北仑区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

北仑区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（）
A．两个点B．四个点C．两条直线 D．四条直线
2．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）
A．6 B．5 C．3 D．4
x ，则输出的所有x的值的和为（）
3．执行如图所示的程序，若输入的3
A．243B．363C．729D．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力． 4． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）
A.4π
B.
C. 5π
D. 2π+
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算
能力．
5． 方程1x -=表示的曲线是（ ）
A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆 6． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧
7． 已知||=3，||=1，与的夹角为
，那么|﹣4|等于（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．13
8． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120
9． 曲线y=
在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A ．y=x ﹣2
B ．y=﹣3x+2
C ．y=2x ﹣3
D ．y=﹣2x+1
10．已知a=21.2，b=（﹣）﹣0.8，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a
11．在10
201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，含2
x 项的系数为（ ）
（A ）10 （ B ） 30 （C ） 45 （D ） 120
12．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．
13 B ．2
3
C ．1
D ．2 二、填空题
13．已知面积为的△ABC 中，∠A=若点D 为BC 边上的一点，且满足=，则当AD 取最小时，
BD 的长为 ．
14．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全 校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 .
15．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．
16．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．
17．不等式
的解为 ．
18．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为b ，若存在非零常数a ，使得（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1对一切n ∈N *都成立．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a ，b ，使得{S n }成等比数列？若存在，求出常数a ，b 的值，若不存在，请说明理由．
21．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
22．双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程
（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．
23．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；
（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．
24．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．
（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=，证明：PB∥平面EFG；
（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．
①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4；
②GH⊥PD．
北仑区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2
=0
则x 2
﹣4=0并且y 2
﹣4=0，
即，
解得：
，
，
，
，
得到4个点． 故选：B ．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．
2． 【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5， ∴a 4•a 5=2×5=10，
∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4 =4lg （a 4•a 5）=4lg10=4 故选：D ．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．
3． 【答案】D
【解析】当3x =时，y 是整数；当2
3x =时，y 是整数；依次类推可知当3(*)n
x n N =∈时，y 是整数，则
由31000n
x =≥，得7n ≥，所以输出的所有x 的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
4． 【答案】B
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：由方程1x -=2
2
1x -=，即22
(1)(1)1x y -++=，所
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.
考点：曲线的方程. 6． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：命题的真假. 7． 【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得
=||||cos ＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
=
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
8． 【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．
9． 【答案】D
【解析】解：y ′=（）′=，
∴k=y ′|x=1=﹣2．
l ：y+1=﹣2（x ﹣1），则y=﹣2x+1． 故选：D
10．【答案】A
【解析】解：∵b=（﹣）﹣0.8=20.8＜21.2
=a ，且b ＞1，
又c=2log 52=log 54＜1， ∴c ＜b ＜a ． 故选：A ．
11．【答案】C
【解析】因为1010
101
9102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2
x 项只能在
10(1)x +展开式中，即为2210C x ，系数为2
10
45.C =故选C ． 12．【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为1
12
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=
，选B ． 二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：AD 取最小时即AD ⊥BC 时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A （0，y ），C （﹣2x ，0），B （x ，0）（其中x ＞0），
则
=（﹣2x ，﹣y ），
=（x ，﹣y ），
∵△ABC 的面积为，
∴⇒
=18，
∵
=
cos
=9，
∴﹣2x 2+y 2
=9，
∵AD ⊥BC ，
∴S=••
=⇒xy=3
，
由得：x=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．
14．【答案】25
【解析】
考点：分层抽样方法．
15．【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】设
设，则
因为，
所以，所以
因此，存在唯一的点M ，使成立。

故答案为： 16．【答案】2- 【解析】1111]
试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=- 考点：利用函数性质求值
17．【答案】 {x|x ＞1或x ＜0} ．
【解析】解：
即
即x （x ﹣1）＞0 解得x ＞1或x ＜0
故答案为{x|x ＞1或x ＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解
以解集形式写出
18．【答案】或 【解析】
试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数是或． 考点：等差数列的性质．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出150a d +=，所以60a =是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个易错点．
三、解答题
19．【答案】（1）2或2）(1,0)
(0,3)-．
【解析】 试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；
（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．
试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-，
当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=，
当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.
（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，
又因为0x =时，//a b ，
所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.
考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．
【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b
a b ⋅>且,a b 不同
向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是
0a b a b ⋅<且,a b 不反向．
20．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为b ，
存在非零常数a ，使得（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1对一切n ∈N *都成立，
由题意得当n=1时，（1﹣a ）b=b ﹣a 2，∴a 2=ab=aa 1，
当n ≥2时，（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1，（1﹣a ）S n+1=b ﹣a n+1，
两式作差，得：a n+2=a •a n+1，n ≥2，
∴{a n }是首项为b ，公比为a 的等比数列，
∴．
（Ⅱ）当a=1时，S n =na 1=nb ，不合题意，
当a ≠1时，
，
若，即，
化简，得a=0，与题设矛盾，
故不存在非零常数a ，b ，使得{S n }成等比数列．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
由已知条件，
解得，，，
∴S=πrl+πr2=10π，
∴
22．【答案】
【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，
两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0，
∴=，
∵双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），
∴，
化简可得x2﹣2x﹣y2=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：y=k（x﹣2）
由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
，
所以（k2≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
联立①②得：k2+1=0无解
所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
23．【答案】
【解析】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，
∴sinA==，
∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，
∴cosC==，
∵0＜C＜π，
∴sinC==，
∴cos2C=2cos2C﹣1=，
∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣
∵0＜B＜π，
∴B=．
（II）∵=，
∴a==c，
∵a﹣c=﹣1，
∴a=，c=1，
∴S=acsinB=××1×=．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．
24．【答案】
【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点，
取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线，
∴PK∥GF，
∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG，
∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF，
∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG，
∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB，
又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG．
（2）解：连结PE，则PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD，
分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴P（0，0，），D（﹣1，4，0），
=（﹣1，4，﹣），∵P（0，0，），
D（﹣1，4，0），=（﹣1，4，﹣），
∵==（﹣，，﹣），
∴G（﹣，，），
设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4，
依题意得：，
∴x2＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）
又=（x+，y﹣，﹣），
∵GH⊥PD，∴，
∴﹣x﹣+4y﹣，即y=，（ii）
把（ii）代入（i），得：3x2﹣12x﹣44＞0，
解得x＞2+或x＜2﹣，
∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，
∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．。