2022届安徽省合肥市部分校中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，不等式组
10
10
x
x
+
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
2．根据文化和旅游部发布的《“五一”假日旅游指南》，今年“五一”期间居民出游意愿达36.6%，预计“五一”期间全固有望接待国内游客1.49亿人次，实现国内旅游收入880亿元．将880亿用科学记数法表示应为（）
A．8×107B．880×108C．8.8×109D．8.8×1010
3．右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（）
A．总不小于1 B．总不小于11
C．可为任何实数D．可能为负数
5．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（）
A．国B．厉C．害D．了
6．为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）
中位数众数平均数方差
9.2 9.3 9.1 0.3
A ．中位数
B ．众数
C ．平均数
D ．方差
7．甲、乙、丙三家超市为了促销同一种定价为m 元的商品，甲超市连续两次降价20％；乙超市一次性降价40％；丙超市第一次降价30％，第二次降价10％，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．都一样
8．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上的一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果1
2
C EAF C CDF =，那
么
S EAF
S EBC
的值是（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
19
9．在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．近似数25.010⨯精确到（ ） A ．十分位
B ．个位
C ．十位
D ．百位
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．已知直线23y x =+与抛物线2
231y x x =-+交于A 11x y （，），B 22x y （，）两点，则
1211
11
x x +=++_______． 12．比较大小：4554（填“＜“，“=“，“＞“）
13．如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD ＝DC ，则∠C ＝________度.
14．计算：﹣22÷（﹣
1
4
）=_____． 15．327﹣|﹣1|=______．
16．如图，ABC 与ADB △中，90ABC ADB ︒∠=∠=，C ABD ∠=∠，5AC =，4AB =，AD 的长为________.
17．分解因式2x 2﹣4x+2的最终结果是_____． 三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠A ＝36°．在AC 边上确定点D ，使得△ABD 与△BCD 都是等腰三角形，并求BC 的长（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
19．（5分）已知，数轴上三个点A 、O 、P ，点O 是原点，固定不动，点A 和B 可以移动，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b .
（1）若A 、B 移动到如图所示位置，计算+a b 的值.
（2）在（1）的情况下，B 点不动，点A 向左移动3个单位长，写出A 点对应的数a ，并计算b a -. （3）在（1）的情况下，点A 不动，点B 向右移动15.3个单位长，此时b 比a 大多少？请列式计算.
20．（8分）（1）计算：﹣1412sin61°
+（12
）﹣2
﹣（π51．
（2）解不等式组3(1)72513x x x x --≤⎧⎪
⎨--⎪⎩
①②，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（10分）如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一个动点（不与点,A C 重合），连接PB 过点P 作PF PB ⊥，交直线DC 于点F ．作PE AC ⊥交直线DC 于点E ，连接,AE BF ．
（1）由题意易知，ADC ABC ∆∆≌，观察图，请猜想另外两组全等的三角形∆ ∆≌ ；∆ ∆≌ ； （2）求证：四边形AEFB 是平行四边形；
（3）已知22AB =，PFB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）如图①，在正方形ABCD 中，点E 与点F 分别在线段AC 、BC 上，且四边形DEFG 是正方形．
（1）试探究线段AE 与CG 的关系，并说明理由．
（2）如图②若将条件中的四边形ABCD 与四边形DEFG 由正方形改为矩形，AB=3，BC=1．
①线段AE 、CG 在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由． ②当△CDE 为等腰三角形时，求CG 的长． 23．（12分）如图，抛物线21y x bx 2c =-++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于点C （0，2），直线1
x 22
y =-+经过点A ，C .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接PO，交AC于点E，求PE
EO
的最大值；
②过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
24．（14分）如图，已知在梯形ABCD中，
3
5
5
AD BC AB DC AD sinB
∥，＝＝＝，＝，P是线段BC上一点，以P为
圆心，PA为半径的P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设BP x
＝.
（1）求证：ABP ECP
∽；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果QED与QAP相似，求BP的长.
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
首先分别解出两个不等式,再确定不等式组的解集,然后在数轴上表示即可.
【详解】
解：解第一个不等式得：x＞-1；
解第二个不等式得：x≤1，
在数轴上表示，
故选B.
【点睛】
此题主要考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥” ,“≤” 要用实心圆点表示; “ <“ >” 要用空心圆点表示.
2、D
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
880亿=880 0000 0000=8.8×1010，
故选D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3、B
【解析】
解：从上面看，上面一排有两个正方形，下面一排只有一个正方形，故选B．
4、A
【解析】
利用配方法，根据非负数的性质即可解决问题；
【详解】
解：∵x2+4y2+6x-4y+11=（x+3）2+（2y-1）2+1，
又∵（x+3）2≥0，（2y-1）2≥0，
∴x2+4y2+6x-4y+11≥1，
故选：A．
【点睛】
本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法.
5、A
【解析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
∴有“我”字一面的相对面上的字是国.
故答案选A.
【点睛】
本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字.
6、A
【解析】
根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．【详解】
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．
故选A．
点睛：本题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．
7、B
【解析】
根据各超市降价的百分比分别计算出此商品降价后的价格，再进行比较即可得出结论．
【详解】
解：降价后三家超市的售价是：
甲为（1-20%）2m=0.64m，
乙为（1-40%）m=0.6m，
丙为（1-30%）（1-10%）m=0.63m，
∵0.6m＜0.63m＜0.64m，
∴此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙．
故选：B．
【点睛】
此题考查了列代数式，解题的关键是根据题目中的数量关系列出代数式，并对代数式比较大小．8、D
【解析】
分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．
详解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵
1
2
EAF
CDF
C
C
，
=
∴
1
2 AF
DF
=，
∴
11
123 AF
BC
==
+
，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴
2
11
39
EAF
EBC
S
S
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
故选D.
点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
9、A
【解析】
解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．
故选A．
10、C
【解析】
根据近似数的精确度：近似数5.0×102精确到十位．
故选C．
考点：近似数和有效数字
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
95
【解析】
将一次函数解析式代入二次函数解析式中,得出关于x 的一元二次方程,根据根与系数的关系得出“x 1 +x 2 =-
b a
=
52
,x 1x 2=c
a =-1”,将原代数式通分变形后代入数据即可得出结论.
【详解】
将23y x =+代入到2
231y x x =-+中得，223231x x x +=-+，整理得，22520x x --=，
∴125
2
x x +=，121x x =-， ∴
211212()1111()1111x x x x x x ++++==++++121212()(5229251
5
112
)x x x x x x +++==⋅+++-++. 【点睛】
此题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，解题关键在于将一次函数解析式代入二次函数解析式 12、< 【解析】
先比较它们的平方，进而可比较
. 【详解】
（2=80，
（2=100， ∵80<100，
∴
故答案为：<. 【点睛】
本题考查了实数的大小比较，带二次根号的实数，在比较它们的大小时，通常先比较它们的平方的大小. 13、1 【解析】
利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得∠ABC=90°，然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC 为等腰直角三角形，从而得到∠C 的度数． 【详解】
解：∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°，
∵BC 为切线， ∴AB ⊥BC ， ∴∠ABC=90°， ∵AD=CD ，
∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠C=1°． 故答案为1． 【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 14、1 【解析】
解：原式=4(4)-⨯-=1．故答案为1． 15、2 【解析】
原式利用立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】
解：原式=3﹣1=2， 故答案为：2 【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16、
16
5
【解析】
先证明△ABC ∽△ADB ，然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可. 【详解】
∵90ABC ADB ︒∠=∠=，C ABD ∠=∠， ∴△ABC ∽△ADB ， ∴
AB AD
AC AB =, ∵5AC =，4AB =， ∴
454
AD =，
∴AD=16 5
.
故答案为：16 5
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
17、1（x﹣1）1
【解析】
先提取公因式1，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】
解：1x1-4x+1，
=1（x1-1x+1），
=1（x-1）1．
故答案为：1（x﹣1）1
【点睛】
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，难度不大．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、25
-+
【解析】
作BD平分∠ABC交AC于D，则△ABD、△BCD、△ABC均为等腰三角形，依据相似三角形的性质即可得出BC的长．
【详解】
如图所示，作BD平分∠ABC交AC于D，则△ABD、△BCD、△ABC均为等腰三角形，
∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴DC BC BC AC =， 设BC ＝BD ＝AD ＝x ，则CD ＝4﹣x ，
∵BC 2＝AC ×
CD ， ∴x 2＝4×（4﹣x ），
解得x 1＝25-+，x 2＝25--（舍去），
∴BC 的长25-+．
【点睛】 本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19、（1）a+b 的值为2；（2）a 的值为3，b |a|的值为3；（1）b 比a 大27.1．
【解析】
（1）根据数轴即可得到a,b 数值，即可得出结果.
（2）由B 点不动，点A 向左移动1个单位长，
可得a=3，b=2，b a -即可求解.
（1）点A 不动，点B 向右移动15.1个单位长，所以a=10，b=17.1，再b-a 即可求解.
【详解】
（1）由图可知：a=10，b=2，
∴a+b= 2
故a+b 的值为2．
（2）由B 点不动，点A 向左移动1个单位长，
可得a=3，b=2
∴b |a|=b+a=23= 3
故a 的值为3，b |a|的值为3．
（1）∵点A 不动，点B 向右移动15.1个单位长
∴a=10，b=17.1
∴b a=17.1（10）=27.1
故b 比a 大27.1．
【点睛】
本题主要考查了数轴，关键在于数形结合思想.
20、（1）5；（2）﹣2≤x ＜﹣12． 【解析】 （1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值以及二次根式的乘法计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算，然后根据实数的运算法则计算即可得到结果；
（2）先求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可．
【详解】
（1）原式312341,2
=-+⨯+- 1341,=-++-
=5；
（2）解不等式①得，x≥﹣2，
解不等式②得，12x <-，
所以不等式组的解集是122
x -≤<-．
用数轴表示为：
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，不等式组的解法，是综合题，但难度不大，计算时要注意运算符号的处理以及解集公共部分的确定．
21、（1）,,,PEF PCB ADE BCF ；（2）见解析；（3）存在，2
【解析】
（1）利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；
（2）由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，则有EF BC =，从而得到AB EF =，最后利用一组对边平行且相等即可证明； （3）由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，则PF PB =，从而得到PBF ∆是等腰直角三角形，则当PB 最短时，PBF ∆的面积最小，再根据AB 的值求出PB 的最小值即可得出答案．
【详解】
解：（1）四边形ABCD 是正方形，
,45AD DC BC ACD ACB ︒∴==∠=∠=，
,PE AC PB PF ⊥⊥，
90EPC BPF ︒∴∠=∠=，
,45EPF CPB PEC PCE ︒∴∠=∠∠=∠=，
PE PC ∴=，
在PEF ∆和PCB ∆中，
PEF BCP PE PC
EPF CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()PEF PCB ASA ∴∆∆≌
EF BC DC ∴==
DE CF ∴=
在ADE ∆和BCF ∆中，
90AD BC D BCF DE CF ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
()ADE BCF SAS ∴∆∆≌
故答案为,,,PEF PCB ADE BCF ；
（2）证明：由（1）可知PEF PCB ∆∆≌，
EF BC ∴=，
AB BC =
AB EF ∴=
//AB EF
∴四边形AEFB 是平行四边形.
（3）解：存在，理由如下：
PEF PCB ∆∆≌
PF PB ∴=
90BPF ︒∠=
PBF ∆∴是等腰直角三角形，
PB ∴最短时，PBF ∆的面积最小，
∴当PB AC ⊥时，PB 最短，此时2cos 452222PB AB =⋅︒=⨯=， PBF ∆∴的面积最小为12222
⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．
22、（1）AE=CG ，AE ⊥CG ，理由见解析；（2）①位置关系保持不变，数量关系变为
34CG AE =； 理由见解析；②当△CDE 为等腰三角形时，CG 的长为
32或2120或158
． 【解析】
试题分析：()1AE CG AE CG =⊥，，证明ADE ≌CDG ，即可得出结论. ()2①位置关系保持不变，数量关系变为3.4CG AE =证明ADE CDG ∽，
根据相似的性质即可得出. ()3分成三种情况讨论即可.
试题解析：（1）AE CG AE CG =⊥，，
理由是：如图1，∵四边形EFGD 是正方形，
∴90DE DG EDC CDG =∠+∠=︒，，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴90AB CD ADE EDC ，，=∠+∠=︒
∴ADE CDG ∠=∠，
∴ADE ≌CDG ，
∴45AE CG DCG DAE =∠=∠=︒，，
∵45ACD ∠=︒，
∴90ACG ，∠=︒
∴CG AC ，⊥ 即AE CG ⊥；
（2）①位置关系保持不变，数量关系变为3.4
CG AE = 理由是：如图2，连接EG 、DF 交于点O ，连接OC ，
∵四边形EFGD 是矩形，
∴OE OF OG OD ===，
Rt DGF △中，OG=OF ，
Rt DCF 中，OC OF ，=
∴OE OF OG OD OC ====，
∴D 、E 、F 、C 、G 在以点O 为圆心的圆上，
∵90DGF ∠=︒，
∴DF 为O 的直径，
∵DF EG =，
∴EG 也是O 的直径，
∴∠ECG =90°，即AE CG ⊥，
∴90DCG ECD ，∠+∠=︒
∵90DAC ECD ∠+∠=︒， ∴DAC DCG ∠=∠，
∵ADE CDG ∠=∠，
∴ADE CDG ∽，
∴
3.4
CG DC AE AD == ②由①知：3.4CG AE = ∴设34CG x AE x ==，，
分三种情况：
（i ）当ED EC =时，如图3，过E 作EH CD ⊥于H ，则EH ∥AD ，
∴DH CH =，
∴4AE EC x ，== 由勾股定理得：5AC =，
∴85x =， 5.8
x = 1538
CG x ∴==； （ii ）当3DE DC ==时，如图1，过D 作DH AC ⊥于H ，
EH CH ∴=， ∵90CDH CAD CHD CDA ∠=∠∠=∠=︒，，
∴CDH CAD ∽，
∴
,CD CH CA CD
= 3,53CH ∴= ∴95CH =， ∴97425255
AE x AC CH ==-=-⨯=， 720
x =， ∴21320CG x ，==
（iii ）当3CD CE ==时，如图5，
∴4532AE x ==-=，
12
x =， ∴332
CG x ==， 综上所述，当CDE △为等腰三角形时，CG 的长为
32或2120或158． 点睛：两组角对应，两三角形相似.
23、（1）213222
y x x =-
++；（2）①PE EO 有最大值1；②（2，3）或（2911，300121） 【解析】 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A ，C 点坐标，根据代定系数法，可得函数解析式；
（2）①根据相似三角形的判定与性质，可得PE PM OE OC
=，根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； ②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点D ，求得D （
32，0），得到DA=DC=DB=52
，过P 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 于G ，情况一：如图，∠PCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，情况二，∠FPC=2∠BAC ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
（1）当x=0时，y=2，即C （0，2），
当y=0时，x=4，即A （4，0），
将A ，C 点坐标代入函数解析式，得
2412402
b c c -⨯⎧⎪⎩++⎪⎨＝＝， 解得2
32b c ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，
抛物线的解析是为213222
y x x =-++； （2）过点P 向x 轴做垂线，交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，
∵直线PN ∥y 轴，
∴△PEM ～△OEC ， ∴PE PM OE OC
= 把x=0代入y=-12
x+2，得y=2，即OC=2， 设点P （x ，-12x 2+32x+2），则点M （x ，-12
x+2）， ∴PM=（-12x 2+32x+2）-（-12x+2）=-12x 2+2x=-12
（x-2）2+2， ∴PE PM OE OC ==()221222 x --+， ∵0＜x ＜4，∴当x=2时，PE PM OE OC ==()22
1222 x --+有最大值1． ②∵A （4，0），B （-1，0），C （0，2），
∴55AB=5，
∴AC 2+BC 2=AB 2，
∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点D ， ∴D （32
，0）， ∴DA=DC=DB=52
， ∴∠CDO=2∠BAC ，
∴tan∠CDO=tan（2∠BAC）=4
3
，
过P作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图
，
∴∠PCF=2∠BAC=∠PGC+∠CPG，
∴∠CPG=∠BAC，
∴tan∠CPG=tan∠BAC=1
2
，
即
1
2 RC
RP
=，
令P（a，-1
2
a2+
3
2
a+2），
∴PR=a，RC=-1
2
a2+
3
2
a，
∴
2
13
1 22
2
a a
a
-+
=，
∴a1=0（舍去），a2=2，
∴x P=2，-1
2
a2+
3
2
a+2=3，P（2，3）
情况二，∴∠FPC=2∠BAC，
∴tan∠FPC=4
3
，
设FC=4k，
∴PF=3k，PC=5k，
∵tan∠PGC=31
2 k
FG
=，
∴FG=6k，
∴CG=2k ，
，
∴
k ，
k ，
k ，
∴21322PR a RC a a ==-+， ∴a 1=0（舍去），a 2=2911
， x P =2911，-12
a 2+32a+2=300121，即P （2911，300121）， 综上所述：P 点坐标是（2，3）或（
2911，300121）． 【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出PE PM OE OC
=，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用解直角三角形，要分类讨论，以防遗漏． 24、（1）见解析；（2）312(4 6.5)y x x =-<<；（3）当5PB ＝或8时，QED 与QAP 相似.
【解析】
（1）想办法证明B C APB EPC ∠∠∠∠＝，＝即可解决问题；
（2）作A AM BC ⊥于M ，PN AD 于N.则四边形AMPN 是矩形.想办法求出AQ 、PN 的长即可解决问题； （3）因为DQ PC ，所以EDQ ECP ∽，又ABP ECP ∽，推出EDQ ABP ∽，推出ABP △相似AQP 时，QED 与QAP 相似，分两种情形讨论即可解决问题；
【详解】
（1）证明：四边形ABCD 是等腰梯形，
B C ∴∠∠＝，
PA PQ ＝，
PAQ PQA ∴∠∠＝，
AD BC ∵∥，
PAQ APB PQA EPC ∴∠∠∠∠＝，＝，
APB EPC ∴∠∠＝，
ABP ECP ∴∽.
（2）解：作AM BC ⊥于M ，PN AD 于N.则四边形AMPN 是矩形.
在Rt ABM 中，3sin ,55AM B AB AB ===， 34AM BM ∴＝，＝，
43PM AN x AM PN ∴＝＝﹣，＝＝，
PA PQ PN AQ ⊥＝，，
224AQ AN x ∴＝＝（﹣），
1312(4 6.5)2
y AQ PN x x ∴=⋅⋅=-<<. （3）解：DQ PC ，
EDQ ECP ABP ECP ∴∽，∽，
EDQ ABP ∴∽，
ABP ∴相似AQP 时，QED 与QAP 相似，
PQ PA APB PAQ ∠∠＝，＝，
∴当BA BP ＝时，BAP PAQ ∽，此时5BP AB ＝＝， 当AB AP ＝时，APB PAQ ∽，此时28PB BM ＝＝，
综上所述，当PB=5或8时，QED 与△
QAP 相似. 【点睛】
本题考查几何综合题、圆的有关性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和特殊四边形解决问题，属于中考压轴题.。