2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用课件苏教版选修2_2

(1)求 a，b 的值，并确定 y 关于 x 的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为 1 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使店铺每日销售该商品所获利润 f(x)最大．( 7≈2.65) [解] (1)由题意：x＝2 时 y＝800，∴a＋b＝800， 又∵x＝3 时 y＝150，∴b＝300，可得 a＝500.
自主预习 探新知
1．导数的实际应用 导数在实际生活中有着广泛的应用，如_用__料__最__省__、_利__润__最__大__、 _效__率__最__高__等问题一般可以归结为函数的_最__值__问题，从而可用导数来 解决．
2．用导数解决实际生活问题的基本思路
思考：解决生活中优化问题应注意什么？ [提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定 义域． (2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查， 不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于 0，销售价为正数 等．
1．将一张 2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为 矩形，且其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦，沿 线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱， 设水箱的高为 x m，容积为 y m3.
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)x 取何值时，水箱的容积最大． [解] (1)由水箱的高为 x m， 得水箱底面的宽为(2－2x) m，长为6－22x＝(3－x) m. 故水箱的容积为 y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求 出此时包装盒的高与底面边长的比值． [思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和 “体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用 x 将等量关系中 的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6， 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)，
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)4ຫໍສະໝຸດ (4,6)f′(x)
＋
1．解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问 题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．解决导数在实际应用时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的 定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数 f(x)在 给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f′(x) ＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必 再与端点处的函数值进行比较．
∴y＝500x－32＋x3－001，1＜x≤4，
2

8x00－100，4＜x≤12.
(2)由题意： f(x)＝y(x－1)
500x－32x－1＋300，1＜x≤4， ＝2 8x00－100x－1，4＜x≤12， 当 1＜x≤4 时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200， f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一， 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确 书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点 使 f′(x)＝0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较， 也可以知道在这个点取得最大(小)值．
第1章 导数及其应用
1.4 导数在实际生活中的应用
学习目标
核心素养
1.能应用导数解决实际问题．(重点) 1.通过分析实际生活问题，建
2．审清题意，正确建立函数关系 立数学模型，培养数学建模
式．(难点)
素养．
3．忽视变量的实际意义，忽略函数 2．通过利用导数解决问题，
定义域．(易错点)
提升数学运算素养.
因此 h＝26546＝4(m)．]
3．某件商品的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 x 元出售， 可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
115 [利润为 S(x)＝(x－30)(200－x) ＝－x2＋230x－6 000， S′(x)＝－2x＋230， 由 S′(x)＝0，得 x＝115，这时利润达到最大．]
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏 本；②销量要大于 0，否则不会获利．
3．某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日 的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足： 当 1＜x≤4 时，y＝a(x－3)2＋x－b 1(a，b 为常数)；当 4＜x≤12 时，y ＝2 8x00－100.已知当销售价格为 2 元/千克时，每日可销售出该商品 800 千克；当销售价格为 3 元/千克时，每日可售出 150 千克．
2．做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱，所用材料最省时，它 的高为________m.
4 [设底面边长为 x m，高为 h m，则有 x2h＝256，所以 h＝2x526. 所用材料的面积设为 S m2，则有 S＝4x·h＋x2＝4x·2x526＋x2＝1 0x24＋ x2.S′＝2x－1 x0224，令 S′＝0，得 x＝8，
f(x)＝2
8x00－100(x－1)＝2
900－100x＋2 8x00≤2
900－400
7
≈1 840，
∴由 f′(x)<0，得53＜x＜3，f′(x)>0，得 1<x<53或 3<x≤4. ∴f(x)在1，53，(3,4)上递增，在53，3上递减， ∵f53＝8 0900＋450＜f(4)＝1 800， ∴当 x＝4 时 f(x)有最大值，f(4)＝1 800. 当 4＜x≤12 时，
0
－
f(x)
极大值 42
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最 大值点，
所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润 最大．
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入 －成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
【例 3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售 量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋ 10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数，已知销售价格为 5 元/千克时， 每日可售出该商品 11 千克．
(1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大．
[思路探究] (1)根据 x＝5 时，y＝11 求 a 的值． (2)把每日的利润表示为销售价格 x 的函数，用导数求最大值． [解] (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润
(2)由 y′＝6x2－16x＋6＝0，
解得 x＝4＋3
7(舍去)或 x＝4－3
7 .
因为
y ＝ 2x3 － 8x2 ＋ 6x(0<x<1) 在 0，4－3
7

内
单
调
递
增
，
在

4－

3
7，1内单调递减，

所以当 x 的值为4－3 7时，水箱的容积最大．
用料最省、成本(费用)最低问题 【例 2】 位于 A，B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如 图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何 处时，所需电线总长最短．
1．已知某生产厂家的年利润 y(单位： 万元)与年产量 x(单位：
万件)的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大
年利润的年产量为( )
A．7 万件
B．9 万件
C．11 万件
D．13 万件
B [设 y＝f(x)， 即 f(x)＝－13x3＋81x－234. 故 f′(x)＝－x2＋81.令 f′(x)＝0，即－x2＋81＝0， 解得 x＝9 或 x＝－9(舍去)． 当 0＜x＜9 时，f′(x)＞0，函数 y＝f(x)单调递增； 当 x＞9 时，f′(x)＜0，函数 y＝f(x)单调递减． 因此，当 x＝9 时，y＝f(x)取最大值． 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件．]
令 l′＝0，即 1＋x x2－ 1.523＋－x3－x2＝0， 解得 x＝1.2 或 x＝－6(舍去)． 因为在[0,3]上使 l′＝0 的点只有 x＝1.2， 所以根据实际意义，知 x＝1.2 就是我们所求的最小值点，即变压 器设在 DE 之间离点 D 的距离为 1.2 km 处时，所需电线总长最短．
[解] 设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值．
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)(0<x<30)， V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝20. 当 x∈(0,20)时，V′＞0；当 x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
2．甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速 度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速 度 v(千米/时)的函数关系是 P＝19 1200v4－1160v3＋15v.
(1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运 输成本的最小值．
利润最大、效率最高问题 [探究问题] 1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函 数在该点处取最值吗？ 提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处
取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值． 2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？ 提示：(1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[思路探究] 可设 CD＝x，则 CE＝3－x，利用勾股定理得出 AC，
BC 的长，从而构造出所需电线总长度的函数． [解] 设 CD＝x km，则 CE＝(3－x)km.
则所需电线总长
l＝AC＋BC＝ 1＋x2＋ 1.52＋3－x2(0≤x≤3)，
从而 l′＝
1＋x x2－
3－x 1.52＋3－x2.
[解] (1)Q＝P·40v0

＝19
1200v4－1610v3＋15v·40v0

＝19
1200v3－1610v2＋15·400
＝4v83－52v2＋6 000(0<v≤100)．
(2)Q′＝1v62 －5v， 令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80. 当 0<v<80 时，Q′<0； 当 80<v≤100 时，Q′>0， ∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且 Q 最小值＝Q(80)＝2 0300(元)．
合作探究 提素养
面积、体积的最值问题 【例 1】 请你设计一个包装盒，如图，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形， 再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形 成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰 直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x(cm)．