9年级数学上册(人教版)达标训练(22.2.3 因式分解法)

达标训练 基础·巩固·达标
1．方程(x -16)(x ＋8)＝0的根是（ ）
A.x 1＝-16，x 2＝8
B.x 1＝16，x 2＝-8
C.x 1＝16，x 2＝8
D.x 1＝-16，x 2＝-8
提示：易知x-16＝0或x ＋8＝0，因此x 1＝16，x 2＝-8. 答案：B
2.方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)的解为( )
A.x 1＝53，x 2＝3
B.x ＝5
3 C.x 1＝-53，x 2＝-3 D.x 1＝53，x 2＝-3
提示：移项，得5x(x ＋3)-3(x ＋3)＝0，因式分解，得
(x ＋3) (5x-3)=0，于是得x ＋3=0或5x-3＝0，x 1＝5
3，x 2＝-3. 答案： D
3.若方程(x -2)(3x +1)=0，则3x +1的值为（ ）
A.7
B.2
C.0
D.7或0
提示：易知x-2=0或3x+1=0，故方程的两根是x 1＝2 ，x 2＝-3
1，将x 的值分别代入3x+1即可求出它的值.
答案：D
4.设a 、b 为方程（x -1）(x -3)=143的两根，a >b ，则a +2b 的值为（ ）
A. -18
B.-6
C.6
D.18
提示：先将原方程化为一般形式，再用因式分解法求出方程两根，注意a>b 的条件，再确定 a 、b.
解：原方程变形，得x 2-4x-140=0.因式分解,得(x-14)(x+10)=0.
∴x 1=14 ，x 2=-10.
∵a>b ，
∴a=14，b=-10，2a+2b=14+2×（-10）= -6.因此选B.
答案： B
5.用因式分解法解下列方程：
（1）(2x +1)2-x 2=0； （2）(x -1)(x +2)=2(x +2)；
（3）x 2+3x -4=0； （4）(2x -1)2+3 (2x -1)+2=0.
提示：（1）方程右边是0，左边可用平方差公式分解因式；（2）先移项使方程的右边为0，
左边利用提公因式法分解因式；（3）(4)的右边都为0，左边可运用公式x 2+（a+b ）x+ab=（x+a ）
（x+b ）来分解因式.
解：（1）分解因式，得［(2x+1)+x ］［(2x+1)-x ］=0.
(3x+1) (x+1)=0，3x+1=0或x+1=0.x 1=13，x 2=-1.
（2）移项，得(x-1)(x+2)-2(x+2) =0.
因式分解，得
(x+2) (x-3)=0.x+2=0或x-3=0.x 1= -2，x 2=3.
（3）分解因式，得(x-1)(x+4) =0.x-1 =0或x+4=0.
x 1=1，x 2=-4. （4）因式分解，得［(2x-1)+1］［(2x-1)+2］=0.
2x （2x+1）=0.2x=0或2x+1=0.x 1=0，x 2=-21.
6.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数字的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的积是736，求原来的两位数.
提示：本题属于数字问题，题中的等量关系比较明显：新两位数×原来的两位数=736.正确列出方程的关键是会表示两位数：两位数=十位上的数字×10+个位上的数字.
解：设原来两位数的十位数字为x ，则个位数字为5-x.
依题意，得［10x+(5-x)］［10(5-x)+x ］=736.
整理，得x 2-5x+6=0.
解方程，得x 1=2，x 2=3.
当x=2时，5-x=3，符合题意，原来的两位数是23；
当x=3时，5-x=2，符合题意，原来的两位数是32.
答：原来的两位数是23或32.
7.若一个等腰三角形的两边长是方程（x -2）(x -4)=0的两根，求此三角形的周长. 提示：等腰三角形的两边长分别为2和4，腰长只能为4，即三边长为4、4、2. 答案：该三角形的周长为10.
8.若x 2+xy +y =14,y 2+xy +x =28,则x +y 的值为多少？
提示：本题应注意观察两个等式的特点，灵活的处理两个等式.联想代数中常用的整体的思想.
解：两式相加，得x 2+y 2+2xy+x+y=42.
移项整理，得（x+y ）2+(x+y)-42=0.
因式分解，得(x+y-6)(x+y+7)=0.故x+y=6或x+y=-7.
答案：6或-7
9.已知(x 2＋y 2)(x 2-1＋y 2)-12＝0,求x 2＋y 2的值.
提示：本题可将x 2＋y 2看成一个整体，利用换元法来解,同时要注意x 2＋y 2是一个非负数.
解：设x 2＋y 2=m ，则原方程可变为m （m-1）-12＝0，即m 2-m-12＝0.因式分解，得（m-4）（m+3）
＝0，于是m-4＝0或m+3＝0，所以m=4或m=-3.因为x 2＋y 2≥0，所以x 2＋y 2=4.
综合·应用·创新
10．阅读材料回答问题：
为解方程(x 2-1)2-5(x 2-1)+4=0，我们可将x 2-1视为一个整体，然后设x 2-1=y ，则(x 2-1)2=y 2，原方程可化为y 2-5y +4=0①，解得y 1=1，y 2=4.当y =1时，x 2-1=1，所以x 2=2，x =±2；当y =4时，x 2-1=4，所以x 2=5，x =±5.所以原方程的解为x 1=2，x 2=- 2，x 3= 5，x 4=-5.
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用了 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；
（2）解方程：x 4-x 2-6=0.
提示：解一元二次方程的基本思路是：将一元二次方程化为一次方程，即降次.同样解一元高次方程的思路也是“降次”，将高次方程转化为一元二次方程或一元一次方程.本题的材料
就提供了一个高次方程转化为一元二次方程的例子，采用的是换元法.方程x 4-x 2-6=0可仿照
材料中的方法解出.
解：（1）换元 换元
（2）设x 2=y ，则x 4=y 2，原方程可化为y 2-y-6=0①，解得y 1=3，y 2=-2.当y=3时，x 2=3，x=±3；当y=-1时，x 2=-1，此方程在实数范围内无解.所以原方程的解为x 1=3，x 2=-3.
11.已知x 2-xy -2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式222
25252y xy x y xy x ++--的值. 提示：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代
数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可.由已知x 2-xy-2y
2＝0，因式分解即可得x 与y 的比值.
解：由x 2-xy-2y 2＝0，得(x-2y)(x ＋y)＝0.
∴x-2y ＝0或x ＋y ＝0.
∴x ＝2y 或x ＝-y.
当x ＝2y 时，
()()135135522252225252222222222
2-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=-+--y y y y y y y y y y y xy x y xy x ;
当x ＝-y 时，
()()()()214252525252222222222
2-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--y y y y y y y y y y y xy x y xy x .
回顾热身展望
12.广东深圳模拟 方程x 2=2x 的解是( )
A.x =2
B.x 1=-2，x 2= 0
C.x 1=2，x 2=0
D.x =0
提示：将此方程化为一般形式，再利用因式分解法求出方程的根.
答案： C
13. 2010北大附中下学期调研 用换元法解方程x 2+
21x
-2(x +x 1)-1=0,若设y =x +x 1,则原方程可化为 .
答案：y 2-2y-3=0
14.山西模拟 观察下表，填表后再解答问题：
序号
1 2 3 … 图形
… 的个数
8 24 … 的个数 1 4 … (2)试求第几个图形中“”的个数和“”的个数相等.
提示：该题应注意观察图形的结构，把握规律，灵活解题.
答案：（1）16 9 （2）n 2=8n ，n （n-8）=0；n 1=8，n 2=0(n 不为0).因此，第8个图形中“”的个数和“”的个数相等.
试题使用说明
各位使用者:
本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！
附：如何养成良好的数学学习习惯
“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶．伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸．”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝．良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯．
一、课堂学习的习惯
课堂学习是学习活动的主要阵地．课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作．
1．会笔记上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理．做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼．要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆．另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高．
2．会比较在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分．如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的．
3．会质疑“学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问．积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维．学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍．
4．会分析一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的．如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记．再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系．只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法．要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维．
5．会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人
就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性．我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见．在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力．
二、课外作业的习惯
课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等．
1．复习及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容．首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记．在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理．同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识．
2．作业会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业．一定要独立完成，决不能依赖别人．书写一定要整洁，逻辑一定要条理．对作业要自我检查，及时改正存在的错误，
三、测试、检查的习惯
1．认真总结
测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识．
2．认真反思
测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功．
良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒．。