(通用版)2019高考数学二轮复习第二篇第21练圆锥曲线中的范围、最值、证明问题课件文

解
2 2 a － b 3 1 3 (1)由题意知a2＋4b2＝1.又 a ＝ 2 ，
解得a2＝4，b2＝1.
x2 2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y ＝1. 2分
x2 y2 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为16＋ 4 ＝1.
|OQ| ①设 P(x0，y0)， |OP| ＝λ(λ＞0)，由题意知 Q(－λx0，－λy0).
由已知可得，点 A
又M(2，0)，
的坐标为 1，
2 2 或 1 ，－ . 2 2
2 2 所以 AM 的方程为 y＝－ 2 x＋ 2或 y＝ 2 x－ 2.
即 x＋ 2y－2＝0 或 x－ 2y－2＝0.
解答
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
解答
→ → (2)O为坐标原点，∠AOB＝θ，满足 3OA· OBtan θ＝4 6 ，求直线l的方程.
解答
x2 2.(2017· 全国Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝ 上两点，A与B的横坐标之和为4. 4 (1)求直线AB的斜率；
解
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 x2 x 1 2 则 x1≠x2，y1＝ 4 ，y2＝ 4 ，x1＋x2＝4，
Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系；
规范演练
1.(2018· 惠州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(p， 2p )满足
|PF|＝3.
(1)求抛物线的方程；
解 p 3p 由条件易知 P(p， 2p)在抛物线 y ＝2px 上，|PF|＝xP＋2＝ 2 ＝3，
2
故p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x.
解答
考点二 圆锥曲线中的范围、最值问题
方法技巧 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑
利用图形性质数形结合求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不
等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参
解答
2 2
1 (2)直线l的斜率为 2 ，直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，求△ PAB 面积的 最大值.
解答
x2 y2 3 5.已知点 A(0，－2)，椭圆 E：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 2 ，F 是椭圆 E 2 3 的右焦点，直线 AF 的斜率为 3 ，O 为坐标原点.
因为a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1， 2 x 故所求椭圆 C 的方程是 4 ＋y2＝1.
解答
(2)设B1，B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1，B2的任
意一点，过点P作PM⊥y轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y＝
－1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ON⊥EN.
明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求
条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向.
x2 2 7.(2018· 全国Ⅰ) 设椭圆C： ＋y ＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A， 2 B两点，点M的坐标为(2，0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； 解 由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
证明
x2 y2 8.(2018· 大庆质检)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的焦距为 2 3，且 C 过点

1 3， 2 .
由题设知焦距为 2 3，所以 c＝ 3.
(1)求椭圆C的方程；
解
又因为椭圆过点
1 3，2 ， 1 3 4 所以代入椭圆方程得a2＋b2＝1，
2 2 x ＋ 3 y ＝ 6， 联立 得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0，Δ>0 显然成立. y＝kx－2，
12k2 3 2 ∵x1＋x2＝3，∴ 2 ＝3，∴k ＝1，则 x1x2＝2， 3 k ＋1
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝ 6.
因此 S＝2 4－tt＝2 －t2＋4t，
故 0＜S≤2 3，当且仅当 t＝1，
(**)
10 分
即 m2＝1＋4k2 时取得最大值 2 3.
11 分
由①知，△ABQ 的面积为 3S，所以△ABQ 面积的最大值为 6 3.
12 分
构建答题模板 [第一步] [第二步] [第三步] [ 第四步 ] 关系； [ 第五步 ] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或 最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件. 求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程； 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax2＋ 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系； 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数
第二篇 重点专题分层练，中高档题得高分
第21练 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题[压轴大题突破练]
明晰考情 1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问 题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型. 2.题目难度：中高档难度.
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核心考点突破练 模板答题规范练
核心考点突破练
2 4 m －16 8km 则有 x1＋x2＝－ 2，x1x2＝ 2 . 1＋4k 1＋4k
5分
(*)
4 16k2＋4－m2 所以|x1－x2|＝ . 2 1＋4k
8分
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
2 2 2 16 k ＋ 4 － m |m| 1 所以△OAB 的面积 S＝2|m||x1－x2|＝ 1＋4k2
1 1 所以直线 BM 的方程为 y＝2x＋1 或 y＝－2x－1.
数的范围.
x y 4.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b≥1)过点 P(2,1)， a b 3 且离心率 e＝ 2 .
2
2
(1)求椭圆C的方程；
解
c a －b 3 ∵e ＝a2＝ a2 ＝4，∴a2＝4b2.
2 2 2 2
4 1 又a2＋b2＝1，∴a2＝8，b2＝2. x y 故所求椭圆 C 的方程为 8 ＋ 2 ＝1.
2
2
解
设点F的坐标为(－c，0)，
1 c 1 p 依题意，得a＝2，2＝a，a－c＝2， 1 解得 a＝1，c＝2，p＝2， 3 2 2 2 于是 b ＝a －c ＝4. 2 4 y 所以椭圆的方程为 x2＋ 3 ＝1，抛物线的方程为 y2＝4x.
解答
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)， 6 直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为 ， 求直线AP的方程. 2
(1)求E的方程；
解 2 2 3 设 F(c，0)，由条件知，c ＝ 3 ，得 c＝ 3.
3 c 又a＝ 2 ，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1.
x2 2 故 E 的方程为 4 ＋y ＝1.
解答
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程.
解答
6. 如图所示，设抛物线 y2 ＝ 2px(p>0) 的焦点为 F ， 抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1. (1)求p的值；
2 16k ＋4－m m ＝ ＝2 2 1＋4k
2 2 2
2 m m2 4－ 2 2. 1 ＋ 4 k 1＋4k
9分
m2 设 2＝t，将 y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程， 1＋4k
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2. 由(*)和(**)可知0＜t≤1，
证明
9.(2017· 北京)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，过点 于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
解 1 由抛物线 C：y ＝2px 过点 P(1,1)，得 p＝2，
2
物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交
1 0 ， 作直线l与抛 2
考点一 直线与圆锥曲线
方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的 方程与直线方程联立来处理. (1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两 种情况进行讨论，或者将直线方程设成x＝my＋b(斜率不为0)的形式. (2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的 判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.
解答
(2)过点(－1,0)的直线l交抛物线于A，B两点，当|FA|＝3|FB|时，求直线l
的方程.
解答
2.(2018· 全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l
与C交于M，N两点.
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； 解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2).
通法 研究判别式Δ并判断 ② 直线y＝kx＋m和椭圆E的方程联立 ― ― ― → → 根与系数的关系 利用①得 用m，k表示S△OAB → 求S△OAB最值 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 得S△ABQ的最大值 S △ABQ和S△OAB的关系
规范解答· 评分标准
解
由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等 p 于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得 2 ＝1，即p＝2.
解答
(2)若直线AF交抛物线于另一点 B，过B与x轴平行的直线和过 F与AB垂 直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.
解答
考点三 圆锥曲线中的证明问题
方法技巧 圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现 .无论证
y1－y2 x1＋x2 于是直线 AB 的斜率 k＝ ＝ 4 ＝1. x1－x2
解答
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，
求直线AB的方程.
解答
x y 3.(2017· 天津)设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率 1 1 2 为2.已知 A 是抛物线 y ＝2px(p>0)的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为2. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
所以抛物线C的方程为y2＝x，
抛物线 C
1 ， 0 的焦点坐标为 ，准线方程为 4
1 x＝－4.
解答
(2)求证：A为线段BM的中点.
证明
模板答题规范练ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
模板体验
x2 y2 典例 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0) 1 3 的离心率为 2 ，且点 3，2 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程； x2 y2 (2)设椭圆 E：4a2＋4b2＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y＝kx ＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. |OQ| ①求 |OP| 的值； ②求△ABQ 面积的最大值.
审题路线图
3 已知离心率e＝ 2 (1) 椭圆C上的点满足条件 ― ― ― → 列出a，b的关系式 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 2― 2 2― a ＝b ＋c 基本量法求得椭圆C的方程
|OQ| P，O，Q (2)① P在C上，Q在E上 ― ― ― ― ― ― ― ― → 设坐标代入方程 ― → 求出 |OP| 共线
2 |x1－x2|或 (3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB|＝ 1＋k · 1 |AB|＝ 1＋k2· |y1－y2|.
x2 y2 1.(2018· 哈尔滨模拟)已知F是椭圆 ＋ ＝1的右焦点，过F的直线l与椭 6 2 圆相交于A(x1，y1)，B(x1，y2)两点.
(1)若x1＋x2＝3，求弦AB的长； 解 由题意可知过F的直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，
2 2 － λx － λy 0 0 2 因为 4 ＋y0＝1，又 16 ＋ 4 ＝1，
x2 0
2 x λ2 0 2 即 4 4 ＋y0＝1，
|OQ| 所以 λ＝2，即 |OP| ＝2.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2). 将y＝kx＋m代入椭圆E的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，