2016届新课标数学(理)一轮复习讲义选修4-5第1讲绝对值不等式

第1讲 绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．
定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：
(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；
②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．
考点一__含绝对值不等式的解法________________
解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.
[解] 法一：如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不少于5的点所对应的实数．显然，区间[－2，1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时|A 1A |＋|A 1B |＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时|B 1A |＋|B 1B |＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法二：原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔
⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋x ＋2≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，
解得x ≥2或x ≤－3，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
[规律方法] 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a <b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |>c (c >0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.
(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．
1.解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x
2
＋1.
解：①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x
2＋1，解得x <10，∴x <－3.
②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－2
5.
③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x
2＋1，解得x >2，∴x >2.
综上可知，原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x <－25或x >2.
考点二__绝对值不等式性质的应用______________
确定“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的什么条件． [解] ∵|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |<m ＋m ＝2m ， ∴|x －a |<m 且|y －a |<m 是|x －y |<2m 的充分条件．
取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2<5＝2m ，但|x －a |＝5，不满足|x －a |<m ＝2.5，
故|x －a |<m 且|y －a |<m 不是|x －y |<2m 的必要条件． 故为充分不必要条件．
[规律方法] 两数和与差的绝对值不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.
(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式． 2.若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以只需a ≤3即可．故a 的取值范围为(－∞，3]．
考点三__绝对值不等式的综合应用______________
(2013·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；
(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． [解] (1)当a ＝2时，
f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.
当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；
当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；
当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．
(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .
由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋1
2.
又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －1
2
＝1，a ＋1
2＝2，
于是a ＝3.
[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．
2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．
3.(2015·唐山市第一次模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．
解：f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时等号成立．
解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．
1．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．
解：原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－3，
－x －3＋x －2≥3
或⎩
⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，
x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为
{x |x ≥1}．
2．在实数范围内，解不等式||x －2|－1|≤1.
解：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. 故x 的取值范围是[0，4]． 3．(2015·山西省忻州市联考)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；
(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.
解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2， ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.
(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.
4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1
a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．
解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1
a ＋a ≥2.所以f (x )≥2. (2)f (3)＝⎪⎪⎪
⎪3＋1
a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1
a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.
当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1
a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.
综上，a 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪
⎫1＋52，5＋212.
5．(2015·大连市模拟)设不等式|x －2|＋|3－x |<a (a ∈N *)的解集为A ，且2∈A ，3
2∉A .
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．
解：(1)由题可得⎩
⎪⎨⎪⎧a >1
a ≤2，
所以1<a ≤2，因为a ∈N *， 所以a ＝2.
(2)因为|x ＋2|＋|x －2|≥|(x ＋2)－(x －2)|＝4， 所以f (x )的最小值是4. 6．(2015·新乡许昌平顶山调研)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.若a >1，∀x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围．
解：令F (x )＝f (x )＋|x －1|，
则F (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋2＋a ，x <1x －2＋a ，1≤x <a ，3x －2－a ，x ≥a
所以当x ＝1时，F (x )有最小值F (1)＝a －1，
只需a －1≥1，解得a ≥2，
所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．
1．(2015·辽宁五校协作体联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f ⎝⎛⎭⎫
t 2≤m －f (－t )成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，∴a －3＝－2，∴a ＝1.
(2)∵f ⎝⎛⎭⎫t 2≤m －f (－t )，∴|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m ， 令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3t ＋2，t ≤－1
2
，t ＋4，－12
<t <1，
3t ＋2，t ≥1.
∴y min ＝72，∴m ≥7
2
.
2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.
(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；
(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，1
2)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧－5x ，x <1
2，－x －2，12
≤x ≤1，
3x －6，x >1，
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，所以原不等式的解集是
{x |0<x <2}．
(2)当x ∈[－a 2，1
2)时，f (x )＝1＋a ，
不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，
所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立，故－a
2≥a －2，
即a ≤4
3
.
从而a 的取值范围是(－1，4
3
]．
3．(2015·云南省统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；
(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧3－2x ，x ≤11，1<x ≤2.2x －3，x >2
由f (x )>2得⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x >2或⎩⎪⎨⎪
⎧x >22x －3>2，
解得x <12或x >5
2
.
∴所求实数x 的取值范围为(－∞，12)∪(5
2，＋∞)．
(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得 |a ＋b |＋|a －b |
|a |
≥f (x )．
又∵|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，
∴f (x )≤2.
∵f (x )>2的解集为{x |x <12或x >5
2}，
∴f (x )≤2的解集为{x |12≤x ≤5
2}，
∴所求实数x 的取值范围为[12，5
2
]．
4．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a <3)的最小值为2. (1)解关于x 的方程f (x )＝a ；
(2)若存在x ∈R ，使f (x )－mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)由f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|x －4－(x －a )|＝|a －4|(当(x －4)(x －a )≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2.
方程f (x )＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x ≤4.
(2)不等式f (x )－mx ≤1即f (x )≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x )的图象至少有一部分不在直线y ＝mx ＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m ∈(－∞，－2)∪[1
4，＋∞)．。