用mathematica估计世界人口增长情况

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——小学期作业
一、世界人口增长情况估计
【问题描述】
英国统计学家马尔萨斯在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年人口出生统计资料，发现了这样一个现象：人口出生率是一个常数。

在1798年他发表了《人口原理》一书，其中提出了闻名于世的Malthus 人口模型
年份人口（百万）
1961 2972
1962 3061
1963 3151
1964 3213
1965 3234
1966 3285
1967 3356
1968 3420
1969 3483
再用Logistic方程求解问题，把两者进行比较。

【问题分析】
根据马尔萨斯人口模型可以得到：dn=h*dt[其中，n表示人口数量，h
表示比例常数],解这个微分方程，可得：n=
n*E^(h*t),0n表示初始人
口数量。

下面用最小二乘法来逼近函数。

【问题求解】
(
n用c代替)
In[1]:=f1[x_]:=c*Exp[h*t];
In[2]:=a=h*Log[E];b=Log[c];
In[3]:=xy={{0,2972},{1,3061},{2,3151},{3,3214},{4,3234},{5,3285},{6 ,3356},{7,33420},{8,3483}};
In[4]:=m[a_,b_]:=Sum[(a*xy[[k,l]]+b-Log[10,xy[[k,2]]]^2,{k,1,9})];
In[5]:=Solve[{D[m[a,b],a]==0,D[m[a,b],b]==0},{h,c}]
运行结果为：
Out[5]:=[｛｛h->0.00807465,c->32.3936｝｝]
于是，可以得到人口函数f[t],并求出2020年的人口数目。

In[6]:=F[t_]:=3239.36*Exp[0.00807465t]
In[7]:=Solve[y-3239.39*Exp[0.00807465*60]= =0,y]
运行结果为：
Out[7]:=[｛｛y->5258.6｝｝]
所以该模型模拟的2020年时的人口为5258.6
下面我们作出函数图像与已给的数据进行比较。

In[8]:=data=Table[f[i],{i,0,10}]
In[9]:=t1=ListPlot[xy,PlotStyle->RGBColor[1,00]]
In[10]:=t2=ListPlot[data,PlotRange->{{0,10},{3200.00,3500.00}}];
In[11]:=Show[t1,t2]
运行得：
Out[11]:=[{3239.39,3265.65,3292.13,3318.82,3345.73,3372.85,3400.2,3 427.76,3455.55,3483,57,3511,81}]
根据Logistic方程：
f2[t_]:=a/((a/
n-b)*E^(-a*t)+b)
经过多次的与实际数据的逼近，可以得出经验数值a->0.06,b->10^(-5).于是作出逼近函数的点图并与实际数据进行比较：
In[12]:=a=0.06;b=10^(-5);c=2972;
In[13]:=data=Table[f2[t],{t,0.8}];
In[14]:=t3=ListPlot[data,PlotStyle->RGBColor[0,1,0]]
In[15]:=Show[t1,t3]
再求出Logistic方程与预期的2020年世界人口：
In[16]:=Solve[y-f[60]==0,y]
结果得：
Out[16]:=｛｛y->5837.49｝｝
即2020年世界人口为5837.49百万
比较两次运行结果
In[17]:=f1[t_]:=a/((a/c-b)*E^(-a*t)+b);
In[18]:=a=0.06;b=10^(-5);c=2972;
In[19]:=f2[t_]:=3239.39*Exp[0.00807465t];
In[20]:=w1=Plot[f1[t],{t,0,100},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]
In[21]:=w2=Plot[f2[t],{t,0,100},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]]
In[22]:=Show[w1,w2]
从上面的图像可以看出：在做近期预测时，马尔萨斯方程比较准确，但在长期预测中，马尔萨斯方程预测的结果越来越趋向于无穷大。

因为人口不可能无限制的增长下去，所以在长期预报中，显然Logistic 方程比马尔萨斯方程更加合理，世界人口将趋向于一个确定的值。