2018年高考数学试题分类汇编-向量
高三数学-2018年全国各地高考试题-向量、不等式高考题选 精品
2018年向量、不等式高考题选一、选择题1．不等式x x x <-24的解集是（ ）（2018年天津文1）A ．（0，2）B ．（2，+∞）C ．（2，4）D ．（－∞，0）∪（2，+∞）2．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于（2018年北京春理11）A ．8B ．2C ．－4D ．－83.不等式2112x x ++<的解集是( ) （2018年安徽春理5）A.{}10xx -<<B. 302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 504x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D. {}20x x -<<4．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（ ）（2018年北京理1）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或5．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则 （ ）（2018年北京理2）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 26．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ).,0[(+∞∈++=λλOA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（2018年天津文8） A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心7．设c bx ax x f a ++=>2)(,0，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切处的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（ ）（2018年天津理7）A ．]1,0[aB ．]21,0[a C ．|]2|,0[a b D ．|]21|,0[ab - 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（ ）（2018年天津理9）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 9．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ ）（2018年北京理6）A ．2 B ．3C ．4D ．510．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的（ ）（2018年上海理15）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.二、填空题1．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）（2018年上海理5） 2．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= （2018年上海理6）3．已知定点A （0，1），点B 在直线x +y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 . （2018年上海文4）三、解答题1．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log )2(log 21221-->--x x x （2018年北京春理17）2、（本题满分12分）解不等式组：2680321{x x x x -+>+>-（2018年上海春17）3．（本小题满分12分）（2018年全国理19）已知.0>c 设P ：函数x c y =在R 上单调递减. Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.4．（本小题满分14分）（2018年北京理19）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图） （Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小， 点P 应位于何处？ （Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？5．（本题满分12分）（2018年上海理18）已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积.6．（本题满分16分）共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. （2018年上海理21） 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围. 7．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （2018年上海理20）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设 计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）8、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分。
2013年_2018高考文科数学真题汇编_平面向量高考题老师版
学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日：—：历年高考试题集锦——平面向量1．（2012 四川）设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a b|a||b|成立的充分条件是（ C ）A、a b B 、a // b C 、a 2b D 、a // b 且|a||b|2. （2014 新标 1 文）设D, E,F 分别为ABC的三边BC , CA, AB 的中点，则EB FC （A ）A. ADB. 12AD C.12BC D. BC3. （2014 福建文）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA OB OC OD 等于（ D ）A.O MB.2OMC.3OMD.4OM4. （2012 大纲）ABC中，AB边上的高为CD ，若C B a, C A b, a b 0,| a | 1,| b | 2 ，则ADA．1 1a b B ．3 32 2a b C ．3 33 3a b D ．5 54 4a b5 5【简解】由 a b 0 可得ACB 90 ，故A B 5 ，用等面积法求得2 5CD ，所以54 5AD ，故54 4 4 4AD AB (CB CA) a b ，故选答案 D5 5 5 55.(2012 浙江) 设a，b 是两个非零向量．A．若| a +b |=| a |-| b | ，则a ⊥b ；B ．若a ⊥b ，则| a +b |=| a |-| b |C．若| a +b |=| a |-| b | ，则存在实数λ，使得a =λ bD．若存在实数λ，使得 a =λb ，则| a +b |=| a |-| b |【解析】| a +b |=| a |-| b | ，两边平方得到 a b =-| a || b |, 则 a 与 b 反向，选 Cword 完美整理版→→→6．(2013 四川) 在平行四边形ABCD中，对角线A C与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝____2____.6.(2014 新标1理) 已知A，B，C是圆O上的三点，若1AO (AB AC) ，则AB 与AC 的夹角为290 .8．（2012 安徽文）设向量a (1,2 m), b(m1,1),c (2, m) ，若(a c) ⊥b , 则a _____ 2 9．（2014 北京文）已知向量 a 2,4 ，b 1,1 ，则2a b （A ）A. 5,7B. 5,9C. 3,7D. 3,9 10．（2012 广东）若向量BA 2,3 ，CA 4,7 ，则BC （ A ）A. 2, 4B. 2,4C. 6,10D. 6, 10r 11．（2014 广东文）已知向量a (1,2)r r r，b (3,1)，则b a（ B ）A.( 2,1)B.(2, 1)C.(2,0)D.(4,3)12．（2013 湖北）已知点A( 1, 1)、B(1, 2) 、C( 2, 1) 、D (3, 4) ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ A ）A．3 22B．3152C ．3 22D．315213．（2012 辽宁文）已知向量a = (1, —1) ，b = (2,x). 若a· b = 1, 则x = （ D ）(A) — 1 (B) —12(C)12(D)1→14．（2013 辽宁）已知点A(1,3) ，B(4 ，－1) ，则与向量A B同方向的单位向量为( A )A. 3，－545B.45，－35C. －3 4，5 545D. －，3515．（2013 福建）在四边形ABCD中，AC (1, 2) ，BD ( 4, 2) ，则四边形的面积为（ C ）A． 5 B ．2 5 C ．5 D ．1016．（2013 安徽文）若非零向量a,b满足a 3 b a 2b ，则a,b夹角的余弦值为_____13__. π→→17．（2013 辽宁）设向量a＝( 3sin x，sin x) ，b＝(cos x，sin x) ，x∈0，2.→→→→(1) 若| a| ＝| b| ，求x 的值；(2) 设函数f( x) ＝a·b，求f( x) 的最大值．【答案】(1) π6. ；(2)3.2→→→→→18．（2014 大纲文）已知a、b为单位向量，其夹角为60 ，则（2a－b）· b =( B )word 完美整理版A. －1B. 0C. 1D.27.(2013 新标1理) 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1 －t) b，若b·c=0，则t =__2___.→→8.(2014 新标2) 设向量a,b→→→→满足| a+ b|= 10 ，| a-b→→|= 6 ，则a· b = ( A )A. 1B. 2C. 3D. 5→→9.(2013 新标2) 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝____2____.10.（2012 湖南文）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP 3且A P AC = 18 .【解析】设AC BD O ，则AC 2( AB BO) ，AP AC = AP 2( AB BO)2AP AB 2AP BO 22AP AB 2AP( AP PB) 2AP 18.11.（2012 江苏）如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E 为BC的中点，点F 在边CD上，若= ，则的值是．12.（2014 江苏）如图，在□ABCD中，已知，AB 8 ，AD 5，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是．【简解】AP AC =3( AD AP ),1AP AD AB ;43BP AD AB ; 列式解得结果22413.（2015 北京文）设a，b 是非零向量，“a b a b ”是“a//b ”的（ A ）A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14.（2015 年广东文）在平面直角坐标系x y 中，已知四边形CD 是平行四边形，1, 2 ，word 完美整理版D 2,1 ，则 D C （D ）A．2 B ．3 C ．4 D ． 515.（2015 年安徽文）ABC是边长为2 的等边三角形，已知向量a、b 满足AB 2a ，AC 2a b ，则下列结论中正确的是①④⑤。
2018年高考文科数学分类汇编专题五平面向量
《2018年高考文科数学分类汇编》、选择题1.【2018全国一卷7】在厶ABC 中，AD 为BC 边上的中线,D .押 4A C2 .【2018全国二卷4】已知向量a , b 满足|a | =1 , a b = -1，则a (2a-b )二n4.【2018浙江卷9】已知a, b, e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为-， 3 向量b 满足b 2- 4e - b +3=0，则|a - b |的最小值是、填空题 1.【2018全国三卷13】已知向量a = 1,2 , b = 2, -2 , c = 1,入.若c // 2a+b ，则■二2. ___________________________________________________________________________ 【2018 北京卷 9】设向量 a = (1,0) , b = (- 1,m )若 a - (m a -b )，贝V m= __________________3. 【2018江苏卷12】在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I : y = 2x 上在第一象限内的点，T TB(5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB CD = 0，则点A 的横坐标为 _______ .第五篇：平面向量A . 3AB 一1 AC 4 4 E 为AD 的中点，则B . 3C . 2D . 03.【2018天津卷8】在如图的平面图形中，已知 OM =1 , ON =2 , MON=120 , BM = 2MA,CN =2NA,则的值为A. -15B.-9C.-6D.0B . 3+1C . 24. 【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点 A (-1 , 0), B (2, 0), E, F是y轴上的两个动点，且I存i=2，贝y AE• BF的最小值为 ______ [参考答案一、选择题1.A2.B二、填空题11.2 3.C 4.A2. -13.34.一3。
高考(2018)数学(理)真题分类解析：专题12-平面向量
专题 平面向量考纲解读明方向分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.4．【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10平面向量)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）一、选择题1．（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．假设非零向量a 与e的夹角为π3，向量b 知足b 2−4e ·b +3=0，那么|a −b |的最小值是（ ）A ．3−1B ．3+1C ．2D ．2−31.答案：A解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22(2)1x y ⇒-+=如下图，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min131a bCD -=-=-.（其中CD OA ⊥.）2．（2018天津文）在如图的平面图形中， 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）02．【答案】C【解析】如下图，连结MN ，由2BM MA =，2CN NA = 可知点M ，N 别离为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，那么()33BC MN ON OM ==-，由题意可知：2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯︒=-， 结合数量积的运算法那么可得：()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-．故选C ．3．（2018天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 假设点E 为边CD 上的动点，那么⋅AE BE 的最小值为 （ ）(A)2116 (B) 32 (C) 2516(D) 33．【答案】A【解析】成立如下图的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，3,02D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，那么()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，那么：333,,222x y λ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即332232x y λλ⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩， 据此可得333,222E λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且3331,2222AE λλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，333,22BE λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 由数量积的坐标运算法那么可得：3333313222222AE BE λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，应选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文、理）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +4．答案：A解答：由题可知11131[()]22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-++=-.5．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知向量a ，b 知足||1=a ，1⋅=-a b ，那么(2)⋅-=a a b （ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．【答案】B 【解析】因为()()222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ，因此选B ．二、填空1．（2018北京文）设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，那么m =_________． 1．【答案】1-【解析】()10=,a ，()1m =-,b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ， 由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．2. （2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y轴上的两个动点，且|EF |=2，那么AE ·BF 的最小值为______3．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．假设0AB CD ⋅=，那么点A 的横坐标为 ▲ ．3．【答案】3【解析】设()(),20A a a a >，那么由圆心C 为AB 中点得5,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭， 易患()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1D x =，因此()1,2D ．因此()5,2AB a a =--，51,22a CD a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()5512202a a a a +⎛⎫--+--= ⎪⎝⎭，2230a a --=，3a =或1a =-，因为0a >，因此3a =．4．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，那么λ=________． 4．答案：12解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.三、解答题。
2018全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)
第一部分平面向量的概念及线性运算向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】1. 判断正误（在括号内打或“X”）⑴零向量与任意向量平行.（）（2）若a// b, b// c,贝U a// c.（）⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（）⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（）2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（）A.①B.③C.①③D.①②3.(2017•枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =()A.2B.3C. —2D. —34.(2015 •全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X =5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示).1 26.（2017 •嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE= 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ , 入2= _______________ .考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是 _________ （填序号）.①若I a| = |b| ,则a= b；②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a= b, b= c,贝V a= c.【训练1】下列命题中，正确的是 _________ （填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；a, b都是单位向量，则a= b；考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若 AB= a + b , BC= 2a + 8b , CD= 3( a — b ).求证：A, B , ⑵ 试确定实数k ,使ka + b 和a + kb 共线.【训练 3】已知向量 AB= a + 3b , BC= 5a + 3b , CD=- 3a + 3b ，则( )A.AB, C 三点共线 B.A, B, D 三点共线 C.A, C D 三点共线D.B, C, D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1. 平面向量的基本定理如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 对实数入1,入2,使a =入e+入2e 2.其中，不共线的向量 e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a =(X 1, y” , b = (X 2, y 2)，贝U③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 答案③考点二平面向量的线性运算1【例2】(2017 •潍坊模拟)在厶ABC 中, P , Q 分别是AB BC 的三等分点，且 AP= 3AB BQ= 13BC 若AB= a , AC= b ,则 PQ=( )311 A ・3a +3b 1 1B. — 3a +3b 1 1 C.J a -3b1 1 D. - 3a — 3b【训练2】(1)如图，正方形 ABCDK 点 E 是DC 的中点, 靠近B 点的三等分点，那么 EF 等于(A .^AB ^2D 三点共线;a ,有且只有-点F 是BC 的一个A BC.a+ b= (x i + X2, y土y) , a—b= (x i—X2, y i—y2), X a=(入x i, hy , | a| = ：x1+y?.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(x i，y i)，B(x?，y?)，则AB= (x? —X i，y?—y i)，| AB = : (x?—X i)?+( y? —y i) 24. 平面向量共线的坐标表示设a= (x i, y i) , b= (x?, y?)，贝y a// b? x i y? —x?y i = o.【基础练习】i.(?0i7 •东阳月考)已知向量a= (2 , 4) , b= ( —1 , 1),则2a+ b 等于()A.(5 , 7)B.(5 , 9)C.(3 ,7)D.(3 , 9)2.(20i5 -全国I卷)已知点A(0 , i), B(3 , 2),向量AC= ( —4, —3),则向量BC=( )A.( —7,—4)B.(7 ,4)C.( —1,4)D.(i ,4)3.(20i6 -全国n卷)已知向量a= (m4) , b= (3 , —2)，且a / b,则m=4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺顶点A—i, —2),耳3 , —i) , C(5 , 6),则顶点D的坐标为考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(2014 •全国I卷)设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点，贝U EB+ F C= ( )A.ADB.[A DC.1B CD. BC >4【训练1】如图，已知AB= a , AC= b , BD= 3DC用a , b表示AD则AD= __ .a DC"考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a = (5 , 2) , b= ( —4, —3) , c= (x , y),若3a—2b+ c = 0,则c =( ) A.( —23 , —12) B.(23 , 12)C.(7 , 0)D.( —7 , 0)【训练2】(1)已知点A— 1 , 5)和向量a= (2, 3),若AB= 3a ,则点B的坐标为()A.(7 , 4)B.(7 , 14)C.(5 , 4)D.(5 , 14)⑵(2015 •江苏卷)已知向量a= (2 , 1), b= (1 , —2).若na+ nb= (9 , —8)( m n € R),则m—n的值为_________ .考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a= (1 , 2), b= ( — 2 , m,且a / b,贝U 2a+ 3b= ___________(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2 , 3) , B (4 , — 3)，点P 在线段AB 的延长线上，且| AFf =|| Bp ，则点P 的坐标为 ____________单位向量是()⑵若三点A (1 , - 5),政a , — 2) , q — 2, - 1)共线，则实数a 的值为 _____________ .第三部分 平面向量的数量积及其应用1. 平面向量数量积的有关概念⑴ 向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ,记O A a , O B- b ,则/ AOB- 0 (0 ° < 0 < 180°)叫做向量a 与b 的夹角.⑵ 数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为 0，则数量| a || b |cos 0叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a • b ,即a • b = | a || b |cos ___ 0,规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 • a = 0.⑶数量积几何意义：数量积a • b 等于a 的长度| a |与b 在a 的方向上的投影| b |cos 0的乘积. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2), 0为向量a , b 的夹角.⑴ 数量积：a • b = | a || b |cos 0 = X 1X 2+ y i y 2.(2) 模：| a | = , a • a = , x i + y i . 亠宀 a • bX 1X 2+ y i y 2(3) 夹角：C0S 0= 1 冲=——2222.丨 a ll b | 寸x i + y i •寸X 2 + y 2⑷ 两非零向量 a 丄b 的充要条件：a • b = 0? X 1X 2+ y i y 2= 0.(5)| a • b | <| a || b |(当且仅当 a // b 时等号成立)？ | X 1X 2+ yyl w 寸x ；+ y ： • p x 2+ y 2. 3. 平面向量数量积的运算律：(1) a - b = b • a (交换律).(2)入a • b = X (a • b ) = a •(入b )(结合律).(3)( a + b ) - c = a - c + b - c (分配律). 【基础练习】1. (2015 •全国 n 卷)向量 a = (1 , — 1), b = ( — 1, 2)，则(2a + b ) - a 等于( )A. — 1B.0C.1D.22. (2017 •湖州模拟)已知向量a , b ,其中|a | = 3, | b | = 2，且(a — b )丄a ，则向量a 和b 的 夹角是 ________ .2 n3. (2016 •石家庄模拟)已知平面向量a , b 的夹角为, |a | = 2,|b | = 1，则| a + b | = ________ .【训练3】 (1)(2017 •浙江三市十二校联考)已知点A (1 , 3) , B (4 , — 1)，则与AB 同方向的3-4-- D4 - 53 - 5-3 - 5 -4 -4 - 5-3 - 5A35. (必修4P104例1改编)已知I a| = 5, | b| = 4, a与b的夹角0 = 120°,则向量b在向量a方向上的投影为 _________ .6. _______________________________________ (2017 •瑞安一中检测)已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 a = (1 , 2) , |b | = 1, 且a + b 与a — 2b 垂直，则向量 a • b =； a 与b 的夹角0的余弦值为 ________________________________ .【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知) 【例1】(1)(2015 •四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形, 足B M= 3^C 6N = 2hf c 则 AM ・ NM 等于（ ） A.20B. 15C.9D.6⑵(2016 •天津卷)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点连接DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF • BC 的值为(【训练1】(1)(2017 •义乌市调研)在Rt △ ABC 中 , / A = 90° , AB= AC= 2,点D 为AC 的中 点，点E 满足1BE= 3B C 则尺E ・E3D= _____⑵(2017 •宁波质检)已有正方形 ABC 啲边长为1,点E 是AB 边上的动点，贝U 0E- CB 勺值为 ________ ； 6E - [5C 的最大值为 ______ . 考点二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2016 •全国n 卷)已知向量a = (1 , m ) , b = (3 , — 2),且(a + b )丄b ,则 作( )A. — 8B. — 6C.6D.8⑵ 若向量a = (k , 3), b = (1 , 4), c = (2, 1),已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取值 范围是_______________ .【训练2】(1)(2016 •全国川卷)已知向量BA= 1 ,右3 , BC= , 2 ,则/ ABC=()A.30 °B.45 °C.60°D.120°2 2 2(2)(2016 •全国I 卷)设向量 a = (m 1) , b = (1 , 2),且 |a + b | = | a | + | b | ,贝 Um ^ .考点三平面向量的模及其应用n【例3】(2017 •云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于—,若|a | = 2 , | b | = 3,则 |2a — 3b | =()| AB = 6, |AD | = 4，若点 M N 满D, E 分别是边AB BC 的中点,11A . —8B.81。
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2018年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量(基础题）一、平面向量（共11题；共17分)1. （ 2分 ) （2018•卷Ⅰ)在中，AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则（）A。
B.C。
D.【答案】A【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】解： = ，故答案为：A。
【分析】以向量和为基底向量,由点E是AD的中点将向量表示为，再由点D 是BC的中点，将其表示为基底向量的线性表示形式。
2018年高考数学分类汇编：专题五平面向量
《2018年高考数学分类汇编》第五篇：平面向量一、选择题1．【2018全国一卷6】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu rA ．3144AB AC -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 2．【2018全国二卷4】已知向量，满足，，则 A ．4 B ．3 C ．2 D ．03.【2018北京卷6】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.【2018天津卷8】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为 A. 2116 B. 32 C. 2516D. 3 5.【2018浙江卷9】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A1BC ．2D ．2二、填空题 1．【2018全国三卷13】已知向量，，．若，则________．2．【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=uu u r uu u r ，则点A 的横坐标为 ．3.【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=的两个动点，且|EF uu v |=2，则AE uu u v ·BF uu v 的最小值为______[参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.A5.A二、填空题 1.212.33.3。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)
二、填空
1．（2018 北京文）设向量 a 1,0 ， b 1, m ，若 a ma b ，则 m _________．
1．【答案】 1
【解析】 Q a 1,0 ， b 1,m ，ma b m,0 1,m m 1, m ， 由 a ma b 得， a ma b 0 ，a ma b m 1 0 ，即 m 1．
21
(A)
16
3
25
(B)
(C)
2
16
(D) 3
3．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则
A
0,
1 2
，
B
3 2
,
0
，
C
0,
3 2
，
D
3 2
,
0
，
点
E
在
CD
上，则
DE
DC
0
1
，设
E
x,
y
，则：
x
3 2
,
y
3 2
,
3 2
，即
x
3 2
y
3 2
3 2
，
据此可得 E
解则答b 2：设4ee
(1, b3
0)
，b 0
x
(
2
x,
y) y2
，
4x
3
0
(x 2)2
y2
1
如图所示， a
OA， b
OB ，（其中
A 为射线 OA 上动点， B 为圆 C 上动点， AOx
.）
3
∴ a b CD 1 3 1.（其中 CD OA .）
min
2．（2018 天津文）在如图的平面图形中，
2018年全国高考文科数学分类汇编----平面向量
2018年全国高考文科数学分类汇编——平面向量1.（浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）AA．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．2. （天津）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）CA．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．3. （上海）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为 ﹣3 ． 【解答】解：根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴； ∴a=b +2，或b=a +2； 且； ∴； 当a=b +2时，； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为； ∴的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．4. （全国3卷）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=________．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2）， ∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案为：．5. （全国2卷）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（ ）B A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B ． 6. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）AA ．﹣B ．﹣C ．+D ．+【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，=﹣=﹣ =﹣×（+）=﹣，故选：A ．7.（江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．8. （北京）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m﹣），则m=﹣1．【解答】解：向量=（1，0），=（﹣1，m）．m﹣=（m+1，﹣m）．∵⊥（m﹣），∴m+1=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．。
研究院[全国]2018高考真题理分类汇编——三角函数与平面向量教师版.docx
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2018高考真题分类汇编——三角函数与平面向量1.（2018北京·理）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件1.B2.（2018北京·理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 2.233.（2018全国I·理）在中，为边上的中线，为的中点，则（ ） A ．B ．C ．D ．3.A4.（2018全国II·理）已知向量，满足，，则（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．04.B5.（2018全国II·理）在中，，，，则（ ） A ．BCD ．5.A6.（2018全国II·理）若在是减函数，则的最大值是（ ） A ． B ．C ．D ．6.AABC △AD BC E AD EB =u u u r3144AB AC -u u ur u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144AB AC +u u u r u u u r 1344AB AC +u u ur u u u r a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π7.（2018全国II·理）已知，，则__________． 7.8.（2018全国III·理）若，则（ ） A ．B ．C ．D ．8.B9.（2018全国III·理）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）A ．B ．C ．D ．9.C10.（2018全国III·理）已知向量，，．若，则________．10.11．（2018全国III·理）函数在的零点个数为________．11.312.（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．12.π6-13.（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ， 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为 ▲ ．13.43sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=12-1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=12()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，14.（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． 14.-315.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ） A1BC ．2D ．215.A16.（2018浙江）在⊥ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ，b =2，A =60°， 则sin B =___________，c =___________．17.（2018天津·理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） (A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 17.A18.（2018天津·理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为（ ）(A)2116(B)32(C)2516(D) 318.A19.（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为 ．19.-320.（2018北京·理）（本小题满分13分） 在⊥ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （1）求⊥A ；（2）求AC 边上的高．20.【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC ．21.（2018全国I·理）（本小题满分12分）在平面四边形中，，，，. （1）求；（2）若，求.21.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以. （2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得 . 所以.22.（2018江苏）（本小题共14分） 已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 22.【解析】（1）因为，，所以． 因为，所以，因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为， 因此．因为，所以，因此，．ABCD 90ADC ∠=o45A ∠=o2AB =5BD =cos ADB ∠DC =BC ABD △sin sin BD ABA ADB=∠∠52sin 45sin ADB=︒∠sin 5ADB ∠=90ADB ∠<︒cos ADB ∠==cos sin 5BDC ADB ∠=∠=BCD △2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=5BC =4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+23.（2018浙江）（本小题13分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 23.【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.24.（2018天津·理）（本小题共13分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值. 24.【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由 πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=25.（2018上海）（本小题14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．25.【解析】（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣.。
2018年高考题和高考模拟题数学(理)——专题05立体几何分类汇编(解析版)
5．立体几何1．【2018年XX卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.2．【2018年XX卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.3．【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.学/科-网+4．【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以与其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.5．【2018年全国卷Ⅲ理】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D.【答案】B详解：如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，，，,点M为三角形ABC的重心，，中，有，，，故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。
2018年高考数学全国试题集附答案
（8）设集合 A {( x, y ) | x y 1, ax y 4, x ay 2}, 则 （A）对任意实数 a， (2,1) A （C）当且仅当 a<0 时， （2，1） A （B）对任意实数 a， （2，1） A （D）当且仅当 a
3 时， （2，1） A 2
10． 1 2 14． 3 1 ；2
11．
2 3
Байду номын сангаас12．3
∵B∈（
π π π ，π），∴A∈（0， ），∴∠A= ． 2 2 3 3 1 1 4 3 3 3 = ． ( ) 2 7 2 7 14
（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= 如图所示，在△ABC 中，∵sinC= ∴AC 边上的高为
假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ） 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部， 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ k 1 ”表 示第 k 类电影得到人们喜欢， “ k 0 ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4， 5，6） ．写出方差 D1 ， D 2 ， D3 ， D 4 ， D5 ， D 6 的大小关系．
1 1 ，则当 x∈( ，2)时，f ′(x)<0； 2 a
当 x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0． 所以 f (x)<0 在 x=2 处取得极小值． 若 a≤
3 3 ． 2
h 3 3 3 3 ，∴h= BC sin C = 7 ， BC 14 2
高考数学真题及解析-2018年江苏省高考数学试卷
2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，成立的n的最小值为．则使得S n＞12a n+1二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．2018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x ∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合=0求得a值得答案．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n成立的n的最小值为27．+1【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32．S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32．S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，故答案为：27．【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【分析】（1）由⇒AB∥平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．=（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；θ=时总产值y最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得．，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．即可【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长．【解答】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以OC⊥CP．因为圆O的半径为2，，所以BO=OC=2，，所以，所以∠COP=60°，所以△COB为等边三角形，所以BC=BO=2．【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【分析】（1）矩阵A=，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A﹣1．（2）设P（x，y），通过•=，求出=，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）矩阵A=，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=．（2）设P（x，y），则•=，所以=A﹣1=，因此点P的坐标为（3，﹣1）．【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，∴，．|cos|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q（）∴，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos|==，∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．26．设n ∈N *，对1，2，……，n 的一个排列i 1i 2……i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称（i s ，i t ）是排列i 1i 2……i n 的一个逆序，排列i 1i 2……i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n （k ）为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求f 3（2），f 4（2）的值；（2）求f n （2）（n ≥5）的表达式（用n 表示）．【分析】（1）由题意直接求得f 3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f 4（2）的值；（2）对一般的n （n ≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n （1）=n ﹣1．为计算f n +1（2），当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f n +1（2）=f n （2）+f n （1）+f n （0）=f n （2）+n ，则当n ≥5时，f n （2）=[f n （2）﹣f n ﹣1（2）]+[f n ﹣1（2）﹣f n ﹣2（2）]+…+[f 5（2）﹣f 4（2）]+f 4（2），则f n （2）（n ≥5）的表达式可求．【解答】解：（1）记μ（abc ）为排列abc 得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。
2018年高考试题：向量
2018年高考试题：向量2018年高考数学新课标Ⅰ卷文科第7题理科第6题:在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ） A.4143- B.4341- C.4143+ D.4341+ 本题解答：D 是BC 的中点AC AB AC AB CB DB 2121)(2121-=-==⇒。
E 为AD 的中点)2121(212121212AC AB AB DB AB EB DB AB EB -⋅+=+=⇒+=⇒ AC AB AC AB AB 4143414121-=-+=。
2018年高考数学新课标Ⅱ卷文科第4题理科第4题:已知向量，满足1||=，1-=⋅，则=-⋅)2(（ ）A.4B.3C.2D.0 本题解答：312)1(12||22)2(222=+=--⨯=⋅-=⋅-=-⋅b a a b a a b a a 。
2018年高考数学新课标Ⅲ卷文科第13题理科第13题：已知向量)2,1(=，)2,2(-=，),1(λ=。
若)2//(+，则=λ 。
本题解答：)2,4()2,2()4,2()2,2()2,1(22=-+=-+=+b a ，),1(λ=c ，)2//(b a c +21124=⇒⨯=⇒λλ。
2018年高考文科数学北京卷第9题：设向量)0,1(=a ，),1(m b -=，若)(b a m a -⊥，则=m 。
本题解答：00)()(2=⋅-⇒=-⋅⇒-⊥m m m ，100112=⨯+⨯=a ，10)1(1-=⨯+-⨯=⋅m b a 10)1(-=⇒=--⇒m m 。
2018年高考理科数学北京卷第6题：设，均为单位向量，则“|3||3|+=-”是“⊥”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 本题解答：证明充分性：2222)3()3(|3||3||3||3|+=-⇒+=-⇒+=-16191961||6||9||96||699622222222++⨯=⨯+-⇒++=+-⇒++=+-⇒ ⊥⇒=⇒=-⇒=-⇒001266。
2018年高考真题理科数学分类汇编专题3三角与向量
专题3三角与向量（2018全国1卷）6. 在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. （2018全国2卷）4. 已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：（2018全国2卷）6. 在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（2018全国2卷）10. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1). (2)周期 (3)由求对称轴， (4)由求增区间;由求减区间.（2018全国3卷）4. 若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。
详解：故答案为B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题。
（2018全国3卷）9. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。
详解：由题可知m 所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。
2018年高考数学真题专题汇编----向量
2018年高考数学真题专题汇编----向量一、填空题1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择）1.充分必要2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（-1,m ）,若()m aa b ，则m=_________. 2．-13.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB _________. （用,AB AC 表示）3．3144AB AC 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1a ，1a b，则(2)a a b _________. 4．35.（全国卷III 理13．已知向量=1,2a ，=2,2b ，=1,λc ．若2∥c a +b ，则________．5.126.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ，AD CD ，120BAD ，1AB AD . 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE uu u r uu u r 的最小值为_________.6. 21167.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ,2,2,BM MA CN NA 则·BC OM 的值为_________.7.68.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2-4e ·b +3=0，则|a -b |的最小值是_________.8.3-19.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A ，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF ，则AE BF 的最小值为_________.9.-3。
2018高考试题分类汇编之向量[带答案解析]
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2017年11月08日187****5958的高中数学组卷一．选择题（共5小题）1．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•（+）的最小值是（ ）A ．﹣2B ．﹣C ．﹣D ．﹣12．设非零向量，满足|+|=|﹣|则（ ） A ．⊥ B ．||=||C ．∥D ．||＞||3．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3B ．2C ．D ．24．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=•，I 2=•，I 3=•，则（ ）A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 35．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二．填空题（共9小题）6．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ． 7．已知向量=（﹣1，2），=（m ，1），若向量+与垂直，则m= ． 8．已知向量=（﹣2，3），=（3，m ），且，则m= ．9．已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．10．已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．11．已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．12．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= ．13．在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．2017年11月08日187****5958的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．2．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用．3．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P 的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin （θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．4．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=•，I 2=•，I 3=•，则（ ）A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3 【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可． 【解答】解：∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2，∴∠AOB=∠COD ＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．5．（2017•北京）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．填空题（共9小题）6．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．7．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= 7 ．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．8．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m= 2 ．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．9．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=﹣3 ．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题．10．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．11．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为 6 ．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= 3 ．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P 在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x+y+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y），则有x2+y2=50，=（﹣12﹣x0，﹣y）•（﹣x，6﹣y）=（12+x）x﹣y（6﹣y）=12x+6y+x2+y2≤20，化为：12x0﹣6y+30≤0，即2x0﹣y+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y的关系式．。
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2018高考数学试题分类汇编—向量
一、填空题
1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要
2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.
2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示）
3．3144
AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b _________. 4．3
5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5.
12
6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116
7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则·
BC OM 的值为_________. 7.6-
8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·
b +3=0，则|a −b |的最小值是_________. 8.3−1
9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ⋅ 的最小值为_________.
9.-3。