满分10分)
已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=,求321
a b c
++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，
延长1BB 至M ，使11BB B M =， 连接11,,A M AC CM ，若190MA
C ︒
∠=． （1)求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；
（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．
23．（本小题满分10分）
（1）求证：1
1()k k n k n k kC n k C ----=-；
(2）求证：1008
20170
(1)120172017n n
n
n C n -=-=-∑． M
C 1
B 1
A 1
C
B
A
（第22题）
2018年高考模拟试卷(9)参考答案
数学Ⅰ
一、填空题: 1．【答案】4
【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i
【解析由z 1·错误!＝5，得错误!＝错误!＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50
【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30
【解析】3A =,1N =，输出3;6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30;则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15
【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2。

53,1.19）（2。

53，3.21）（2。

53，0。

73）（2。

53，2.33）
（1.19，3.21）(1。

19,0。

73）（1.19，2。

33）（3.21，0.73）(3.21，2。

33）(0。

73，2.33）,共10种可能,其中金额不低于5元的事件有（2.53，3。

21）(3。

21，2。

33），共2种可能,所以不低于5元的概率21
105
P ==． 6．【答案】(],2-∞
【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为
(],2-∞．
7．9
34
【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2。

设△ABC 的边长为2a ，
因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2, 所以BO ′＝错误!R ＝错误!，OO ′＝错误!＝1,
PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝2
3
×错误!×2a ＝错误!，
所以a ＝错误!，所以三棱锥P ABC 的体积为V ＝错误!×错误!×32×sin60°×3
8．【答案】
【解析】对于椭圆，显然1,c b a ==
，所以椭圆方程为2
214x y +=,设00(,)N x y ,则由AN NM =得
00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上,点N 在椭圆上，所以220014x y +=,22
00(21)414
x y +-=,
解得,001,2x y ==l 的斜率k =．
9．【答案】1
3
解析一：f （x ）＝cos x （sin x ＋cos x )－错误!＝sin x cos x ＋cos 2x －错误!＝错误!sin 2x ＋错误!－
错误!＝错误!sin 2x ＋错误!cos 2x ＝错误!sin 错误!，因为()f α=,所以1
sin(2)43
πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42
443ππ
ππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦.
解析二：f （x )＝cos x （sin x ＋cos x )－错误!＝sin x cos x ＋cos 2x －错误!＝错误!sin 2x ＋错误!－错误!＝错误!sin 2x ＋错误!cos 2x ，
因为()f α=
sin 2α＋cos 2α＝23，
所以
)1cos(2)cos cos2sin sin 2cos2sin 24443πππ-α=α+α=α+α==
. 10．【答案】10
【解析】因为{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列,所以12n n a -=,
所以111(1)(1)
11n n n a q a q b q q ---=+--112121322n n n --=-+-=⨯-，因为(28)2018m m a b +-=,
所以112(32228)2018m m --+⨯--=，所以12512m -=，即10m =． 11．【答案】1sin
【解析】由题可知sin 0x ax b -+≥恒成立，即sin x ax a a b -+≥-恒成立，令
g()sin x x ax a =-+，
所以g ()cos 0x x a '=-<，所以g()sin x x ax a =-+在]1,1[-上是减函数，所以
1sin )1(=≤-g b a ，
即a b -的最大值为1sin ． 12．
【解析】设
3521151k CA AB AB BC BC CA ===⋅⋅⋅，所以35,21,15,CA AB k AB BC k BC CA k ⎧⋅=⎪⎪
⋅=⎨⎪
⋅=⎪⎩ 所以cos 35,
cos 21,cos 15,bc A k ac B k ab C k -=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
即222222
222
35,21,15,a b c k b c a k c a b k ⎧--=⎪--=⎨⎪--=⎩ 所以22236,50,56,
a k
b k
c k ⎧
=-⎪=-
⎨⎪=-⎩ 所以222cos 24a b c C ab
+-===
． 13．【答案】)+∞ 【
解
析
】
设
(0),1
2
PQO OQ d π
∠=θ<θ<=>，则
222||cos 2(1)(12sin )QP QN QP d ⋅=⋅θ=--θ
222222(1)(1)3d d d d =--
=+-
，所以2
2
2233
d d +-=，解得d Q 在圆223x y +=上．
又点Q 在直线:l 30
x ay +-=
上,所以圆心O 到直线l ，所以正实数
a
14．【答案】1009 解析：因为偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，所以(4)()()f x f x f x +=-=,
所以函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数,且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =-+,
所以函数()y f x =的值域为[﹣3，1]，对任意x i ,x j (i ,j =1，2，3,…，m )，都有|f （x i ）－f （x j ）|≤f （x ）max －f （x ）min ＝4，要使x n 取得最小值，尽可能多让x i （i =1，2，3，…，m ）取得最高点，且f (0）＝1，f （1）＝0，f (2)＝－3，因为120n x x x <<
<≤，且
()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=,
根据201745041=⨯+，相应的x n 最小值为1009． 二、解答题：
15．【解】（1)因为()f x 的最小值是－2，所以A ＝2． …… 2分
又由()f x 的图象经过点(,1)3M π，可得()13f π=,1
sin()32
ϕπ+=， …… 4分
所以236k ϕππ+=π+或236
k ϕπ5π
+=π+,
又0ϕ<<π，所以2ϕπ
=，
故()2sin()2
f x x π
=+，即()2cos f x x =． …… 6分
（2）由(1)知()2cos f x x =，又8()5f α=，24
()13
f β=，
故8242cos ,2cos 513αβ==，即412
cos ,cos 513
αβ==， …… 8分
又因为,(0,)2παβ∈，所以35
sin ,sin 513
αβ==， …… 10分
所以()2cos()2(cos cos sin sin )f αβαβαβαβ-=-=+ …… 12分
41235126
2()51351365
=⨯+⨯=
． …… 14分 16．【证】(1）在四棱锥P ABCD -中,因为90BAD ∠=︒,
所以AB AD ⊥．
又AB PA ⊥，且AP PAD AD PAD ⊂⊂平面，平面，AD
AP A =，
所以AB ⊥平面PAD ． (4)
分
又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．
……7分
（2）取AP的中点F,连EF,BF．
在△PAD中,EF∥AD,且
1
2
EF AD
=，又AD BC
∥,1
2
BC AD
=，
所以EF∥BC，且EF BC
=,所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE∥BF． (11)
分
因为CE⊄平面PAB,BF⊂
平面PAB，
所以CE∥平面PAB．
……14分
17.
【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则
（1）小路的长度为OA OB AB
++,因为OA
故只需要AB最小即可．
作OM AB
⊥
于M,记OM d
=，则AB=
又d OD
≤,故AB=
≥
此时点D为AB中点．
故小路的最短长度为4+(百米)
(2）显然，当广场所在的圆与△ABO
面积最大，设△ABO的内切圆的半径为r
则△ABO的面积为
1
(
2
ABO
S AB AO
∆
=++
由弦长公式AB=
2
24
4
AB
d=-，所以
22
2
2
(16)
4(4)
AB AB
r
AB
⋅-
=
+
，………8分设AB x
=,则
222
2
2
(16)(4)
()
444(4)
x x x x
r f x
x x
⋅-⋅-
===
++
（）
,
所以322
22
28322(416)
'()
4(4)4(4)
x x x x x x
f x
x x
--+-⋅+-
==
++
，…………………………………10分又因为0d OD
<≤，即0d
<所以)
x AB⎡
==⎣， (12)
分
所以
2
2
2(416)
'()0
4(4)
x x x
f x
x
-⋅+-
=<
+
，所以
max
()6
f x f
==-，即△ABC的内切圆的面积最大值为(6-π． (14)
分
18．【解】（1）
3AF =,点F 与椭圆C 左准线的距离为5
，23,
5,a c a
c c c ⎧+=⎪⎪∴+=⎨⎪
⎪=⎩
…… 2分
解得2,
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22143x y +=． …… 4分
(2）①法一：显然(,0)A a -，(,0)B a ，(,0)F c ，设11(,)M x y ,22(,)N x y ，
则点M 在椭圆C 上，222
2
2
211
122(1)()x b y b x a a a
∴=-=--,
22
111222111MA MB y y y b k k x a x a x a a
∴⋅=⋅==-+--(i)
，
…… 6分
设直线MN :x my c =+，
与椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>联立方程组消去x 得:
222224()20a m b y cmb y b ++-=，其两根为1y ,2y ， 2122224122222,,cmb y y a m b b y y a m b ⎧+=-⎪⎪+∴⎨
⎪=-⎪+⎩
(*)
…… 8分
1212
1212BM BN y y y y k k x a x a my c a my c a
∴⋅=
⋅=⋅
--+-+- 12
22
1212()()()y y m y y m c a y y c a =+-++-， 将
(*)
代入上式化简
得:4
22
()BM BN
b k k a a
c ⋅=--(ii) …… 10分
又2MA BN k k =(iii) 由(i)(ii)(iii)得：24
222
2()b b a a a c -=--，
22430a ac c ∴-+=，即23410e e -+=,解得1
3
e =或1e =,
又01e <<,1
3
e ∴=,即椭圆C 的离
心率为
1
3
． …… 12分
法二：显然(,0)A a -，(,0)B a ，(,0)F c ，
2MA BN k k =,∴设直线MA 的方程为()y k x a =+，直线NB 的方程为2()y k x a =-,
由2222(),1
y k x a x y a
b =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得222324222()2()0a k b x a k x a k a b +++-=,
注意到其一根为x a =-,∴另一根为322
222
a k a
b x a k b
-=-+， 3222222222
2()a k ab kab
y k a a k b a k b
-∴=-+=++，即3222222222
2(,)a k ab kab M a k b a k b --++． …… 6分
同理由2
2
2
22(),1y k x a x y a
b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得3222222222
44(,)44a k ab kab N a k b a k b --++． …… 8分 由M ,N ,F 三点共线得://FM FN ，
∴32223222
222222222222
442()()()0
44a k ab kab a k ab kab c c a k b a k b a k b a k b -------=++++， …… 10分
化简得：222(3)(2)0a c a k b -+=，3a c ∴=，
1
3
c e a ∴==
,即椭圆C 的离心率为1
3
． …… 12分 ②由①3a c =,又椭圆C 的焦距为2，1c ∴=，3a ∴=,2228b a c ∴=-=，
由①方法一得122
12216,9864,
98m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
AMN ∴∆
面积1211
22
S AF y y =-=⨯
R m =∈ …… 14分
令R t m =∈,则2
96,118t
S t t =≥+,
22296(18)0(18)t S t -'=<+，2
9618t S t ∴=
+在[1,)+∞为减函数,
1t ∴=,即0m =时，max 323S =，即AMN ∆面积的最大值为323
． …… 16分
19．【解】（1）①因为()ln 21f x x ax '=++，所以(1)21f a '=+， 由曲线()y f x =在1x =处的切点为(1)a ，，
所以在1x =处的切线方程为(21)(1)y a a x -=+-．
因为切线过点(22)A -，，所以1a =-． …… 4分 ②()ln g x x x =-，
由1111()()(ln )(ln )2ln g s g s s s s s s s s
-=---=-+． …… 6分
设1()2ln h s s s s =-+(0s >），所以2
22
(1)
21()10s h s s s s -'=--=-≤， 所以()h s 在(0)+∞，为减函数．
因为0s >，所以当1s >时，有1s s >，则1()()g s g s <;当1s =时，有1s s =，则1()()g s g s =;
当01s <<时，有1s s <，则1()()g s g s >． …… 10分
（2)由题意,()ln 210f x x ax '=++=有两个不等实根1x ，2x （12x x <）． 设()ln 21g x x ax =++，则1()2g x a x
'=+（0x >），
当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，不符合题意； 当0a <时，由()0g x '=，得102x a =->，
列表如下： 由题意，
11()ln()022g a a -=->，解得102
a -<<，所以(1)120g a =+>,
因为12x x <，所以101x <<． …… 13分
x
1(0,)2a -
12a - 1(,)2a -+∞ ()g x ' + 0 - ()g x
↗
极大值
↘
因为111()ln 210f x x ax '=++=，所以1
11ln 2
x ax +=-, 所以11111111ln (ln 1)
()ln 22
x x x f x x x x +-=-⋅=（101x <<）． 令(ln 1)
()2
x x x ϕ-=
（01x <<）， 因为ln ()02x x ϕ'=<,所以()x ϕ在(0,1)上为减函数,
所以11()(1)2x ϕϕ>=-,即11()2
f x >-,
所以，命题得证． …… 16分 20．【解】(1)若21n a n =-,则2n S n =，所以2()()()n m n m S n m n m +-=-+,
而222()()()()()()n m n m S S n m n m n m n m +-=+-=+-， 所以()()()n m n m n m S n m S S +-=+-对任意的*m n ∈N ，均成立，
即数列{}n a 是“好”数列； …… 2分 若12n n b -=，取21n m ==，，
则3()7n m n m S S +-==，2()()36n m n m S S b +-==， 此时()()()n m n m n m S n m S S +-≠+-，
即数列{}n b 不是“好”数列． …… 4分 （2）因为数列{}n c 为“好”数列，取1m =，则
11(1)(1)()n n n S n S S +-=+-，即112(1)(1)n n S n a n a +=-++恒成立．
当2n ≥,有112(2)n n S n a na -=-+，
两式相减,得112(1)(2)n n n a n a n a a +=---+（2n ≥)， 即11(1)n n na n a a +=-+(2n ≥）, 所以11(1)(2)n n n a n a a --=-+(3n ≥），
所以11(1)(1)(2)n n n n na n a n a n a -+--=---,
即11(22)(1)(1)n n n n a n a n a -+-=-+-，即112n n n a a a -+=+（3n ≥）, 当2n =时，有23123S a a =+，即2312a a a =+, 所以112n n n a a a -+=+对任意2n ≥,*n ∈N 恒成立，
所以数列{}n c 是等差数列． …… 8分 设数列{}n c 的公差为d ，
① 若20172018c =,则120162018c d +=，即1
20182016
c d -=
，
因为数列{}n c 的各项均为不等的正整数，所以*d ∈N ，
所以1d =，12c =,所以1n c n =+． …… 12分 ② 若1c p =,则n c dn p d =+-，
由1s t c c c ，，成等比数列，得21s t c c c =,所以2()()ds p d p dt p d +-=+-， 即2()(2)()0p d ds p d p d ds pt -+--+-= 化简得，2(12)(1)p t s d s +-=-,
即2
12(1)t s d p s +-=-． …… 14分 因为p 是任意给定正整数，要使*d ∈N ,必须*2
12(1)t s s +-∈-N ， 不妨设2
12(1)
t s k s +-=-，由于s 是任意给定正整数， 所以222(1)21(1)21t k s s s s s =-+--+-=≥． …… 16分
数学Ⅱ(附加题）参考答案
21A 。

【解】连接CB
因为AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线, 所以AB BD ⊥
因为BD ∥CE ，所以AB CE ⊥
因为AB 交CE 于M,所以M 为CE 的中点， 所以AC=AE,CAB EAB ∠=∠……………………5分
因为BD 是⊙O 的切线,所以∠ABD=90° 因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB=90° 所以∠ACB=∠ABD
因为CAB EAB ∠=∠，所以△ACB ∽△ABD 所以
AC AB
AB AD
=
，所以2AB AD AC =⋅ 即2AB AE AD =⋅……………………10分
21B. 【解】011201100112--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
． …… 4分 设(,)A a b ,则由013124a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得3,2 4.b a b -=-⎧⎨+=⎩
． …… 8分 所以2,
3,a b =-⎧⎨=⎩
即(2,3)A -． …… 10分
21C ．【解】由31
(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩
为参数）,可得直线l 的普通方程为:4x ﹣3y+5=0，
由2cos (0)a a ρθ=≠得22cos a ρρθ= 所以，圆C 的标准方程为222()x a y a -+=， 若直线l 与圆C 恒有公共点，
a ≤
所以,实数a 的取值范围5
9
a ≤-或5a ≥． ………10分
D
A
A 21D ．【解】由于,,0a b c >， 所以
3213321
(3)()2a b c a b c a b c
++=++++
2227≥== 当且仅当332321b a c
a b c
==，即::3:2:1a b c =时,等号成立.
所以
321
a b c
++的最小值为27。

…… 10分 22。

解：以BC 的中点O 为原点，分别以,,BC AO OF 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建
立空间直角坐标系O xyz -， （1）设1,AB a AA b ==，
所以，1(,0,0)2C a
，1(0,,)A b ,1(,0,2)2M a b -,11
(,0,)2
C a b
若190MA C ︒∠=，则110A M A C ⋅=，
所以，11,,022a b a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以，a , 设面1CA M 的法向量为()1,,n x y z =，所以，1110,
0,n A C n CM ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩ 又因为
,1
1,2A C a ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，()
CM a =-，
即10,2
0,ax ax ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩
所以，(1n =，
又因为1C M a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，设直线1C M 与平面1CA M 所成角为θ，
所以，3
162
6
sin =
⋅-=
a a θ， 所以，直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值为3
1。

……5分 （2）连结CM 交B 1C 1于点F ，则OF ⊥面ABC,
又因为，1,02AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，1AA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
, 设面11AA C C 的法向量为()2,,n x y z =，所以,2110,
0,n AC n AA ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
即10,20,ax ⎧=⎪⎪=
所以，()
1n =-,
所以，12cos ,2
n n =
=
， 所以，面1CA M 与面11AA C C 所成的锐角二面角为45︒。

……10分
23. 解析：（1）由1
1(1)(2)
(1)
(1)(2)(1)!
(1)!
k k n
n k n n n n k n n n k kC n
nC k k --⋅---+---+===-
所以1
1()k k n k n k kC n k C ----=- ． …… 3分
法二：证明也可直接用组合数定义证明，如下：
1
1()!(1)!()()!(2)!(1)!(2)!
k
k n k n k n k n k kC k n k n k C k n k k n k -------=⋅
=-⋅=-⋅--- …… 3分
（2）1008
0123
1008
2017201720162015
20141009
0(1)11111201720172016201520141009
n n n n C C C C C C n
-=-=-+-+
-∑ 0123
10082017201620152014100911231008(1)(1)(1)(1)20172016201520141009C C C C C ⎡⎤
=
-+++-+++
⎢⎥⎣⎦
01231008
123
100
2017201620152014
1009201620152014
1009
11231008()(
20172016201520141009
C C C C C C C C C ⎡=
-+-+--+-
⎢⎣
由（1）得,1
11
k k n n k k C C n k
----=-，n =2017，k 依次取1，2，……, 则有
1021
10081007
201620152015201410091008
121008,,20162015
1009
C C C C C C === 所以,…… 原式0123
1008012
1007
20172016201520141009201520142013
10081()()2017
C C C C C C C C C ⎡⎤=-+-+--+-⎣⎦
……
6分
构造数列{}n a ，令0122
123n n
n n n a C C C C ---=-+-+
则0122
1112n n n n
n a C C C C ++--=-+-+
所以0122
0122
1112112()()n n n n n n n n n n a a C C C C C C C C ++--+---=-+-+
--+-+
00112233111223()()()()n n n n n n n n C C C C C C C
C +-----=---+---+
0121231n n n n C C C a ----=-+-+=-
所以11n n n a a a +-=-，即2111()n n n n n n n a a a a a a a ++--=-=--=-， 即3n n a a +=-,所以63n n n a a a ++=-=，即数列{}n a 是周期为6的数列．
又因为12345620171201551,0,1,1,0,1,
1,0a a a a a a a a a a ===-=-======
所以()1008
201720172015
0(1)11201720172017n n
n n C a a n
-=-=-=-∑． …… 10分。