广西高二高中数学期末考试带答案解析

广西高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，则（ ）
A ．{0，1}
B ．{0，1，2}
C ．{2，3}
D ．{1，2，3}
2.若复数（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A ．
B ．-1
C ．0
D ．1
3.设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与的夹角为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4.已知，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431， 257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为 （ ） A ．0.25 B ．0.2 C ．0.35 D ．0.4
6.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为（ ）
A ．的值
B ．的值
C ．的值
D ．
的值
7.等差数列{a n }中，，{b n }为等比数列，且b 7=a 7，则b 6b 8的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．16
D ．8
8.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线从原点O 开始向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形（图中阴影部分）的面积为y ，若函数y=f(x)的大致图象如下右侧图，则平面图形的形状不可能是（ ）
9.定义在R 上的函数y=f(x)，满足，若x 1＜x 2且x 1+x 2＞1，则有( ) A ．f(x 1)＜f(x 2) B ．f(x 1)＞f(x 2) C ．f(x 1)=f(x 2)
D ．不能确定
10.已知点A(0，2)，抛物线的焦点为
，射线
与抛物线
相交于点
，与其准线相交于
点
，若
，则的值等于（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．4
11.某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.如图，已知双曲线
（
，
）的左右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=8，P 是双曲线右支上的一
点，直线PF 2与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
二、填空题
1.在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．
2.已知x,y 满足，则函数z = x+3y 的最大值是________.
3.如图所示
方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个， 允许重复．若填入A
方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有_______种（用数字作答）．
4.数列
的前n 项和为，，若，则
.
三、解答题
1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
（1）求角B 的大小； （2）若
，
,求b 的值．
2.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如
图）．
（1）求的值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
3.已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点.过点E 的平面α垂直于
平面SAC.
（1）请作出平面α 截四棱锥S-ABCD 的截面（只需作图并写出作法）； （2）当时，求二面角的大小.
4.已知F 1、F 2是椭圆
=" 1" (a > b > 0)的两个焦点，O 为坐标原点，点
在椭圆上，且
，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线： y=kx+m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A 、 B ．
（1） 求椭圆的标准方程； （2） 当
，且满足
时，求弦长|AB|的取值范围．
5.已知函数g(x)="aln" x ，f(x)=x 3 +x 2+bx ．
（1）若f(x)在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b 的范围；
（2）若对任意x ∈[1，e]，都有g(x)≥- x 2+（a+2）x 恒成立，求实数a 的取值范围；
6.已知函数． （1）当时，求不等式
的解集； （2）若
的解集包含
，求实数
的取值范围．
广西高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.已知集合，则（）
A．{0，1}B．{0，1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】由题意．故选D．
【考点】集合的运算．
2.若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）
A．B．-1C．0D．1
【答案】B
【解析】由题意，．故选B．
【考点】复数的概念．
3.设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，＝．故选C．【考点】向量的夹角、
4.已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】．故选D．
【考点】二倍角公式，同角关系．
5.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431， 257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该
运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（）
A．0.25B．0.2C．0.35D．0.4
【答案】D
【解析】观察20组模拟数，其中只含有“1，2，3，4”中的一个数字且只有一个的有8组，因此所求概率为．故选D．
【考点】古典概型．
6.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为（ ）
A ．的值
B ．的值
C ．的值
D ．
的值
【答案】C
【解析】程序运行中，的值依次为，，， ，
此时，输出，故选C ． 【考点】程序框图．
7.等差数列{a n }中，，{b n }为等比数列，且b 7=a 7，则b 6b 8的值为（ ） A ．4
B ．2
C ．16
D ．8
【答案】A 【解析】由于
是等差数列，所以
，所以
，
或
，又
是等比数列，所以
，
．故选A ．
【考点】等差数列与等比数列的性质．
8.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线从原点O 开始向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形（图中阴影部分）的面积为y ，若函数y=f(x)的大致图象如下右侧图，则平面图形的形状不可能是（ ）
【答案】C 【解析】因此
是对称图形，当图形是
时，函数
的图象应该关于
的那一点对称，只有C
没有这种对称性，而右侧函数的图象是有这种对称性的，故选C ．
【考点】函数的图象．
9.定义在R 上的函数y=f(x)，满足，若x 1＜x 2且x 1+x 2＞1，则有( ) A ．f(x 1)＜f(x 2) B ．f(x 1)＞f(x 2) C ．f(x 1)=f(x 2)
D ．不能确定
【答案】A 【解析】由
知函数
的图象关于直线
对称，由
知，当
时，
，
递增，当时，递减，当时，，若，则
由知，．综上．故选A．
【考点】函数的单调性．
10.已知点A(0，2)，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于（）
A．B．C．1D．4
【答案】D
【解析】如图，作与准线垂直且交点为，则，由题意，所以，所以，直线方程为，因此有，即，．故选D．
【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程．
11.某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意此四面体是棱长为的正四面体，其外接球半径为，所以
．故选B．
【考点】三视图，外接球，球体积．
【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：
（1）正四面体的内切球，如图. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数
据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可以利用体积桥证明）
（2） 正四面体的外接球，如图 5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；（可用正四面体高减去内
切球的半径得到）
12.如图，已知双曲线
（
，
）的左右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=8，P 是双曲线右支上的一
点，直线PF 2与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】由题意，如图，设另外两边上的切点为，则，，由对称
性知
，所以
，即
，所以
，即，，所以．故选C ．
【考点】双曲线的几何性质．
【名师点睛】在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．本题从双曲线的定义知
，而正好可以与的内切圆的切线长联系起来，从而是使解决问题显得简单轻松．
二、填空题
1.在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是．
【答案】15
【解析】展开式中的系数就是展开式中的系数，为．
【考点】二项式定理的应用．
2.已知x,y满足，则函数z = x+3y的最大值是________.
【答案】7
【解析】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，当直线向上平移时，增大，因此平移直线过点时，．
【考点】简单的线性规划问题．
3.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有_______种（用数字作答）．
【答案】27
【解析】方格所填数字有三种：；；，都有3种填法，因此共有种填法．
【考点】分步乘法原理．
【名师点睛】在应用两个原理求完成一件事情的方法总数时，一定要分清，做这件事是分类完成，还是分步完成，两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的．区别在于：(1)分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；(2)分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事．
4.数列的前n项和为，，若，则 .
【答案】－1
【解析】因为（1），当时，（2），（1）－（2）得：
（3），所以（4），（4）－（3）得
，所以，从而数列是等差数列．在（1）中令，得，即，设公差为，则，，所以
．
【考点】等差数列的综合运用．
【名师点睛】对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
三、解答题
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若，,求b的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）要求角，已知条件是边角混合的，因此可用正弦定理化边为角，即得，交叉相乘后利用两角和的正弦公式化简可得；（2）由（1）的结论选择面积公式可求得，再由余
弦定理可求得．
试题解析：（1）由正弦定理可得，代入已知得
即
即
∵∴
故，即
∵
∴，又
∴
（2）因为，∴ac=1
∴＝3
∴．
【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式．
2.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．
（1）求的值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】（1）由频率分布直方图知，所有小矩形面积（频率）之和为1，可求得；（2）由统计的知识，可知小球重量在内的概率为，因此随机变量，利用二项分布概率公式可计算出所有概率，从而得概
率分布表，再由期望公式可计算期望．
试题解析：（1）由题意，得，解得；
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，
则.的可能取值为、、、，
，，
，.
的分布列为：
.（或者
）．
【考点】频率分布直方图，随机变量频率分布列，数学期望．
3.已知四棱锥的底面是正方形，底面
，是上的任意一点.过点E 的平面α垂直于
平面SAC.
（1）请作出平面α 截四棱锥S-ABCD 的截面（只需作图并写出作法）； （2）当时，求二面角的大小. 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）设平面平面，由已知平面平面，因此平面与平面的交线必定与平面垂直，而平面中平面，因此有，反之只要有，则一定有平面，由此可得作法；（2）要求二面角，由于题中有相互垂直，因此可以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，设
，则可得出各点坐标，从而只要求得平面
和平面
的法向量
，由法向量夹角求得二面角． 试题解析：（1）在平面内任作一直线与平行，分别交于
，连接
，平面
即
为．
（2）证明：点为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设
由题意得，,
，又 设平面的法向量为，则
，令，则
，
， 设平面的法向量为，则
，令，则
设二面角
的平面角为
，则
.
显然二面角的平面角为为钝角，所以 即二面角的大小为
【考点】面面垂直的判断与性质，二面角．
【名师点睛】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
4.已知F 1、F 2是椭圆
=" 1" (a > b > 0)的两个焦点，O 为坐标原点，点
在椭圆上，且
，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线： y=kx+m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A 、 B ．
（1） 求椭圆的标准方程； （2） 当
，且满足
时，求弦长|AB|的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）要求椭圆标准方程，就要列出关于的两个方程，利用向量的数量积，由知，从而有，这是一个，另一个就是把点的坐标代入方程可得，联立可解得；（2）本小题是直线与椭圆相交问题，首先由直线与圆相切得出的关系：，然后
我们设交点为，把直线方程与椭圆方程联立，消元后得关于的二次方程，由得，由
韦达定理得，由数量积得，把上述代入再由可得的范围，同时弦长
，此式可表示为的函数，由刚才求得的的范围可得弦长范围．
试题解析：（1）由得，可得。

将点 P(－1,)代入椭圆方程得，又因为，联立解得，
故椭圆方程为．
（2）直线l ：y=kx+m与⊙O相切，则。

由得
因为直线与椭圆交于不同的两点A、 B．设
∴，
∴
∴
设，则，
在上单调递增，
∴．
【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆相交．
5.已知函数g(x)="aln" x，f(x)=x3 +x2+bx．
（1）若f(x)在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥- x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）已知条件在区间上不是单调函数，说明在上有零点，，因
此有在区间上最大值，最小值小于0，由二次函数的性质可得的范围；（2）不等式恒成立，求参数
范围问题，首先对不等式进行等价变形，不等式可变形为，在时，，从而可分离参数为，因此下面只要求得的最小值即可得的范围，这可由导数的知识
求得．
试题解析：（1）由
得因在区间[1，2]上不是单调函数
所以在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0
，∴．
（2）由，得．
，且等号不能同时取，，即
恒成立，即
令，求导得，
当时，，从而，
在上为增函数，，．
【考点】导数与函数的单调性，导数与函数的最值，不等式恒成立问题．
【名师点睛】(1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域；(2)不等式恒成立问题一
般都是转化为函数在区间上的最值问题，然后利用导数研究．
6.已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）本小题是解绝对值不等式，解绝对值不等式时可根据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化绝对值不
等式为一般的不等式，具体地是让每个绝对值等于0，解得值，这些值把实数分成若干段，然后在每一段中去
绝对值符号即可；（2）问题等价转化为不等式在上恒成立，从而不等式可变为
，即，由绝对值性质得，此不等式在上恒成立，易得的范围．试题解析：（1）当时，，即，
即或或
解得或．
所以解集为．
（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即．
【考点】绝对值不等式．。