陕西省榆林市九年级(上)期末数学试卷

2016-2017学年陕西省榆林市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．tan45°的值为（）
A．1 B．C．2 D．
2．如图，是由一个圆柱和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（）
A．B． C．D．
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，要使它成为矩形，那么需要添加的条件可以是（）
A．AB=BC B．AB=AC C．AC=BD D．AC⊥BD
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0的一个根是x=4，则m的值为（）A．6 B．8 C．2 D．4
5．已知反比例函数y=（k≠0）的图象在其所在现象内，y的值随x的值的增大而增大，则反比例函数y=的图象在（）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限6．某体育场计划修建一个容积一定的长方体游泳池，若容积为V（m3），游泳池的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=（d＞0），则该函数
的图象大致是（）
A．B． C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，将△OCD放大得到△OAB，点C、D的坐标分别为（2，1）、（2，0），且△OCD与△OAB的面积之比为1：4，则点A的坐标为（）
A．（8，4） B．（8，2） C．（4，2） D．（4，8）
8．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是y=2x2﹣8x﹣1，则a+b+c的值为（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
9．某县政府2015年投资0.2亿元用于保障性房建设，计划到2017年投资保障性住房建设的资金为0.288亿元，如果从2015年到2017年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（）
A．50% B．40% C．30% D．20%
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若BD=8，DA=4，BE=6，则EC=．
12．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有140次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为个．
13．如图，在△ABC中，cosB=，sinC=，AC=10，则△ABC的面积为．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为P′，设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为．
三、解答题（共11小题，计78人，解答应写出过程）
15．解方程：2x2﹣4x﹣3=0．
16．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．
17．已知抛物线y=mx2+（m+3）x+3的顶点在x轴上，求m的值．
18．画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图．
19．如图，P是反比例函数y=图象上一点，PM∥x轴交y轴于点M，MP=2，点Q的坐标为（4，0），连接PO、PQ，△OPM的面积我3，求该反比例函数的表达式是△OPQ的面积．
20．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度，他们在C处仰望建筑物顶端A，测得仰角为45°，再往建筑物的方向前进3.8米到达D处，测得仰角
为50°，AB⊥CB，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
21．小芳和小琦玩抽水果卡片的游戏，有四张如图所示的水果卡片（其中两张草莓图片和两张梨图片，卡片背面完全相同）把背面朝上，洗匀放好，小芳从中随机抽取一张，不放回，小琦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张．若两人抽到同一种水果卡片，小芳获胜，否则，小琦获胜．
（1）用画画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）小芳获胜的概率是多少？
22．水果超市销售某种水果，其进价为6元/千克，根据市场预测，该水果每千克售价8元时，每星期能出售400千克，并且售价每上涨0.5元，其销售量将减少10千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过15元，若要使水果超市销售该种水果每星期能盈利2240元，那么该种水果的售价应定为多少元？
23．某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）．
小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6m，测得CF=1m，DH=2m，CD=8.4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？
24．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AF=BE；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AG⊥BE，交EB的延长线于点G，AG、DB的延长线交于点F，判断AF与BE的数量关系，并说明理由．
25．如图，抛物线y=ax2+bx与x轴交于点A（4，0），点B（1，3）在抛物线上，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动且在x轴下方，点N在x轴上运动，当以点M为直角顶点的△CMN为等腰直角三角形时，求出此时△CMN的面积．
2016-2017学年陕西省榆林市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．tan45°的值为（）
A．1 B．C．2 D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=×1=，
故选：B．
2．如图，是由一个圆柱和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（）
A．B． C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个有圆心的同心圆，
故选：A．
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，要使它成为矩形，那么需要添加的条件可以是（）
A．AB=BC B．AB=AC C．AC=BD D．AC⊥BD
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．【解答】解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：C．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0的一个根是x=4，则m的值为（）A．6 B．8 C．2 D．4
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=4代入方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x=4代入方程x2﹣4x+2m=0得8﹣16+2m=0，
解得m=4．
故选D．
5．已知反比例函数y=（k≠0）的图象在其所在现象内，y的值随x的值的增大而增大，则反比例函数y=的图象在（）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，进而可得图象在第二、四象限．
【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象在其所在现象内，y的值随x的值的增大而增大，
∴k＜0，
∴反比例函数y=的图象在第二、四象限，
故选：D．
6．某体育场计划修建一个容积一定的长方体游泳池，若容积为V（m3），游泳池的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=（d＞0），则该函数的图象大致是（）
A．B． C．D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】根据游泳池的体积=底面积×高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论．
【解答】解：由长方体泳池的体积公式知：V=Sd，
故游泳池的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=（d＞0），故选A．
7．如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，将△OCD放大得到△OAB，点C、D的坐标分别为（2，1）、（2，0），且△OCD与△OAB的面积之比为1：4，则点A的坐标为（）
A．（8，4） B．（8，2） C．（4，2） D．（4，8）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】由△OCD与△OAB的面积之比为1：4，△OCD∽△OAB，推出CD：AB=OD：OB=1：2，由C（2，1），D（2，0），推出OD=2，CD=1，
推出OB=4，AB=2，即可解决问题．
【解答】解：∵△OCD与△OAB的面积之比为1：4，△OCD∽△OAB，
∴CD：AB=OD：OB=1：2，
∵C（2，1），D（2，0），
∴OD=2，CD=1，
∴OB=4，AB=2，
∴A（4，2）．
8．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是y=2x2﹣8x﹣1，则a+b+c的值为（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】此题可以逆推：将函数y=2x2﹣8x﹣1=2（x﹣2）2﹣9的图象，先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线y=ax2+bx+c．
【解答】解：函数y=2x2﹣8x﹣1=2（x﹣2）2﹣9的图象，先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到：y=2（x﹣2+3）2﹣9+2=2（x+1）2﹣7，
所以ax2+bx+c=2x2+4x﹣5，
所以a=2，b=4，c=﹣5，
所以a+b+c=2+4﹣5=1．
故选：B．
9．某县政府2015年投资0.2亿元用于保障性房建设，计划到2017年投资保障性住房建设的资金为0.288亿元，如果从2015年到2017年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（）
A．50% B．40% C．30% D．20%
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2016年要投入资金是0.2（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年的资金投入0.2（1+x）（1+x），由此可列出方程0.2（1+x）2=0.288，求解即可．
【解答】解：设年增长率是x，根据题意可得：
0.2（1+x）2=0.288，
解得x1=﹣2.2（不合题意舍去），x2=0.2=20%．
故年增长率是20%．
故选：D．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线对称轴方程得到b=﹣2a，则3a+b=3a﹣2a=a，于是可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；利用抛物线与直线y=n﹣1有两个交点可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴x=﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，
∴b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a≠0，所以②错误；
∵点（﹣，y1）到直线x=1的距离比点（，y2）到直线x=1的距离大，
而抛物线开口向下，
∴y1＜y2，所以③正确；
∵x=1时，y有最大值为n，
∴抛物线与直线y=n﹣1有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若BD=8，DA=4，BE=6，则EC=3．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴=，
即=，
解得EC=3．
故答案为：3．
12．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有140次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为14个．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.7，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
【解答】解：因为共摸了200次球，发现有140次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为0.7，
所以估计这个口袋中红球的数量为20×0.7=14（个）．
故答案为14．
13．如图，在△ABC中，cosB=，sinC=，AC=10，则△ABC的面积为42．
【考点】解直角三角形．
【分析】过点A作AC⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度．
【解答】解：过点A作AC⊥BC于点D，
∵sinC=，
∴AD=AC•sinC=6，
∴由勾股定理可知：BC=8，
∵cosB=，
∴∠B=45°，
∴BD=AD=6，
∴BC=14
∴△ABC的面积为：BC•AD=×6×14=42
故答案为：42
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为P′，设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为4．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；菱形的性质．
【分析】连接PP′交CQ于D，根据菱形的对角线互相垂直平分可得PP′⊥CQ，CD=DQ，用t表示出CD，过点P作PO⊥AC于O，可得四边形CDPO是矩形，再判断出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠A=45°，从而得到△APO是等腰直角三角形，再用t表示出PO，然后根据矩形的对边相等列出方程求解即可．
【解答】解：解：如图，连接PP′交CQ于D，
∵四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥CQ，CD=DQ，
∵点Q的速度是每秒1cm，
∴CD=CQ=（12﹣t）cm，
过点P作PO⊥AC于O，
则四边形CDPO是矩形，
∴CD=PO，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴PO=AP，
∵点P的运动速度是每秒2cm，
∴PO=×2t=tcm，
∴（12﹣t）=t，
解得t=4，
故答案为4
三、解答题（共11小题，计78人，解答应写出过程）
15．解方程：2x2﹣4x﹣3=0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】公式法求解可得．
【解答】解：∵a=2，b=﹣4，c=﹣3，
∴△=16﹣4×2×（﹣3）=40＞0，
则x==．
16．如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．
【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．
【分析】结论：相似．根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
【解答】解：相似．理由如下：
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴∠ADF=∠EDC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴△DEC∽△ADF．
17．已知抛物线y=mx2+（m+3）x+3的顶点在x轴上，求m的值．
【考点】二次函数的性质．
【分析】由顶点在x轴上可知方程mx2+（m+3）x+3=0有两个相等的实数根，再利用判别式为0可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
∵y=mx2+（m+3）x+3的顶点在x轴上，
∴方程mx2+（m+3）x+3=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（m+3）2﹣12m=0，解得m=3．
18．画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图．
【考点】作图﹣三视图．
【分析】根据主视图为一个中间有一条横线的长方形；左视图为一个五边形；俯
视图为一个中间有一条横线的长方形；画图即可．
【解答】解：如图所示：
19．如图，P是反比例函数y=图象上一点，PM∥x轴交y轴于点M，MP=2，点Q的坐标为（4，0），连接PO、PQ，△OPM的面积我3，求该反比例函数的表达式是△OPQ的面积．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）此题只需根据反比例函数系数k的几何意义，由△OPM的面积确定出比例系数k的值即可；
（2）由PM=2得出点P的纵坐标，即△OPQ在OQ上的高，结合点Q的坐标为（4，0）可得答案．
【解答】解：设P（a，b），a＞0，b＞0，
∵PM∥x轴，
=ab=3，
∴S
△OPM
∴ab=6，
∵P是反比例函数y=图象上一点，
∴b=，即k=ab=6，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵MP=2，即P点的横坐标为2，
∴y==3，
=×4×3=6．
∴S
△OPQ
20．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度，他们在C处仰望建筑物顶端A，测得仰角为45°，再往建筑物的方向前进3.8米到达D处，测得仰角为50°，AB⊥CB，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC ﹣BD可得关于AB 的方程，解方程可得．
【解答】解：∵AB⊥BC，∠ACB=45°，
∴AB=CB，
∴AB=3.8+BD，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=，即tan50°==1.19，
∴BD=20，
∴AB=20+3.8=23.8米，
答：建筑物的高度是23.8米．
21．小芳和小琦玩抽水果卡片的游戏，有四张如图所示的水果卡片（其中两张草
莓图片和两张梨图片，卡片背面完全相同）把背面朝上，洗匀放好，小芳从中随机抽取一张，不放回，小琦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张．若两人抽到同一种水果卡片，小芳获胜，否则，小琦获胜．
（1）用画画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）小芳获胜的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）画树状图可展示所有12种等可能的结果数（用A、A、B、B分别表示两张草莓图片和两张梨图片）；
（2）找出两人抽到同一种水果卡片的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：（用A、A、B、B分别表示两张草莓图片和两张梨图片）
共有12种等可能的结果数；
（2）两人抽到同一种水果卡片的结果数为4，
所以小芳获胜的概率==．
22．水果超市销售某种水果，其进价为6元/千克，根据市场预测，该水果每千克售价8元时，每星期能出售400千克，并且售价每上涨0.5元，其销售量将减少10千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过15元，若要使水果超市销售该种水果每星期能盈利2240元，那么该种水果的售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设该种上涨x元，根据销售利润=销售数量×（售价﹣成本）列出方程并解答．
【解答】解：设该种上涨x元，根据题意可得
（8+x﹣6）=2240，
解得x1=6，x2=12，
∵该品牌粽子售价不能超过15元，6+8=14＜15，12+8=20＞15，
∴该种水果的售价应定为14元．
23．某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）．
小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6m，测得CF=1m，DH=2m，CD=8.4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：由题意可得：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH．
∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，
∴∠ABC=∠EFC=∠CHD=90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴=，即=．
∵∠ADB=∠GDH，∠ABC=∠GHD=90°，
∴△ABD∽△GHD，
∴=，即=，
解得BC=9.6m．
答：河宽BC是9.6m．
24．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AF=BE；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AG⊥BE，交EB的延长线于点G，AG、DB的延长线交于点F，判断AF与BE的数量关系，并说明理由．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据四边形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，所以∠FAO+∠AFO=90°，根据AG⊥BE，得到∠EAG+∠BEA=90°，∠AFO=∠BEA，又因为∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，
∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠FBG，
在△AFO与△BFO中，
，
∴△AFO≌△BFO，
∴AF=BE；
（2）结论：AF=BE．
理由：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°，
∴∠AFO=∠BEA，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴=，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴=tan60°=，
∴=，
∴AF=BE．
25．如图，抛物线y=ax2+bx与x轴交于点A（4，0），点B（1，3）在抛物线上，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动且在x轴下方，点N在x轴上运动，当以点M为直角顶点的△CMN为等腰直角三角形时，求出此时△CMN的面积．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用点C、B关于抛物线的对称轴对称确定出点C的坐标；
（2）利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论；
（3）先由等腰直角三角形的性质，判断出Rt△NHM≌Rt△MBC得出BC，BM，最后用面积公式求解即可．
【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得，，
∴，
∴抛物线y=﹣x2+4x，
设点C（c，3），
∴3=﹣c2+4c，
∴c=3或c=1（舍），
∴C（3，3）．
（2）如图1，
过点P作PD⊥BH，连接PH，
设P（m，﹣m2+4m），
∴BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，
=S△ABH+S△AHP﹣S△BHP
∴S
△ABP
=BH×AH+AH×HD﹣BH×PD
=×3×3+×3×（m2﹣4m）﹣×3×（m﹣1）
=m2﹣m+6，
∵△ABP的面积为6，
∴m2﹣m+6=6，
∴m=0（舍）或m=5，
∴P（5，﹣5）；
（3）如图2，
以点M为直角顶点的△CMN为等腰直角三角形，∴CM=MN，∠CMN=90°，
∴∠NMH+∠CMB=90°，
∵∠CMB+∠BCM=90°，
∴∠NMH=∠BCM，
在Rt△NHM和Rt△MBC中，，
∴Rt△NHM≌Rt△MBC（ASA），
∴MH=BC=2，BM=5，
根据勾股定理得，MC==，
=CM2=．
∴S
△CMN
2017年3月19日。