江苏省宝应县高一数学下学期期中试题苏教版

宝应县12-13学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．
. 1、o
o
2sin75cos75= ▲ .
2、cos75cos30sin 75sin 30︒︒+︒︒的值为 ▲ .
3、在等差数列{}n a 中，256a a =+，则其公差为 ▲ . ４、在某次测量中，A 在B 的北偏东65，则B 在A 的 ▲ 方向. 5、已知∆ABC 中，30A ∠=，1a =，则2sin 2sin sin a b c
A B C
-+=-+ ▲ .
6、已知3cos 5
θ=-，3(,
)2πθπ∈，则tan()4
π
θ-= ▲ . 7、在△ABC 中，若AC=1
，AB =23
C π
=，则BC= ▲ .
8、已知1sin(),(,)432
ππ
θθπ+=∈，则sin θ= ▲ .
9、已知∆ABC 中，15a =,10,60b A ==, 则cos B = ▲ . 10、在等比数列{}n a 中，262,12,a a ==则12a = ▲ . 11、等差数列{}n a 中，若129104,12,a a a a +=-+=则30S = ▲ .
12、在ABC ∆中，若,2,45a x b B ===，若ABC ∆只有一个解，则x 的取值范围是 ▲ .
13、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，它的各项都是正数，且1321
3,,22
a a a 成等差数列， 则
119
75
S S S S --= ▲ .
14．对于ABC ∆,有如下命题： ① 一定有cos cos a b C c B =+成立.
② 若cos 2cos 2A B =, 则ABC ∆一定为等腰三角形；
③ 若ABC ∆
BC=2，60C =，则此三角形是正三角形；
则其中正确命题的序号是▲ . (把所有正确的命题序号都填上)
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. (本题满分14分)
已知cos α=1tan 2β=-，2παπ<<. 2
π
βπ<< (1) 求5cos 2,sin ()6
π
αα-的值； (2) 求αβ+的值.
16. (本题满分14分)
如图，两座建筑物AB,CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部看建筑物CD 的张角45CAD ∠=，求建筑物AB 和CD 底部之间的距离BD
17. (本题满分15分)
如图，在△ABC 中，已知45B ∠=，D 是BC 边上一点， AD=10，AC=4，DC=6，求AB 的长.
18．(本题满分15分)
已知等差数列{}n a 满足：10201,0.a S == (1) 求数列{}||n a 的前20项的和； (2) 若数列{}n b 满足：210log n n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和.
19、(本题满分16分)
在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且2
2
2
sin .a c b B +-= (1) 求角B 的大小；
(2) 若b =且(,)62
A ππ
∈，求a c +的取值范围.
20．(本题满分16分)
已知数列{}n a 的前n 项和1
1()
22
n n n S a -=--+（n 为正整数）。

(1) 令2n n n b a =⋅，求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2) 令1
n n n c a n
+=⋅，12n n T c c c =+++，求使得5
2
n T >
成立的最小正整数n ，并证明你的结论.
一、填空题(共14小题，每小题5分，共70分)
1、
1
2
2 3、－2 4、南偏本 65 5、2
6、17-
7、1 8
、46+
、3
10
、 11、360 12、02x <≤
或x =、81 14、①②③ 二、计算题： 15、(本题满分14分)
解：（1
）∵cos α=，2
π
απ<<
，∴sin α=………………2分 ∴2
94cos 22cos 12()1.105
αα=-=⋅-=
………………4分
∴5551sin()sin cos cos sin ()(66622
πππααα-=-=-
-⋅
=
20
…………………………7分 （2）由条件得，1
tan 3
α=-，
………………9分
而1tan 2
β=-，∴11()32tan()1,111()()
32
αβ-+-+==---⋅-
………………11分 又∵2παπ<<，2πβπ<<，∴2παβπ<+<，∴74
παβ+=………………14分
（注：不交待范围，直接得到结果的，扣2分） 16.（本题满分14分）
解：如图，自A 作AE CD ⊥于E ， 设BD x =m
∵45CAD ∠=,记CAE α∠=,则45DAE α∠=-，……………… 3分
在Rt △CAE 中，CE=6, ∴6
tan x
α=
在Rt △DAE 中，DE=9, ∴9
tan 45x
α-=
………………7分
∴26915tan 4569541x
x x x x x
+
==--⋅,
………………11分
解得：18x =或3x =-（舍去）
………………13分
答：建筑物AB 和CD 底部之间的距离BD 为18m. ………………14分
45α
-α
17.（本题满分15分）
解：在△ABC 中，∵AD=10，AC=14，DC=6 ∴222
106141
cos 21062
ADC +-∠=
=-⨯⨯, (5)
∴120ADC ∠=, ∴60ADB ∠= ……………7分 ∴在△ABD 中，∵45B ∠=，∴sin 60sin 45
AB AD
=
，
……………11分 ∴10AB ==
……………15分
讲评时，可用下题作为练习和变式题：
【题】某观测站C 在城A 的南偏西20的方向，由城A 出发的一条公路， 其走向是南偏东40，在C 处测得公路上B 处有一人，距C 为31km ， 正沿公路向A 城走去，走了20km 后到达D 处，此时CD 间的距离为
21km ，问这人还要走多少千米才能到达A 城？
【解答】略。

18、（本题满分15分）
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵10201,0.a S ==
∴11912019
2002
a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得119,2a d ==-，……………3分 ∴19(1)(2)212n a n n =+--=- ……………5分 可见，10n ≤时，0n a >，10n >时，0n a < 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，
则数列{}||n a 的前20项的和102010102010[()]22n T S S S S S S =+--=-=……………7分 而119,a =∴10191
22[10]200.2
n T S +==⨯= ……………8分 （2）由210log n
n b a +=得，101222n a n n b +-==
……………10分
∴1211221
24
n n n n b b --+-==，
所以数列{}n b 是以11
2
b =
为首项，14q =为公比的等比数列
……………13分
数列{}n b 的前n 项和为11
[1()]221
24()133414
n n -=-⋅-
……………15分
19．（本题满分16分）
B
C
解：(1) 在△ABC中，
∵222sin.
a c
b B
+-=，
∴22
i n.
2
a c b
B
ac
+-
=………3分
即：cos,
B B
=
∴tan B= (6)
分
而0Bπ
<<，
3
B
π
= (8)
分
(2)
∵b
∴2
sin sin sin
a c b
A C B
====,
∴2
sin sin
a c
A C
+
=
+
, 即:2(sin sin)
a c A C
+=+……………11分
又∵
3
B
π
=, ∴
2
3
A C
π
+=. 可设,,
33
A B
ππ
αα
=+=-
而
2
0,
3
A
π
<<∴
33
ππ
α
-<<. ∴
1
cos1
2
α
<≤
∴2(sin sin)4sin cos
3
a c A C
π
αα
+=+==
a c
+≤……………16分
(注:第2问还可设问成求△ABC周长的最大值)
20．（本题满分16分）
解：（1）在1
1
()2
2
n
n n
S a-
=--+中，令n=1，可得
111
12
S a a
=--+=，即
1
1
2
a=……………2分
当2
n≥时，21
1111
11
()2()
22
n n
n n n n n n n
S a a S S a a
--
----
=--+∴=-=-++
，，
11
n11
1
2a(),21
2
n n
n n n
a a a
--
--
∴=+=+
n
即2.……………2分
11
2,1,n21
n
n n n n n
b a b b b
--
=∴=+≥-=
n
即当时，b.
又
11
21,
b a
==∴数列}
{n b是首项和公差均为1的等差数列.
……………5分
于是1(1)12,
2
n
n n n n
n
b n n a a
=+-⋅==∴=.
……………7分
(2)由（1）得
11
(1)()
2
n
n n
n
c a n
n
+
==+，所以
231111
23()4()(1)()2222
n n T n =⨯+⨯+⨯+++K
2341111112()3()4()(1)()22222n n T n +=⨯+⨯+⨯+++K
……………9分
由①-②得231111111()()()(1)()22222
n n n T n +=++++-+K
11111[1()]133421(1)()122212n n n n n -++-+=+-+=--
∴3
32
n n n T +=-
……………11分 ∴1234794151,,,44162
T T T T ====>
……………13分
下面证明数列{}n T 是递增数列.
∵332n n n T +=-, ∴1
1
4
32n n n T +++=-, ∴111
1342642
02222
n n n n n n n n n n n T T +++++++--+-=-==>, ∴数列{}n T 单调递增 所以, 使得52
n T >成立的最小正整
数
4.n = ……………16分。