函数零点题型扫描

ʏ杨丽丽
函数的零点是函数的重要性质,下面就函数零点的常见题型进行举例分析㊂
一㊁函数零点的判断
例1 下列函数中,是奇函数且存在零点的是( )
㊂A .y =|x | B .y =
2x 2
-3C .y =
x 3
-x D .y =
3
x
对于A ,y =|
x |是偶函数,不合题意㊂对于B ,y =2
x 2
-3是偶函数,不合题意㊂对于C ,y =x 3
-x 是
奇函数,且存在零点x =-1,0,1,适合题意㊂对于D ,y =3
x
是奇函数,但不存在零点,不合题意㊂应选C ㊂
评注:函数f (x )
零点的两种求法:代数法,求方程f (x )=0的实数根;
几何法,函数f (
x )的图像与x 轴的交点的横坐标㊂二㊁判断函数零点所在的区间
例2 在用二分法求方程x 3
-2x -1=0的
一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以判断该根所在的区间为( )
㊂A.1,75
B .75
,2 C .1,32
D .32,2
设f (x )=x 3
-2x -1
㊂已知一根在区间(1,2
)内,根据二分法的法则,取区间中点
3
2
㊂因为f (1)=-2<0,f
3
2
=278-4<0,f (2)=3>0,所以下一步可以判断该根所在的区间是3
2
,2
㊂应选D ㊂
评注:确定函数f (x )
零点所在区间的三种常用方法:解方程法,当对应方程f (x )=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上;利用函数零点存在性定理,先看函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图像是否连续,再看是否有f (a )㊃f (b )<0,若f (a )
㊃f (b )<0,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内必有零点;数形结合法,通过画函数图像,观察图像与x 轴在给定区间上是否有交点㊂三㊁函数零点个数的判断例3 已知函数f (x )=
3x
,x ɤ1
,l o g 13
x ,x >
1,
则
函数y =f (
x )+x -4的零点个数为( )㊂A.1
B .2
C .3
D .
4
函数y =f (
x )+x -4的零点个数,即函数y =-x +4与函
数y =f (x )的图像交点的个数㊂画出函数y =f (x )
与y =-x +4的图像,如图1所示
㊂
图1
由图可知,函数y =-x +4与函数y =
f (x )的图像有2个交点,故函数y =f (x )+x -4的零点个数为2
㊂应选B ㊂评注:判断函数零点个数的三种方法:方
程法,令f (x )=0,如果能求出方程的解,则有几个解就有几个零点;定理法,利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )㊃f (b )<0,还必须结合图像与性质(如单调性㊁奇偶性㊁周期性㊁对称性)才能确定函数有多少个零点;图像法,先画出对应的两个函数图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点㊂
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1知识结构与拓展
高一数学 2022年11月
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四㊁利用函数零点求参数的值
例4 函数f (x )=a x 2
-x -1仅有一
个零点,实数a 的值是
㊂
当a =0时,f (
x )=-x -1为一次函数,则有唯一的零点㊂
当a ʂ0时,函数f (x )=a x 2
-x -1为二
次函数,若只有一个零点,则a x 2
-x -1=0仅
有一个实数根,所以Δ=1+4a =0
,即a =-14
㊂综上所述,函数f (x )=a x 2
-x -1仅有一个零点,实数a =0或a =-1
4
㊂例5
已知函数
f (
x )=e x
-a ,x ɤ0
,2x -a ,x >0
(a ɪR ),若函数f (x )
在R 上有2个零点,则实数a 的取值范围是( )
㊂A.(0,1]
B .[1,+ɕ)
C .(0,1)
D .(-ɕ,1
]画出函数f (x )
的大致图像,如图2所示㊂
图2
因为函数f (x )
在R 上有2个零点,所以函数f (x )在(-ɕ,0]和(0,+ɕ)上各有一个零点㊂
当x ɤ0时,f (
x )有1个零点,需满足1-a ȡ0,即a ɤ1;当x >0时,f (x )有1个零点,需满足-a <0,即a >0㊂综上可得,0<a ɤ1,即实数a 的取值范围是(0,1
]㊂应选A ㊂评注:已知函数有零点(方程有根)求参
数值的常用方法:(1
)先直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数的范围㊂(2
)先分离参数,转化为求函数值域问题㊂(3
)先对解析式变形,在同一坐标系中,画出函数图像,然后观察图像求解㊂
五㊁利用二分法求函数的零点例6 用二分法求方程x 2
-5=0的一
个近似解(精确度为0.1
)
㊂ 令函数f (x )=x 2
-5
㊂因为f (2.2)=2.22
-5=
-0.16<0,f (2.4)=2.42
-5=0.76>0,所以f (2.2)㊃f (2.4)<0㊂所以函数f (x )在区间(2.2,2.4)内有零点x 0㊂
取区间(2.2,2.4)的中点x 1=2.3
,则f (
2.3)=0.29>0㊂因为f (2.2)㊃f (2.3)<0,所以x 0ɪ(2.2,2.3
)㊂再取区间(2.2,2.3)的中点x 2=2.25
,则f (2.25)=0.0625>0㊂因为f (2.2)
㊃f (
2.25)<0,所以x 0ɪ(2.2,2.25)㊂因为|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以原方程的一个近似解可取为2.25
㊂评注:用二分法求函数零点的近似值的
四个步骤:定区间,找中点;中值计算两边看;同号丢,异号算,零点落在异号间;重复做,何时止,精确度上把关口㊂
六㊁二分法的实际应用
例7 在26枚崭新的金币中,
有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称
次就可以发现这枚假币
㊂
将26枚金币平均分成两
份,分别放在天平两端,则假币
一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,
若不平衡,则质量小的那一枚是假币㊂综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币㊂
评注:解答这类实际问题的关键在于二分法思想的应用㊂巧妙取中间,巧妙分析和缩小故障的区间,从而以最短的时间和最小的精力达到目的㊂
作者单位:河北新河中学
(责任编辑 郭正华)
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1 知识结构与拓展 高一数学 2022年11月
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