第四章级数7-8-19页PPT资料
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这样的级数叫k做0以z0为中心的幂级数
【收敛问题】
（1）达朗贝尔判别法
则
收敛
即（1）式a绝k 对(z收敛z0)k
n0
引入记号
limak1 a k
k
zz zz0 0k k1lki m aakk1
zz01
就可说 如
R lim ak 则幂级k 数（a1k）1绝对收敛
z z0 R
4
第四章 级数
(2)收敛半径
蜒 1 1 f( z ) d z 1 (a 0d z a 1 ( z z 0 ) d z a 2 ( z z 0 ) 2 d z L )
2 iC R 1 z
2 iC R 1z z
z
应用柯西公式得到
Ñ 1
1 f (z)dz f ()
2i CR1 z
1
2 i
a0
2 i
也称z为zn在 n 时候的极限
limzn z n
否则称 z n 是发散的。
1
第四章 级数
4.1.2 收敛级数 N 称s N 为 级数w n和 n 1
复数项级数收敛的充要条件
【一】柯西收敛判据
Np
对于任一给定的小正整数>0，必有N存在，使得当n>N时n，liNm1 w n
式中p为任意正整数
N
则称此级数是收敛的，即 s N w n
【二】绝对收敛
n 1
复数项级数各项的模组成的级数收敛
wn
un2 vn2
n1
n1
叫绝对收敛
原因：
z1z2 z1 z2
2
第四章 级数
【三】函数项级数
w k(z)w 1(z)w 2(z)Lw k(z)L
k 1
其余各项都是z的函数
如果在某个区域B上的所有点，级数都收敛
Ñ f(z)n 0(zz0)n21i C R1 f(z0)n1d
对上式利用导数形式的柯西公式，得到
Ñ f(n )(z 0 ) 2 n ! iL ( f( z 0 ) ) n 1 d a n f(n n )( ! z 0 ),z z 0 R
9
第四章 级数
定理：若f(z)在 |z-z0|<R内解析，那么它在该圆内的泰勒级数展开对 以z0为中心是唯一的。
叫在区域B上收敛
表述：
Np
nl iN m 1w n(z) , (nN(z) zB)
B
如果N跟z无关，就把级数叫做在B上一致收敛
如
lim
n 1
w n收( z敛)
叫区域B上绝对一致收敛
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第四章 级数
4.2 幂级数：
【概念】：如果级数各项都是幂级数，即
ak(zz0)k z0,ak都 是 复 常 数(1 )
第四章 级数
4.1 收敛序列和收敛级数： 定义：复数项级数
wk w1w2LwkL
k1
每一项 wk=uk+ivk
wk uk ivk
k1
k1
k1
复数项级数的收敛问题——两个实数项级数的收敛问题
4.1.1 收敛序列 z n
若对任意给定的>0，总存在正整数N，当n>N时， zn z
成立
则称复数序列 z n收 敛于复数Z，记为
定理： 设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内任意z点，函数可以展 开为幂级数
其中
f (z) an(zz0)n
n0
Ñ an21 i CR1 f(z0)n1df(nn )(!z0)
z
z0
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆（目的是为了避开级数在CR上边界发
散的问题）
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第四章 级数
证明： 根据柯西公式，对圆内任一点z，有
n0
在收敛圆内任取一点 ，取一个以z0为圆心的圆，
半径为R1，稍小于R
用有界函数 1 遍1 乘上式，z为边界上的点 2 i z
R1
R
Z0
11f(z )1(a 0 a 1 (z z 0 ) a 2 (z z 0 ) 2 L )
2iz 2iz z z
6
第四章 级数
这级数仍在CR1上一致收敛，可以沿CR1 逐项积分
应用：在同一点展开的两个泰勒级数相等，则可以逐项比较系数 由此可见，泰勒级数跟解析函数有着不可分的联系
证明：假定有别的的展开方式
f (z) cn(zz0)n n0
f (z) c0 c1 (z z0 ) c2 (z z0 )2 L
f (z0 ) c0
f (n) (z) n!cn n(n 1)L 2cn1(z z0 ) L f (n) (z0 ) n!cn (n 1, 2,L )
例子：
1 1z21z2z4z6L (z1 )
由上式可知，以z0为圆心，R为半径做一个圆,则幂级数在圆内部绝对收敛， 圆外发散,这个Hale Waihona Puke 叫做幂级数的收敛圆，R就叫收敛半径
至于收敛圆上（R＝1）各点，幂级数是否收敛，需要根据具体情况判断。
（3）根式判别法
如
limk
k
ak
zz0k
1
R
则（1）式绝对收敛
Z0
此时
R lim 1 a k k
k
结论：幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛
a1(
z0 )
a2 (
z0
)2
L
)
R1
R
Z0
an ( z0 )n n0
即幂级数的和可以表示为连续函数的回路积分，按照柯西公式导数法则，
必可以任意阶求导。
因为收敛圆的内部是单通区域，所以幂级数在收敛圆内可以逐项积分。
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第四章 级数
4.3 泰勒级数
任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，既然解析函数的任 意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展开为复变项的泰勒级数
z
z0
f(z)21iÑ CR1f(z)d
1 z ( z 0 )1 (z z 0 ) ( z 0 ) ( 1 1 ( (z z z 0 0 ) )) ( 1 z 0 )n 0 z z z 0 0 n n 0 ( (z z z 0 0 ) ) n n 1
z
z0
cn
f (n) (z0 ) 是唯一的 n!
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第四章 级数
例子： 求函数 f (z) 以ezz0＝0为中心的展开式
可直接利用公式
f(z)
n0
f nn(!z0)(zz0)n
由于 f(n)(z0)e可z0以直1接得到结果
注意：一个解析函数展开为级数形式，一定要注明成立的条件，即解析
函数只有在此收敛圆内才与展开级数等价
证明： R1是圆内任一点
lki m akak1R R1 1k k1lki m ak a1kR1 R 1R11
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第四章 级数
【三】幂级数“和函数”的性质
定理：幂级数
an (z 的z“0 )n和函数”f(z)在它的收敛圆内是解析的，且收
敛圆内可以逐级求n导0 ，逐次积分
证明：
f (z) an(zz0)n
【收敛问题】
（1）达朗贝尔判别法
则
收敛
即（1）式a绝k 对(z收敛z0)k
n0
引入记号
limak1 a k
k
zz zz0 0k k1lki m aakk1
zz01
就可说 如
R lim ak 则幂级k 数（a1k）1绝对收敛
z z0 R
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第四章 级数
(2)收敛半径
蜒 1 1 f( z ) d z 1 (a 0d z a 1 ( z z 0 ) d z a 2 ( z z 0 ) 2 d z L )
2 iC R 1 z
2 iC R 1z z
z
应用柯西公式得到
Ñ 1
1 f (z)dz f ()
2i CR1 z
1
2 i
a0
2 i
也称z为zn在 n 时候的极限
limzn z n
否则称 z n 是发散的。
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第四章 级数
4.1.2 收敛级数 N 称s N 为 级数w n和 n 1
复数项级数收敛的充要条件
【一】柯西收敛判据
Np
对于任一给定的小正整数>0，必有N存在，使得当n>N时n，liNm1 w n
式中p为任意正整数
N
则称此级数是收敛的，即 s N w n
【二】绝对收敛
n 1
复数项级数各项的模组成的级数收敛
wn
un2 vn2
n1
n1
叫绝对收敛
原因：
z1z2 z1 z2
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第四章 级数
【三】函数项级数
w k(z)w 1(z)w 2(z)Lw k(z)L
k 1
其余各项都是z的函数
如果在某个区域B上的所有点，级数都收敛
Ñ f(z)n 0(zz0)n21i C R1 f(z0)n1d
对上式利用导数形式的柯西公式，得到
Ñ f(n )(z 0 ) 2 n ! iL ( f( z 0 ) ) n 1 d a n f(n n )( ! z 0 ),z z 0 R
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第四章 级数
定理：若f(z)在 |z-z0|<R内解析，那么它在该圆内的泰勒级数展开对 以z0为中心是唯一的。
叫在区域B上收敛
表述：
Np
nl iN m 1w n(z) , (nN(z) zB)
B
如果N跟z无关，就把级数叫做在B上一致收敛
如
lim
n 1
w n收( z敛)
叫区域B上绝对一致收敛
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第四章 级数
4.2 幂级数：
【概念】：如果级数各项都是幂级数，即
ak(zz0)k z0,ak都 是 复 常 数(1 )
第四章 级数
4.1 收敛序列和收敛级数： 定义：复数项级数
wk w1w2LwkL
k1
每一项 wk=uk+ivk
wk uk ivk
k1
k1
k1
复数项级数的收敛问题——两个实数项级数的收敛问题
4.1.1 收敛序列 z n
若对任意给定的>0，总存在正整数N，当n>N时， zn z
成立
则称复数序列 z n收 敛于复数Z，记为
定理： 设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内任意z点，函数可以展 开为幂级数
其中
f (z) an(zz0)n
n0
Ñ an21 i CR1 f(z0)n1df(nn )(!z0)
z
z0
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆（目的是为了避开级数在CR上边界发
散的问题）
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第四章 级数
证明： 根据柯西公式，对圆内任一点z，有
n0
在收敛圆内任取一点 ，取一个以z0为圆心的圆，
半径为R1，稍小于R
用有界函数 1 遍1 乘上式，z为边界上的点 2 i z
R1
R
Z0
11f(z )1(a 0 a 1 (z z 0 ) a 2 (z z 0 ) 2 L )
2iz 2iz z z
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第四章 级数
这级数仍在CR1上一致收敛，可以沿CR1 逐项积分
应用：在同一点展开的两个泰勒级数相等，则可以逐项比较系数 由此可见，泰勒级数跟解析函数有着不可分的联系
证明：假定有别的的展开方式
f (z) cn(zz0)n n0
f (z) c0 c1 (z z0 ) c2 (z z0 )2 L
f (z0 ) c0
f (n) (z) n!cn n(n 1)L 2cn1(z z0 ) L f (n) (z0 ) n!cn (n 1, 2,L )
例子：
1 1z21z2z4z6L (z1 )
由上式可知，以z0为圆心，R为半径做一个圆,则幂级数在圆内部绝对收敛， 圆外发散,这个Hale Waihona Puke 叫做幂级数的收敛圆，R就叫收敛半径
至于收敛圆上（R＝1）各点，幂级数是否收敛，需要根据具体情况判断。
（3）根式判别法
如
limk
k
ak
zz0k
1
R
则（1）式绝对收敛
Z0
此时
R lim 1 a k k
k
结论：幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛
a1(
z0 )
a2 (
z0
)2
L
)
R1
R
Z0
an ( z0 )n n0
即幂级数的和可以表示为连续函数的回路积分，按照柯西公式导数法则，
必可以任意阶求导。
因为收敛圆的内部是单通区域，所以幂级数在收敛圆内可以逐项积分。
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第四章 级数
4.3 泰勒级数
任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，既然解析函数的任 意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展开为复变项的泰勒级数
z
z0
f(z)21iÑ CR1f(z)d
1 z ( z 0 )1 (z z 0 ) ( z 0 ) ( 1 1 ( (z z z 0 0 ) )) ( 1 z 0 )n 0 z z z 0 0 n n 0 ( (z z z 0 0 ) ) n n 1
z
z0
cn
f (n) (z0 ) 是唯一的 n!
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第四章 级数
例子： 求函数 f (z) 以ezz0＝0为中心的展开式
可直接利用公式
f(z)
n0
f nn(!z0)(zz0)n
由于 f(n)(z0)e可z0以直1接得到结果
注意：一个解析函数展开为级数形式，一定要注明成立的条件，即解析
函数只有在此收敛圆内才与展开级数等价
证明： R1是圆内任一点
lki m akak1R R1 1k k1lki m ak a1kR1 R 1R11
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第四章 级数
【三】幂级数“和函数”的性质
定理：幂级数
an (z 的z“0 )n和函数”f(z)在它的收敛圆内是解析的，且收
敛圆内可以逐级求n导0 ，逐次积分
证明：
f (z) an(zz0)n