高考物理知识点过关培优 易错 难题训练∶临界状态的假设解决物理试题附详细答案

高考物理知识点过关培优 易错 难题训练∶临界状态的假设解决物理试题附详
细答案
一、临界状态的假设解决物理试题
1．壁厚不计的圆筒形薄壁玻璃容器的侧视图如图所示。

圆形底面的直径为2R ，圆筒的高度为R 。

(1)若容器内盛满甲液体，在容器中心放置一个点光源，在侧壁以外所有位置均能看到该点光源，求甲液体的折射率；
(2)若容器内装满乙液体，在容器下底面以外有若干个光源，却不能通过侧壁在筒外看到所有的光源，求乙液体的折射率。

【答案】(1)5n
≥甲；(2)2n >乙
【解析】 【详解】
(1)盛满甲液体，如图甲所示，P 点刚好全反射时为最小折射率，有
1
sin n C
=
由几何关系知
2
22sin 2R C R R =
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
解得
5n =则甲液体的折射率应为
5n ≥甲(2)盛满乙液体，如图乙所示，与底边平行的光线刚好射入液体时对应液体的最小折射率，
A 点
1
sin n C =
'
乙 由几何关系得
90C α'=︒-
B 点恰好全反射有
C α'=
解各式得
2n =乙
则乙液体的折射率应为
2n >乙
2．一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，则F T 随ω2变化的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
由题知小球未离开圆锥表面时细线与竖直方向的夹角为θ，用L 表示细线长度，小球离开圆锥表面前，细线的张力为F T ，圆锥对小球的支持力为F N ，根据牛顿第二定律有
F T sin θ－F N cos θ＝mω2L sin θ F T cos θ＋F N sin θ＝mg
联立解得
F T ＝mg cos θ＋ω2mL sin2θ
小球离开圆锥表面后，设细线与竖直方向的夹角为α，根据牛顿第二定律有
F T sin α＝mω2L sin α
解得
F T ＝mLω2
故C 正确。

故选C 。

3．如图所示，在竖直平面内的光滑管形圆轨道的半径为R （管径远小于R ），小球a 、
b 大小相同，质量均为m ，直径均略小于管径，均能在管中无摩擦运动。

两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，重力加速度为g ，以下说法正确的是（ ）
A ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大4mg
B ．当5v gR 时，小球b 在轨道最高点对轨道压力为mg
C ．速度v 5gR
D ．只要两小球能在管内做完整的圆周运动，就有小球a 在最低点对轨道的压力比小球b 在最高点对轨道的压力大6mg 【答案】A
【解析】 【详解】
A.当小球b 在最高点对轨道无压力时，所需要的向心力
2b
b v F mg m R
==
从最高点到最低点，由机械能守恒可得
22
11222
b a mg R mv mv ⋅+=
对于a 球，在最低点时，所需要的向心力
25mg a
a v F m R
==
所以小球a 比小球b 所需向心力大4mg ，故A 正确；
B.由上解得，小球a 在最低点时的速度5a v gR =，可知，当5v gR =时，小球b 在轨道最高点对轨道压力为零，故B 错误；
C.小球恰好通过最高点时，速度为零，设通过最低点的速度为0v ，由机械能守恒定律得
20122
⋅=
mg R mv 解得02v gR =，所以速度v 至少为2gR ，才能使两球在管内做完整的圆周运动，故C 错误；
D.若2v gR =，两小球恰能在管内做完整的圆周运动， 小球b 在最高点对轨道的压力大小b F mg '=，小球a 在最低点时，由
20
a v F mg m R
'-=
解得5a F mg '=，小球a 在最低点对轨道的压力比小球b 在最高点对轨道的压力大4mg ，故D 错误。

故选A 。

4．如图所示，七块完全相同的砖块按照图示的方式叠放起来，每块砖的长度均为L ，为保证砖块不倒下，6号砖块与7号砖块之间的距离S 将不超过（ ）
A ．
3115
L B ．2L
C ．
52
L D ．
74
L 【答案】A 【解析】
试题分析：因两部分对称，则可只研究一边即可；1砖受2和3支持力而处于平衡状态，则可由力的合成求得1对2的压力；而2砖是以4的边缘为支点的杠杆平衡，则由杠杆的平衡条件可得出2露出的长度，同理可求得4露出的长度，则可求得6、7相距的最大距离．
1处于平衡，则1对2的压力应为
2
G
；当1放在2的边缘上时距离最大；2处于杠杆平衡状态，设2露出的长度为x ，则2下方的支点距重心在()2
L
x -处；由杠杆的平衡条件可
知：()22L G G x x -=，解得3L
x =，设4露出的部分为1x ；则4下方的支点距重心在
1()2L x -处；4受到的压力为2G G +，则由杠杆的平衡条件可知11()()22
L G
G x G x -=+，解得12L x =，则6、7之间的最大距离应为()131
22()3515
L L L x x L L ++=++=
，A 正确．
5．在平直的公路上A 车正以4/A v m s =的速度向右匀速运动，在A 车的正前方7m 处B 车此时正以10/B v m s =的初速度向右匀减速运动，加速度大小为22/m s ，则A 追上B 所经历的时间是( ) A ．7 s B ．8 s
C ．9 s
D ．10 s
【答案】B 【解析】
试题分析：B 车速度减为零的时间为：0010
52
B v t s s a --=
==-，此时A 车的位移为：04520A A x v t m m ==⨯=，B 车的位移为：2100
2524
B B v x m m a --===-，因为
7A B x x m <+，可知B 停止时，A 还未追上，则追及的时间为：7257
84
B A x t s s v ++=
==，故B 正确． 考点：考查了追击相遇问题
【名师点睛】两物体在同一直线上运动，往往涉及到追击、相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：①分别对两个物体进行研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程；④找出时间关系、速度关系、位移关系；⑤解出结果，必要时要进行讨论．
6．如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上端系有一劲度系数为20N/m 的轻质弹簧，弹簧下端连一个质量为2千克的小球，球被一垂直于斜面的挡板A 挡住，此时弹簧没有形变．若挡板A 以4m/s 2的加速度沿斜面向下匀加速运动，则（ ）
A．小球向下运动0.4m时速度最大
B．小球向下运动0.1m时与挡板分离
C．小球速度最大时与挡板分离
D．小球从一开始就与挡板分离
【答案】B
【解析】
试题分析：对球受力分析可知，当球受力平衡时，速度最大，此时弹簧的弹力与物体重力沿斜面的分力相等，由胡克定律和平衡条件即可求得小球向下运动的路程．从开始运动到小球与挡板分离的过程中，挡板A始终以加速度a=4m/s2匀加速运动，小球与挡板刚分离时，相互间的弹力为零，由牛顿第二定律和胡克定律结合求得小球的位移．
解：A、球和挡板分离前小球做匀加速运动；球和挡板分离后做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大，此时物体所受合力为零．
即 kx m=mgsin30°，
解得：x m=
由于开始时弹簧处于原长，所以速度最大时小球向下运动的路程为0.5m．故A错误．
设球与挡板分离时位移为x，经历的时间为t，
从开始运动到分离的过程中，m受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F N，沿斜面向上的挡板支持力F1和弹簧弹力F．
根据牛顿第二定律有：mgsin30°﹣kx﹣F1=ma，
保持a不变，随着x的增大，F1减小，当m与挡板分离时，F1减小到零，则有：
mgsin30°﹣kx=ma，
解得：x=m=0.1m，即小球向下运动0.1m时与挡板分
离．故B正确．
C、因为速度最大时，运动的位移为0.5m，而小球运动0.1m与挡板已经分离．故C、D错误．
故选B．
【点评】解决本题的关键抓住临界状态：1、当加速度为零时，速度最大；2、当挡板与小球的弹力为零时，小球与挡板将分离．结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．
7．图甲为 0.1kg的小球从最低点A冲入竖直放置在水平地面上、半径为0.4m半圆轨道后，小球速度的平方与其高度的关系图像。

已知小球恰能到达最高点C，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计。

g取2
10m/s，B为AC轨道中点。

下列说法正确的是（）
A ．图甲中x ＝4
B ．小球从A 运动到B 与小球从B 运动到
C 两个阶段损失的机械能相同 C ．小球从A 运动到C 的过程合外力对其做的功为–1.05J
D ．小球从C 抛出后，落地点到A 的距离为0.8m 【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】
A ．当h =0.8m 时，小球运动到最高点，因为小球恰能到达最高点C ，则在最高点
2
v mg m r
=
解得
100.4m/s=2m/s v gr =⨯
则
24x v ==
故A 正确；
B ． 小球从A 运动到B 对轨道的压力大于小球从B 运动到
C 对轨道的压力，则小球从A 运动到B 受到的摩擦力大于小球从B 运动到C 受到的摩擦力，小球从B 运动到C 克服摩擦力做的功较小，损失的机械能较小，胡B 错误； C ． 小球从A 运动到C 的过程动能的变化为
22k 0111
Δ0.1(425)J 1.05J 222
E mv mv =
-=⨯⨯-=- 根据动能定理W 合=n E k 可知，小球从A 运动到C 的过程合外力对其做的功为–1.05J ，故C 正确；
D ．小球在C 点的速度v =2m/s ，小球下落的时间
2
122
r gt =
440.4s 0.4s 10
r t g ⨯=
== 则落地点到A 点的距离
20.4m 0.8m x vt '==⨯=
故D 正确。

故选ACD 。

8．如图所示，在y 轴右侧平面内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，坐标原点O 有一放射源，可以向y 轴右侧平面沿各个方向放射比荷为
72.510m
q
-=⨯ Kg/C 的正离子，这些离子速率分别在从0到最大值v m =2×106 m/s 的范围内，不计离子之间的相互作用
（1）求离子打到y 轴上的范围；
（2）若在某时刻沿x +方向放射各种速率的离子，求经过-75103
s π
⨯时这些离子所在位置构成的曲线方程；
（3）若从某时刻开始向y 轴右侧各个方向放射各种速率的离子，求经过75103
π
-⨯s 时已进入磁场的离子可能出现的区域面积； 【答案】（1）范围为0到2m （2）33
(0)y x x =≤≤ （3）273()12S m π=-
【解析】 【详解】
（1）离子进入磁场中做圆周运动的最大半径为R
由牛顿第二定律得： 2
mv qvB R
=
解得：1mv
R m Bq
=
= 由几何关系知，离子打到y 轴上的范围为0到2m （2）离子在磁场中运动的周期为T ， 则62210R m
T s v qB πππ-=
==⨯ t 时刻时，这些离子轨迹所对应的圆心角为θ 则23
t t T ππ
== 这些离子构成的曲线如图1所示，并令某一离子在此时刻的坐标为（x ，y ）
3
y x =
(02x ≤≤ （3）将第（2）问中图2中的OA 段从沿y 轴方向顺时针方向旋转，在x 轴上找一点C ，以R 为半径作圆弧，相交于B ，则两圆弧及y 轴所围成的面积即为在0t =向y 轴右侧各个方向不断放射各种速度的离子在71503
t s π
-=⨯时已进入磁场的离子所在区域． 由几何关系可求得此面积为：
22225117126212S R R R R R R πππ=
+-=
则：27(12S m π=- 【点睛】
本题考查运用数学知识分析和解决物理问题的能力，采用参数方程的方法求解轨迹方程，根据几何知识确定出离子可能出现的区域，难度较大．
9．在某路口，有按倒计时显示的时间显示灯．有一辆汽车在平直路面上正以36 km/h 的速度朝该路口停车线匀速前行，在车头前端离停车线70 m 处司机看到前方绿灯刚好显示“5”．交通规则规定：绿灯结束时车头已越过停车线的汽车允许通过．
(1)若不考虑该路段的限速，司机的反应时间为1 s ，司机想在剩余时间内使汽车做匀加速直线运动以通过停车线，则汽车的加速度至少为多大？
(2)若该路段限速60 km/h ，司机的反应时间为1 s ，司机反应过来后汽车先以2 m/s 2的加速度沿直线加速3 s ，为了防止超速，司机在加速结束时立即踩刹车使汽车匀减速直行，结果车头前端与停车线相齐时刚好停下，求刹车后汽车加速度的大小．(结果保留两位有效数字) 【答案】(1)2.5 m/s 2 (2)6.1 m/s 2 【解析】
试题分析：（1）司机反应时间内做匀速直线运动的位移是：10110x v t m ==； 加速过程：2154t t s =-=
2
102121702
x v t a t -=+
代入数据解得：2
1 2.5/a m s =
（2）汽车加速结束时通过的位移：
22201022311
10103234922
x v t v t a t m =++=+⨯+⨯⨯=
此时离停车线间距为：327021x x m =-= 此时速度为：1022102316/v v a t m s =+=+⨯=
匀减速过程：2
322ax v =
带入数据解得：23128
6.1/21
a m s =
= 考点：匀变速直线运动规律
【名师点睛】本题关键分析清楚汽车的运动规律，然后分阶段选择恰当的运动学规律列式求解，不难．
10．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，经过0.3秒后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰到。

已知圆轨道半径为R =1m ，小球的质量为m =1kg ，g 取10m/s 2。

求：
(1)小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离；
(2)小球经过圆弧轨道的B 点时，受到轨道的作用力N B 的大小和方向？
【答案】(1)0.9m ，(2)1N ，方向竖直向上。

【解析】 【详解】
(1)小球垂直落在斜面上，分解末速度：
00
y tan 45v v v gt ︒=
=
解得小球从C 点飞出时的初速度：03m/s v =，则B 与C 点的水平距离：
0x v t =
解得：0.9m x =；
(2)假设轨道对小球的作用力竖直向上，根据牛顿第二定律：
20
B v mg N m R
-=
解得：B 1N N =，方向竖直向上。

11．光滑绝缘的水平轨道AB 与半径为R 的光滑的半圆形轨道BCD 相切于B 点，水平轨道AB 部分存在水平向右的匀强电场，半圆形轨道在竖直平面内，B 为最低点，D 为最高点。

一质量为m 、＋q 的小球从距B 点x 的位置在电场力的作用下由静止开始沿AB 向右运动，恰能通过最高点，重力加速度为g ，求： (1)电场强度的大小E ；
(2)小球从开始运动到D 的过程中减少的电势能；
(3)如果将同一带电小球从AB 中点处由静止释放，它离开半圆轨道时离水平轨道的竖直高度。

【答案】(1)52mgR E qx =；(2)52mgR
；(3)76
h R =。

【解析】 【详解】
(1)小球刚好通过圆轨道的最高点，只有重力提供向心力，
2
D
v mg m R
=
解得：
D v gR =小球从A 点到D 点的全过程，由动能定理：
2
1202
D qEx mg R mv -⋅=-
联立可得：
52mgR
E qx
=
； (2)小球在AB 段电场力做正功，电势能减少，由功能关系得：
52
P mgR
E qEx ∆=-=-
即电势能减少了
52
mgR
；
(3)从AB 中点处由静止释放的小球，进入圆轨道的速度偏小，将不能顺利通过最高点D ，设即将离开轨道时为F 点，此时的半径与竖直方向的夹角为θ，如图所示：
由动能定理：
21
22x qE
mg h mv -⋅=- 在F 点刚好由重力沿径向的分力提供向心力，由牛顿第二定律：
2cos v mg m R
θ=
由几何关系：
cos h R R θ=+
联立三式解得：
7
6
h R =。

12．宽为L 且电阻不计的导轨处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图所示，导体棒在导轨间部分的电阻为r ，以速度v 0在导轨上水平向右做匀速直线运动，处于磁场外的电阻阻值为R ，在相距为d 的平行金属板的下极板附近有一粒子源，可以向各个方向释放质量为m ，电荷量为+q ，速率均为v 的大量粒子，且有部分粒子一定能到达上极板，粒子重力不计。

求粒子射中上极板的面积。

【答案】
22202()
4mv d R r d BLv qB
ππ+- 【解析】 【详解】
导体棒切割磁感线产生的电动势
0 E BLv =
回路中的电流
E
I R r
=
+ 极板间的电压等于电阻R 的电压
U IR =
极板间粒子释放后的加速度指向负极板，据牛顿第二定律得
Uq
a dm
=
粒子射出后竖直向上的粒子做匀减速直线运动，其一定能到达其正上方极板处，其余粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向上做匀减速直线运动；
则恰好到达上极板且竖直速度减为零的粒子为到达上极板距中心粒子最远的临界粒子，该粒子竖直分运动可逆向看做初速度为零的匀加速直线运动，所用时间为t ，则有
212
d at =
竖直分速度
y v at =
解得
=
y v 水平方向的分速度
=x v 水平最大半径为
x r v t =
射中上极板的面积
2S r π=
联立解得
22202()4mv d R r S d BLv qB
ππ+=-
13．如图所示为两组正对的平行金属板，一组竖直放置，一组水平放置，一电子由静止开始从竖直板的中点A 出发，经电压U 0加速后通过另一竖直板的中点B ，然后从正中间射入两块水平金属板间，已知两水平金属板的长度为L ，板间距离为d ，两水平板间加有一恒定电压，最后电子恰好能从下板右侧边沿射出。

已知电子的质量为m ，电荷量为-e 。

求： (1)电子过B 点时的速度大小； (2)两水平金属板间的电压大小U ；
【答案】（1）02eU v m
=；（2）20
2
2d U U L = 【解析】 【分析】 【详解】
(1)设电子过B 点时的速度大小为v ，根据动能定理有
2
0102
eU mv =
- 解得
2eU v m
=
(2)电子在水平板间做类平抛运动，有
L vt =
2
122
d at = eU
a md
=
联立各式解得
202
2d U U L
=
14．一辆值勤的警车（已启动）停在公路边，当警员发现一辆以7m/s 的速度匀速向前行驶的货车有违章行为，当货车经过警车时，警车以加速度a=2m/s 2向前做匀加速运动．求：
（1）警车开动后经多长时间能追上违章的货车，这时警车速度多大； （2）在警车追上货车之前，何时两车间的最大距离，最大距离是多少．
（3）如果警员发现在他前面9m 处以7m/s 的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经3s ，警车发动起来，以加速度a=2m/s 2做匀加速运动．求警车发动后经多长时间能追上违章的货车，这时警车速度多大？
【答案】（1）7s ；14m/s （2）3．5s ；12．25m （3）10s ；20m/s 【解析】
试题分析：（1）由题意可知：2
112
x at =
2x vt =
x 1=x 2
得 t=7s v=at=14m/s
（2）当两车速度相等时，两车间距最大； 3.5v
t s a
=
=' 201
42.252
m x vt x at m ∆=+-='
Δx= x 2’- x 1’=12．25m （3）x 0=9+7×3m=30m
2
112x at =
x 2=vt x 1=x 2+x 0 得 t=10s v=at=20m/s 考点：追击及相遇问题
【名师点睛】本题考查了运动学中的追及问题，解题时要抓住位移关系，结合运动学公式灵活求解，知道速度相等时，相距最远；两车相遇时位移相同．
15．客车以30m/s 的速度行驶，突然发现前方72m 处有一自行车正以6m/s 的速度同向匀速行驶，于是客车紧急刹车，若以3m/s 2的加速度匀减速前进，问： (1)客车是否会撞上自行车？若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？ (2)若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？ 【答案】(1)会撞上,4s (2)4m/s 2 【解析】 【详解】
(1)两车速度相等经历的时间为
21
18s v v t a
-=
= 此时客车的位移为
2
1221144m 2v x a
v -==
自行车的位移为：
2248m x v t ==
因为x 2>x 1+72m 可以知道客车会撞上自行车； 设经过时间t 撞上则
21
307262
t at t -=+
解得
4t s =， 12t s = （舍去）
(2)两车速度相等经历的时间
21
2'
v v t a -=
根据位移关系有：
2
122221'722
v t a t v t +=+
得：
2'4m /s a =
故若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少为2'4m /s a =。