解析几何(直通高考)-备战2018年高考之数学(文)解答题高分宝典含解析

专题05解析几何
1.（2017全国1卷文科20）设A ,B 为曲线C ：y =2
4
x 上两点，A
与B 的横坐标之和为4． (1）求直线AB 的斜率；
(2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．
设M （x 3，y 3)，由题设知3
12x =，解得3
2
x
=,于是M (2,1)．
设直线AB 的方程为y x m =+,故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=｜m +1｜． 将y x m =+代入2
4
x y =
得2
440
x
x m --=．
当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,2
221
x
m =±+
从而12||=
2|42(1)
AB x x m -=+．
由题设知||2||AB MN =，即42(1)2(1)
m m +=+,解得7m =．
所以直线AB 的方程为7y x =+．
2。

（2017全国2卷文科20）设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 2
2+
y 2=1
上，过M 作x 轴的垂线,垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

（1)求点P 的轨迹方程;
（2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于
OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

【解析】（1)设P （x ，y ），M （x 0,y 0），则N （x 0,0)，NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −x 0,y ),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0,y 0）
，
由NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得x 0=x ，y 0=√22
y . 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以x 2
2+y 2
2=1。

因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.
（2)由题意知F （−1,0)，设Q （−3，t ),P （m ,n ）,则
OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3，t)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−m ，−n)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m −tn ,
OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ，n)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（−3−m ，t −n ）。

由OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1得2
231m m tn n --+-=，又由（1）知m 2+n 2=2，故330m tn +-=.
所以OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 。

又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

3.（2017全国3卷文科20）在直角坐标系xOy 中，曲线2
2
y x
mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)。

当m 变化时，
解答下列问题：
（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

(2）BC 的中点坐标为（x 2
2，12）,可得BC 的中垂线方程为y −1
2
=x 2
（x −
x 22
）.
由（1）可得x 1+x 2=−m ,所以AB 的中垂线方程为x =−m 2.
联立{
x =−m
2，
y −1
2=x 2(x −
x 22
)，
又x 22
+mx 2−2=0，可得{
x =−
m
2，
y =−12，
所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（−m
2，−1
2)，半径r =√m 2+92
，
故圆在y 轴上截得的弦长为2√r 2−（m 2
）2=3,即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

4。

如图,已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ,过点G (p ，0）作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A （x 1，y 1），M （x 2，
y 2）．
(1)若y 1y 2＝－8,求抛物线C 的方程；
（2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点
B ，直线BG 交抛物线
C 于另一点N 。

求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．
（2）证明:设B(x3，y3），N(x4，y4)．
由（1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.
又直线AB的斜率k AB＝错误!＝错误!,
直线MN的斜率k MN＝错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2。

故直线AB与直线MN斜率之比为定值．
5。

已知椭圆C：9x2＋y2＝m2（m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B,线段AB的中点为M.（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点错误!，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【解析】（1)证明：设直线l：y＝kx＋b（k≠0,b≠0），A(x1, y1），B(x2，y2),M(x M，y M)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故x M＝错误!＝错误!，
y M＝kx M＋b＝错误!.
于是直线OM 的斜率k OM ＝错误!＝－错误!， 即k OM ·k ＝－9.
所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
由错误!得x 错误!＝错误!，即x P ＝错误! 。

将点错误!的坐标代入直线l 的方程得b ＝()33
m k -，
因此x M ＝
()()
239k k m k k -+。

四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M 。

于是错误!＝2×()()
2
39k k m k k -+,
解得k 1＝4－错误!，k 2＝4＋错误!。

因为k i 〉0，k i ≠3，i ＝1，2,所以当直线l 的斜率为4－错误!或4＋错误!时，四边形OAPB 为平行四边形．
6.椭圆E ：错误!＋错误!＝1(a >b 〉0)的离心率是错误!，点P （0，1)在短轴CD 上，且PC ·PD ＝－1. （1)求椭圆E 的标准方程；
（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值;若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b),（0，b)．
又点P的坐标为(0，1）,且PC·PD＝－1.，
于是错误!解得a＝2，b＝错误!.
所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1.
(2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为（x1,y1），(x2，y2)．
联立错误!得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝（4k）2＋8(2k2＋1）>0，
所以x1＋x2＝－错误!,x1x2＝－错误!。

从而，OA·OB＋λPA·PB
＝x1x2＋y1y2＋λ［x1x2＋(y1－1)(y2－1）]
＝(1＋λ)(1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2)＋1
＝错误!＝－错误!－λ－2。

所以,当λ＝1时,－错误!－λ－2＝－3.
7.已知圆2
2:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，
与y 轴正半轴相交于点B .
（1）若过点13,22C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
的直线l 被圆O 3求直线l 的方程；
（2)若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得2PA PO = （O
为坐标原点），求r 的取值范围；
(3)设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点,点M 关于原点的对称点为1
M ,点M 关于x 轴的对称点为2
M ,如果直线1
2
QM QM 、与y 轴分
别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由。

【解析】（1)①若直线l 的斜率不存在,则l 的方程为：12
x =，符
合题意.
②若直线l 的斜率存在,设l 的方程为：
312y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，即
2230kx y k --=.
∴点O 到直线l 的距离()()
22
3
22k d k -+=
+-
∵直线l 被圆O 截得的弦长为3，∴2
231
2d ⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴3
3
k =
，此时l 的方程为:310x y -+=， ∴所求直线l 的方程为12
x =或310x y -
+=，
（3）∵()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y ---。

∴直线1
QM 的方程为()21
1121
y y y y
x x x x ++=
++，
令0x =,则12
2112
x y
x y m x x -=+，同理可得12
21
12x y
x y n x x +=-。

∴()()2
2
12211221122122121212x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x --+=⋅=+--()()2222122122
12
111x x x x x x ---==-， ∴m n ⋅为定值1。