排列组合题加导数

解决排列组合问题的常用技巧与策略
解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。

其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。

加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。

分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。

以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。

（一）特殊元素的“优先安排法”
例1：0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
（三）合理分类与准确分步
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类
标准明确，分布层次清楚，不重不漏．
例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有
（四）相邻问题：捆绑法
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

例3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
（五）不相邻问题用“插空法”
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）.
例4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
例5：马路上有编号为1,2,3,9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
（六）顺序固定问题用“除法”或选位不排或先定后插
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数
除以这几个元素之间的全排列数。

或先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元
素进行排列。

也可先放好顺序一定元素，再一一插入其它元素。

例6：5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
（七）“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。

例7:四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？
（八）分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．
例8：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法．
(九)逐步试验法
如果题中附加条件增多,直接解决困难,用试验法寻找规律有时也是行之有效的方法．
例9：将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格内，每个方格填一个，
则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

（十）探索规律法
对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决。

例10：从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于100，则不同的取法种数有种。

（十一）“住店”问题
解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。

把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。

例11：7名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是种。

（十二）特征分析法
有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求解。

例12：由1,2,3,4,5,6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？
（十三）相同元素进盒，用档板分隔
例13：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。

（十四）个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
例14：15个相同的球放入编号为1,2,3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？
（十五）不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆
再排入。

例15：5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？
（十六）两类元素的排列，用组合选位法
例16：10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？
例17：沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？
例18：从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？
练习题：
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）
A. 150种
B. 147种
C. 144种
D. 141种
++=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，例7. 已知直线ax by c
并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？
例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？
1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种B．10种
C．18种 D．20种
C．6 D．7
2．从1,3,5, 7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
3．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )
A．18个 B．15个
C．12个 D．9个
4．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有不同的放法( )
A．15种 B．18种
C．19种 D．21种
5．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )
A．288种 B．144种
C．72种 D．36种
6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
7．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．
8．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．
9.如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．
1.已知()f x 为R上的可导函数，且,x R ∀∈均有()f x f >′（x），则有 （ ）
A．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<>
B．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<<
C．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->> D ．2013
2013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->< 2. 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则2
12)(+<x x f 的解集为 A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-
<x x x 或
D. {}
1>x x
3.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当()()0,0x f x xf x '>+>（其中()f x '是()f x 的导函数），设1122log 4log 4,,a f b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
115f g ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是 A.c a b >> B.c b a >> C.a b c >> D.a c b >>
4.我们常用以下方法求形如)()(x g x f y =的函数的导数：先两边同取自然对数得：)(ln )(ln x f x g y =，再两边
同时求导得到：)(')
(1)()(ln )('1'x f x f x g x f x g y y ⋅⋅+=⋅，于是得到：
)](')
(1)()(ln )('[)(')(x f x f x g x f x g x f y x g ⋅⋅+=，运用此方法求得函数x x y 1=的一个单调递增区间是 A.（e ，4） B.（3，6） C （0，e ） D.（2，3）
5.若a>0,b>0,且函数224)(23---=bx ax x x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值（）
A.2
B.3
C.6
D.9
6.函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，'()2f x >,则()24f x x >+的解集为( )
A.(-1，1)
B.(-1，+∞)
C.(-∞，-l)
D.(-∞,+∞)
7.若函数(1)4a x y e x -=+（x ∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是 （ ）
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．1
3a >- D ．13
a <-
8. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式
1)
1()1(>-+-+q p q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
9．已知函数3()3()f x x ax x =-∈R ．
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的极小值；
（Ⅱ）若直线0x y m ++=对任意的m ∈R 都不是．．．曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围.
10.已知函數f(x)＝lnx ＋mx 2（m ∈R ）
(I)求函数f(x)的单调区间；
(II)若A ，B 是函数f （x ）图象上不同的两点，且直线AB 的斜率恒大于1，求实数m 的取值范围。

2.（本题12分）（Ⅰ）已知函数ax x x x f -+=ln )(2在)1,0(上是增函数,求a 的取值范围;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下,设1)(2--=x x ae e x g ，∈x []3ln ,0,求)(x g 的最小值.
11.设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)在x ∈[－1，1]内没有极值点，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a ∈[3,6]，不等式()1f x ≤在x ∈[－2,2]上恒成立，求m 的取值范围.。