拉格朗日中值定理的两种证明(优选)word资料

拉格朗日中值定理的两种证明(优
选)word资料
拉格朗日中值定理的两种证明
罗萍
(重庆师范大学，重庆400047)
摘要：给出两种辅助函数的构造方法，运用罗尔定理，证明拉格朗日中值定理。

关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；辅助函数
拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。

理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。

一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。

怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。

罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。

拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2).
比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。

我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:
1.首先分析要证明的等式：我们令 (1)
则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。

由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2)
分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。

从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。

该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。

根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。

(∈)=O。

也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结
论
2.考虑函数
我们知道其导数为
且有 F(a)=F(b)=0.
作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。

根
据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’从而有结论成立.
参考文献
[]毕永青．拉格朗日中值定理的简单证明与应用
[J]，河南教育学院学报，2002(3)：13—14．
[2]杜明芳．拉格朗日中值定理证明方法的思考[J]上北京印刷学院学报，2002(2)：56-57．
[3]同济大学数学教研室主编，高等数学(第三版)
作者介绍：罗萍(1973～)，女，重庆铜梁人，重庆师范大学数计学院副教授，主要从事高等数学和金融系统分析方面的研究。

项目：重庆师范大学项目青年项目(07XLQ08)责任编辑：程鹏
计算机多媒体在教学中的作用
殷越蔡勇
(哈尔滨轻工业学校。

黑龙江哈尔滨150040)
摘要：21世纪，计算机多媒体在教学中的应用越来越重要，它起到的作用使教学人员和学生受益非浅。

关键词：多媒体，教学；学生
在现代化教学中，多媒体教学只是其中的一种的方式，教学人员可以通过自己设计的多媒体课件通过人机交互的方式帮助学生更好的完成各类学科的学习，由于多媒体课件图文并茂甚至还可以加载声频和视频信息所以整个教学过程摆脱了以前教室中“黑板白字’一的叙述加讲解的教学模式，形成了一种新的教学模式，由于计算机是人脑的延伸，是^脑思维活动的模拟，是对人类思维活动的结构、功能及其规律的把握，因此，其在教学上的运用十分有利于学生的发展，符合现代化教学规律的要求。

多媒体它是一种把文本、图形、形象、视频图像、动画和声言等运载信息的媒体集成在一起，并通过计算机综合处理和控制的一种信宫技术。

多媒体技术是信息领域的又一次革命，在教学上，它既能向学生快速提供丰富多彩的集图、文、声于一体的教学信息，又能为学生提供生动、友好，多样化的交互方式。

多媒体教学可产生优良的视听效果。

因为人的视觉、听觉是接收信息的主要渠道，获得的信息也最大。

多媒体教学有利于信息传递和学生对信息的接受、储存。

其特有的优势对学生产生一定强度的刺激，引起学生的注意。

如果没有注意，感知就不会产生强烈观察力。

而观察力是在感知过程中并以感知为基础形成起来的，离开了感知也就没有了观察。

利用多媒体的优势引^^胜，可以不断提高学生注意的品质，使学生心理活动处于积极状态。

以往的教学活动是由教师、学生、媒体三个要素构成的，缺一不可。

大多数教学媒体都具有直观性，但各有所长，也各所短。

传统教学媒体中有教师语言、课本、板书、实物、模型、挂图等，都具有一定的局限性。

而多媒体能使学生不由自
主地集中全部注意力，引起学生的浓厚兴趣，激发学生强烈的情感，从中获得直接、生动、形象的感性知识。

教师在授课过程中，恰当地选用教学媒体，能更好地把知识技能传授给学生，加快师生间的信息传递，优化教学过程，从而获得良好的教学效果。

在教学中常有—些宏观的自然现象、逝去的景色或者需长时间才能感知的事物，因受时间和空间的制约，无法让学生亲眼看见；一些微观的事物和微小的变化，无法通过仪器设备让学生进行观察，这些都是课堂教学难点。

多媒体的运用，为学生提供了形象生动、内容丰富、直观具体、感染力强的感陛认识材料，使学生看到了事物在运动、发展、变化。

真隋实感取代了凭空想象，难题无须多讲，“百闻不如一见”。

学生通过听、视、评、悟充分感知原先较为抽象的教学内容，适应了学生从具体到抽象的认识规律，从而保证了教学活动的顺利进行。

正因为多媒体是教学、教育发展的有效手段，因此，我校从98年开始，对教师在多个应用软件的使用上进行培训，如：通过对软件的学习，把它有利的运用到教学中去，对教学过程实行立体化设计。

这种设计既包含教学活动中教师、学生、教材、教育技术四要素之间的恰当定位；也体现了当前教改的核心，即教师角色的转变，学生地位的转变，教学过程的转变，媒体作用的转变。

多媒体可使教学过程立体化，可以改变以往教学过程设计的线性结构，能够直观显示整体课堂教学中四要素比重及其之间的正确关系，能够作为实施课堂教学的蓝图，能有效克服教学的随意性，有反馈功能，可以依据学生的反应作出相应的判断，为各学科各种类型的课堂教学模式的建立奠定基础。

总之，利用计算机多媒体进行教学，它的作用对个别教学具有重大意义，有利于因材施教。

浅谈风动潜孔锤冲击回转钻进在高精度、大口径的深孔中的应用刘华军余汝林
(深圳市广汇源水利勘测设计，广东深圳5l8O0)
摘要：梅州市金雁铜业公司玉水硫铜矿一28水平联接巷新增堵水墙工程设计采用牙轮回转钻进成孔，实践证明，牙轮回转钻进施工效率非常缓慢。

不能满足工期要求，采用风动潜孔锤冲击回转钻进，施工效率大大提高，钻孔垂直度也能满足设计要求。

关键词：风动潜孔锤冲击回转钻进；钻孔弯曲；应用
1．工程概况
梅州市金雁铜业公司玉水硫铜矿一28水平联接巷新增堵水墙工程，为在已密封的满水巷道中修建混凝土堵水墙。

设计采用从地面钻孔至巷道内。

再往巷道内灌注混凝土，然后压浆的施工方法。

水平联接巷由主巷和副巷组成。

断面规格约2．3m x 2．5m (宽x高)。

分别在主巷和副巷正中的地表各布置钻孔5个，孔间距为2．0m，共1O个钻孔，钻孔口径q)273mm。

孔深156．0m。

钻孔所在地质条件较为复杂，断层、裂隙发育，地层由上至下依次为：红色粘土，厚2～12m；深灰色坚硬辉绿岩，夹3～4层1～5m厚的软弱夹层，厚85～95m；灰白色坚硬石英砂岩，夹2～3层2～4m厚的软弱夹层，厚45～50m。

2．钻孔施工方案及施工工艺的选择
2．1施工方案由于
场地地质条件复杂，断层、裂隙发育。

岩层软硬相问，钻孔极易弯曲。

高精度、大口径的深孔施工是该工程的首要难题。

为了节约工期和施工成本，经研究决定钻孔施工分两级进行。

先用 136mm 口径的钻头施工140ram 口径的导向孔命中巷道，再用265mm 口径的带导向头的钻头进行273mm 口径钻孔的扩孔。

2．2施工工艺
原设计采用牙轮回转钻进施工钻孔，实践证明，牙轮回转钻进在坚硬岩层中进尺十分缓慢，前40m，平均每天进尺4m，而且越往下施工越缓慢。

施工效率无法满足工期要求。

后改用风动潜孔锤冲击回转钻进，施工效率大大提高，前100m，平均进尺速度可达8m／h。

正常情况下，两天可施工一个导向孔，三天可完成一个扩孔。

施工效率能满足工期要求。

选用设备：钻机一Ds一600液压回转钻机(带动力头)；冲击器一DH一260 (导向孔用DH一130)；空压机一xRHS506(排气量：30m~／mln，工作压力：2．2Mpa)；钻头一136mm、 265mm球齿形全面钻进式合金钻头 136mm。

3．钻孔弯曲的预防措施
由于场地地质条件复杂，岩层破碎，多软弱夹层，钻孔极易弯曲。

前期施工了8个导向孔都偏离了巷道。

既造成了经济损失又耽误了工期。

通过细致分析钻孔弯曲原因，采取有针对性的钻孔弯曲预防措施，取得很好的效果。

具体措施如下：
3．1开孔前垫平钻机，用经纬仪校正钻机动力头和钻杆的垂直度，并在钻进过程中经常进行校核。

3．2下正孔口套管，且套管底设在完整微风化岩层2m以下，这一步极为关键。

孔口套管不仅有护壁作用，还有导正钻孔的作用。

根据测斜资料显示，钻孔前50m弯曲强度偏大的主要原因是孔口套管安放不直。

安放套管时采用经纬仪、锤线反复校正后，用冲击器将套管缓慢振压入孔内。

导管安放后抽干孔内水，用锤线和手电筒进行复核，若发现套管倾斜，拔出套管重新安放。

一定保证套管100％的竖直。

3、3使用扶正器钻进，扶正器直径为138mm，长度4～12m (长度根据测斜资料选用)，减少钻具的偏倒空间。

3．4加强测斜，并根据测斜资料调整下一步钻进的技术措施。

一般每钻进40m测斜一次，在断层、裂隙发育的破碎层段及有软弱夹层位置，必须测斜。

若方位角偏向巷道(或向着预期的方向发展)采用长的扶正器；若方位角偏离巷道(或背向预期的方向发展)，则选用短的扶正器，或不用扶正器。

测斜仪采用武汉基深勘察仪器研究所出产的Cx一5测斜仪，其顶角精度为1分，方位角精度为1度。

经实践证明该测斜仪精度和准确性相当好，满足高精度钻孔的测斜要求。

其优点：精度高，准确性好，轻便快捷，无需使用测斜管，测斜成果可由程序自动计算，并能自动绘制钻孔地下位置图；缺点：其探头因碰撞，零点值很易改变，需经常校核。

3．5偏离巷道中心线布孔。

根据前期8个偏离巷道的钻孔的测斜资料，发现主巷钻孔向南偏，副巷钻孔向北偏。

根据这一规律，将主巷开孔孔位北移0．8—1．2m，副巷开孔孔位南移1．2—2．4m。

偏离巷道中心线布设的钻孔按照预期的弯曲规律，均命中巷道。

4．扩孔出现的问题及处理措施
4．1空压机排气量不够的解决措施随着扩孔的加深，排渣的环状空间越来越大，排渣越来越困难，岩渣不能随钻随排，孔底岩渣沉积过多，严重影响钻进效率。

解决办法：在空压机的排风口用高压风管连接1个或2个lm 的高压气罐(采用2个气罐时，气罐之问采用并联的方式连接)。

需要排渣时，停止钻进，关闭钻杆的进气阀，待气罐的压力表达到2．2Mpa时，打开钻杆进气阀，高压风通过钻杆冲入孔底带出岩渣。

一般连续排渣2—3次就可将孔底沉渣排除干净。

为了避免岩渣沉积过厚，引起埋钻事故，一般每钻1．5～2．0m，需排渣2—3次。

4．2高水压下冲击器不能冲击时的解决措施导向孔钻穿巷道顶板后，巷道内的水进入孔内，并从孔口溢出，孔内水位与地面相平。

当钻至130m左右孔深时。

由于孔底水压消耗了很大一部分风压。

根据下面公式，当到达冲击器内供冲击器冲击的压力小于冲击器的工作压力O．63Mpa时，冲击器不能冲击，进尺非常缓慢。

H1= H—HrH3= 2．2—0．002×145—1-3= O．61 Mpa< 0．63MpaH ：
可供冲击器工作的风力。

H：空压机的输出风压，2．2Mpa。

Hz：风压通过地面气管和钻杆的压力损失，O．002Mpa／m，钻杆130m，地面气管15m。

H ：需克服的孔底水压。

130m水压即l o3Mpa。

针对对这一问题，采用两台同型号的空压机并联接入两个并联的高压气罐内，再接入钻机，这大大提高了空压机输风压力，使得冲击器能正常工作，提高了钻进效率。

5．结论
5．1在岩层中钻进大口径钻孔，风动潜孔锤冲击回转钻进是首选的钻进工艺，其施工效率是一般钻进工艺的几倍，甚至几十倍。

5．2高精度钻孔施工，测斜工作是关键。

只有获得准确的测斜资料才能正确分析钻孔弯曲的原因及规律，以此采用下一步钻进的技术措施。

作者简介：刘华军，男，湖南永州人．主要从事高速公路工程、地质灾害防治工程施工及水利工程勘察设计。

责任编辑：程鹏
选自:黑龙江<<科技信息文化教育>>
拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。

理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。

一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。

怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。

罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。

拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2).
比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。

我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:
1.首先分析要证明的等式：我们令 (1)
则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。

由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2)
分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。

从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。

该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。

根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。

(∈)=O。

也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论
2.考虑函数
我们知道其导数为
且有 F(a)=F(b)=0.
作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。

根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。

）
证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。

设函数
P(x)满足
P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。

显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；
P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……
P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。

至此，多项的各项系数都已求出，得：
P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。

设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有
Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。

所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……
=Rn(n)(x.)=0。

根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）
/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里
ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ
1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续
使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x
之间。

但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。

综上可得，余项
Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。

一般来说展开函数时都是为了计算的
需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。

麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，
可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……
+f(n)(0)/n!?x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。

证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表
示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单
的形式即当x.=0时的特殊形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……
+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1)
由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。

麦克劳林展开式的应用：
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。

解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx ,
f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律。

分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1,
f(4)=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷
级数的形式了。

）
类似地，可以展开y=cosx。

2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。

解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。

3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）
证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确
切地说是麦克劳林级数证明的。

过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数
函数e^z，然后把各项中的z写成ix。

由于i的幂周期泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其
中f(n)是f的n阶导数]
泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：
1.佩亚诺(Peano)余项：
Rn(x) = o((x-a)^n)
2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
3.拉格朗日(Lagrange)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
4.柯西(Cauchy)余项：
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]
5.积分余项：
Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数]
也叫Cauchy中值定理。

设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g'(x)≠0(x∈(a,b)) 则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
成立
几何意义若令u=f(x),v=g(x)，这个形式可理解为参数方程，而
[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]则是连接参数曲线的端点斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x)表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。

当柯西中值定理中的g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

证明令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]
∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]
由罗尔定理知：存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0.
又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]
故f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0
即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
命题得证。

罗尔定理罗尔定理说明图片
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
其中a不等于b；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
罗尔定理的三个已知条件的直观意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.。