数学分析中的几种证明方法探析

二 、几种证 明方法分析
（ 一 ）验证性证明
验证 性 证 明方 法 可 看是 演 绎性 证 明 方法 的一 种 形 式 ． 这种 证明 方 法主 要是 针对 与 “ 定 义 ”或公 式 法则 有关 的命 题 ，证 明 的关 键在 于 “ 验证 ” ． 有 关数 列极 限 、 函数极 限 、 函 数一 致连续 、
例２ ： 证明ｆ （ ｘ ） ＝√ 在 ［ １ ， ＋ ） 上一致连续．
证 明： 任 意 、 ∈ ［ １ ， ＋ ｏ 。 ） ， 有ｌ － 厂 （ ） 一 ／ （ ） Ｉ ＝ ｌ √ 一 ＿ Ｉ ＝
Ｖ 课例评点
教胄界 ／ Ｅ Ｄ Ｕ Ｃ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ Ｃ Ｉ Ｒ Ｃ Ｌ Ｅ
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２ ０ １ ７ 年 第３ １ 期（ 总 第２ ７ １ 期）
数学分析中的几种证明方法探析
肇庆 学院数 学与统 计 学 院 黄 民海
一
、
引言
数学 分 析 内容博 大精 深 ，逻
根据函数 致连续的定义 ，ｆ （ ｘ ） ＝√ 在 ［ １ ， ＋ ｏ 。 ） 上一致连续． 本题的证题方法也在于 “ 验证”函数 ｆ（ ｘ ） ＝／ ｘ在 ［ １ ， ＋ 。 。 ）
ｆ 』 厂 （ ｘ Ｗ ｘ 一 ２ ｔ ｆ ｆ （ ｘ ） ｇ （ ｘ ） ｄ ｘ ＋ 』 ｇ （ ≥ ０ ． 注意 到， 定积 分的 值
是 一个 确 定的 实数 ，因此 ，以上不 等 式左 边是 一 个关 于 ｔ 的二
次函数 ， 根据二次函数性质， 有△ ＝ ［ ２ ｆ ｌ 厂 （ ） ｇ （ ） ］ 一 ４ ｆ ， ｌ （ ） ｄ ｘ
本题的证题方法在于 “ 验证”数列 ｛ ÷ ） 以１ 为极限这一 十 ｌ
事实 ，即验 证其 满 足数 列 极限 的 “ ． Ⅳ ”定义 至于 在证 明过 程 中 是利 用分 析 演绎 法还 是利 用综 合 演绎 法 ，结 果都 是在 说 明
，
ｇ （ ） ］ 在 ［ 口 ， ｂ ］ 上 可 积，且有 Ｊ ［ （ ） 一 ｇ （ ） 】 ｄ ｘ≥ ０ ， 即
ｎ＞ 一１
．
因此 ，存在 正整 数 Ｎ ：［ 二一１ 】 ＋２，当 ， ２ ＞Ｎ 时 ，有
ｊ ） ． ｊ ）
：
证 明 ：根 据 定积 分 的性 质 ，对 任 意 实 数 ｔ ，函 数 （ ） 一
ｌ １ ｎ ＋ ｌ ｌ ～ ｌ ， 根 据“ ｓ － Ⅳ ” 定 义 ， 一 ～ ， ｌ 十 ｌ 得 证 ．
６ ＾ ＾
其 满 足数 列极 限 的 “ － Ⅳ ”定义 ，从 而证 明 了数列 ｛
为极 限
｝ 以１
ｆ ｇ ２ （ ｘ ） ｄ ｘ ０ ，因此［ ， ＿ （ ） ｇ （ ） ］ ， （ ｘ ） ｄ ｘ ｇ （ ｘ ） ｄ ｘ ．
本 题 的不 等 式是 著 名 的 许 瓦 兹 （ Ｓ ｃ ｈ ｗａ ｒ ｚ ）积 分 不 等 式 ， 证题 方 法引 用 了定积 分的 和差 性质 、乘积 性质 、积 分不 等 式几
一 — —
例３ ：设 ＝ｆ （ ｘ ， ） ， ＝ｒ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， Ｙ＝ｒ ｓ ｉ ｎ ０ ，证 明 ：
１ “
＋
１ ａ “
—
ａ “ ａ “
－ ＝ — ＋ —
。
多数学生对于命题证明的学习普遍感到艰难 ，作业中的命题证
明错 漏 百 出 因 此 ，如 何 教好 “ 命 题 证 明 ”是 一个 值 得研 究 的 课 题 数学 命 题 的证 明 方法 各 式 各样 ，许 多 学者 对 于 命题 证 明 方法 进 行 了很 有 意义 的 探索 ． 本文 仅 就数 学 分 析中 常 见 的几种 基本 证 明方 法— —验 证 性证 明 、引 用性 证 明 、构 造性 证 明和 反 证法 进行 深入 分析 ，并通 过例 证加 以说 明
函数可导性、函数列一致收敛等等方面的许多命题，都可以归 结为验证性证明．
． ． ．
本题的证题方法引用了连续函数的零点定理或称根的存在
一 ． 定理 ．
例１ ： 证 明
证 明 ： 任 意 正 数 ， 由 Ｉ ｌ ＝ ｌ ｌ ＝
１ １
可 得
例５ ： 若ｆ （ ｘ ） 与ｇ （ ｘ ） 在［ ａ ， ｂ ］ 可积，则［ ｆ ｆ （ ｘ ） ｇ （ ｘ ） ｄ ｘ ］ ≤
ｒ
ｒ ａ ｅ
本题的证题方法可以通过复合函数的求导公式和法则 ，计
算 几个 偏导 数来 证明 等式 成立 ，本质 也属 于 “ 验证”
（ 二 ）引用性证明
引 用性 证 明方 法 ，顾 名思 义 ，是 ～种 引 用定 理 、性质 或公
式 来 证明 命题 的方 法 在 数学 分 析中 ，这 种 证 明方 法 可谓 司空 见 惯 ，许多 性质 、定理 、法 则或 公 式的应 用命 题 ，都 可 以看作
是引用性证明． 这类命题证明的关键在于说明命题符 合引用的
条件 ，从 而得 到相 应 的结论 例４： 证明 方程 ｘ ＋３ ｘ一 ６＝０至少 有一个 实根 ．
证 明 ：显 然 ，函数 ｆ （ ｘ ） ＝Ｘ ＋３ ｘ 一６在 闭 区间 ［ 一 ｌ ， ２ ］ 上连 续 ，又 ＿ 厂 （ 一 １ ） ｆ（ ２ ） ＜０，根 据 根 的 存 在 定理 ，方 程 ｆ （ ｘ ） ＝０在 （ 一 １ ， ２ ） 上至少 有一个 根 ，即方程 Ｘ ＋ ３ ｘ 一 ６ ＝０ 至少有一 个实 根
上 满足 一致 连续 的定 义 ，证明 的过 程就在 于 “ 验证 ”
ａ２ ， ，
数 学分 析是 大 学数 学类 各 专业 非常 重 要的 一 门基础 课 ，是 进一 步 学 习后续 课 程必 备 的基 础
辑性与系统性很强 ，其中包含大量的命题证明 命题证明是数
学 分析 学 习 中 很 重 要 的 内容 ，一 直 是 数 学 分析 教 学 中 的难 点