高考理科数学第一轮总复习课件12函数的图象
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(2)图象的变换是指⑦ 一个函数的图象经过 .
适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象 .
在高考中要求学生掌握的三种变换是： ⑧ 平移变换、对称变换和伸缩变换 .
3.常用函数图象变换的规律.
(1)平移变换：y=f(x)的图象向左(+)或 向 右 (-) 平 移 a(a>0) 个 单 位 长 度 得 到 函 数 y=f(x±a)的图象;y=f(x)的图象向上(+)或向 下 (-) 平 移 k(k>0) 个 单 位 长 度 得 到 函 数 y=f(x)±k.
由函数图象在每一点处的切线的倾斜角
都是递减的,知f (x2 ) < f (x1),得②正确；
x2
x1
作出 f (x1) f (x2) 与f( x1 x2 )对应的点发现,
③
也
正
2
确 .(
注
③
实
际2是
说
f(x)
是
“
凸
函
数”）.
故填①②③.
(2)由图象给出的信息得0，1，2是方程 f(x)=0的三个根，所以d=0. 设f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax， 知b=-3a. 再由f(x)的函数值的符号得a>0，所以 b<0.
(2)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如 图所示,则A( ) A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)
分析本题属于识图问题，通过对给出的
函数图象的分析、判断，抽象出函数所 具有的一些性质、满足的条件等.
(1) 由 图 象 给 出 信 息 得 f(x) 在 [0,1] 上 单调递增，故①正确；
(2)对称变换:y=f(x)与y=f(-x)的图象关于
⑨ y轴 对称：y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 ⑩ x轴 对称；y=f(x)与y=-f(-x)的图象关
于 11 原点 对称：y=|f(x)|的图象可将函数
y=f(x)的图象在12 x轴下方的部分以x轴为对.
称轴翻折到x轴上方 , 其 余 部 分 不 变 ； y=f(|x|)的图象可将函数y=f(x)的图象在x≥0 的部分作出,再用 13 偶函数的图象. 关
新课标高中一轮 总复习
理数
▪ 第二单元 ▪函 数
第12讲
函数的图象
掌 握 基 本 函 数 图 象 的 作 法 —— 描点法和图象变换法；会运用函数 图象，理解研究函数的性质；会看 图得到相关信息，即学会作图、识 图、用图.
1.函数y=
xax |x|
(0<a<1)的图象0.C,取.λx11<>λ02,<所0 以
D1.λx121<x1λ<1<01
x1
2
x1
.
整理得(λ1-λ2)x1>0,所以λ1>λ2>0.
学例2 (2009·安徽卷)设a<b，函数
y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( C )
f′(x)=(x-a)(3x-2b-a).
令f′(x)=0 (x-a)(3x-2b-a)=0，
4.函数f(x)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式是( C )
A.f(x)=x+sinx B.f(x)=cos x
x
C.f(x)=xcosx D.f(x)=2x·(x- )·(x-3 )
2
由图象关于原点对称，且在原点有定 义，故原函数为奇函数，且f(0)=0,排除B.又 观察图象f(- )=0，排除A、D.故选C.
2
5.方程lgx=sinx的实根有( C ) A.1个 B.２个 C.３个 D.无穷多个
在同一坐标下作出函数y=lgx和 y=sinx的图象，注意到lg10=1，由图象 易得原方程的实根个数是3.
1.基本函数的图象要熟记：一次函数、二次
函数、反比例函数、幂函数、指数函数、
对数函数、三角函数以及常用函数：
题型三 图象法的综合应用
例3 (1)(2010·安徽安庆三模)已知f(x)是定义
域为(-∞，0)∪(0,+∞)的奇函数,
在区间(0,+∞)上单调递增,f(x)的
图象如右图所示,若x·[f(x)-f(-x)]<0,
1 x2
则x的取值范围是
(-3,0)∪(0,3)
2
.
(2)(2010·山东东营二模)已知直线y=x+m与
点评 “由式作图”这是高考中常见的一类
的问题，解决这类问题主要是将解析式进行 化简，然后与一些熟知的函数图象相联系， 通过各种图象变换得到要求的函数图象.另外， 还要善于借助解析式，发现函数的性质（如 单调性、奇偶性、对称性、周期性等），以 此帮助分析函数的图象特征.其基本步骤：① 求出函数的定义域；②化简函数解析式；③ 讨论函数的性质；④利用基本函数的图象画 出所给函数的图象.
③当-3<a<-1时,由图可知,函数y=|x2-4x+3|与函 数y=x+a的图象有两个交点,不合题意,舍去.
④当a=-１时，由图可知，函数y=|x2-4x+3|与 函数y=x+a的图象有三个交点，符合题意.
3
若 方 程 -x2+4x-3=x+a 有4两 个 相 等 的 实 根 ， 即 x2-3x+3+a=0有两个相等的实根，此时
函数y=
的图象有两个不同的交点，
则实数m的取值范围是 1≤m< .
（1）因为f(x)为奇函数，所以x·[f(x)f(-x)]=2x·f(x)<0. 又 f(x) 在 定 义 域 上 的 图 象 如题图,所以取值范围为（-3,0）∪（0,3）. （2）因为函数y=1-x2的图 象如下图所示，由图可知
题型二 利用函数图象研究函数 性质 例2（ 1 ） 已 知 定 义 在 区 间 [0,1]
上的函数y=f(x)的图象如图所示， 对于满足0<x1<x2<1的任意x1、 x2，给出下列结论：
①f(x2)-f(x1)>x2-x1；
②x2f(x1)>x1f(x2)； ③f (x1) f (x2 ) <f(x1 x2 ). 其中正2 确的结论的2序号是 ① ② ③ .
函数y=x4 +a的图象有两个交点，不合题意， 舍去. 综上所述，实数a的取值范围是［-1,- 3］.
4
方法提炼
1.作函数图象的常用方法有描点法和变换法, 对前者,要注意对函数性质的研究;对后者， 要熟悉常见的函数图象及图象的变换法则.
2.“识图”问题,能根据给定的函数图象观察函 数的有关性质,如奇偶性、单调性、周期性、 最值或极值等.
Δ=9-4(3+a)=0，得a=- . ⑤当-1<a<- 3 时,由图可知，函数y=|x2-4x+3|
与函数y=x4+a的图象有四个交点，符合题意.
⑥函当数a=y-=x34+a的时图,由象图有可三知个,函交数点y,=符|x合2-题4x意+3.|与 ⑦当a>- 3 时,由图可知，函数y=|x2-4x+3|与
(4) 函 数 y=f(a+x) 与 y=f(a-x) 的 图 象 关 于15 x=0 .对称,y=f(a+x)与y=(b-x)的图象关 于 15 xb= a .对称.
2
典例精讲
题型一函数图象的变换
例1 作出下列函数的大致图象：
(1) y=|x-2|(x+1); (2) y= 2 x ；
x 1
(3) y=|lg|x||.
1≤m< 2 .
点评函数的图象的应用，主要体现在讨论方
程的解的个数问题、求不等式的解集、不等 式的恒成立等，注重数、形之间的转化.
备选题
若关于x的方程|x2-4x+3|-a=x至少有三 个不相等的实数根,试求实数a的取值范围.
分析原 方 程 重 新 整 理 为|x2-4x+3|=x+a,
将两边分别设成一个函数并作出它们的 图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围.
3.“用图”问题，由于函数的图象提供了形的 直观性，因而为灵活利用图象处理有关不 等式、方程的解的个数、求参数范围等问 题提供了有力的工具.
走进高考
学例1 (2009·湖南卷)如图，当
参数λ=λ1,λ2时，连续函数y=
x
(x≥01)的 x图象分别对应曲线C1 和C2，则( ) B
A.0<因λ1为<1λ+2λx>0,且B.函0<数λ2为<λ连1 续函数,所以
得x1=a，x2=2b a .
3
因为a<b，所以a<
2b
a
<b，所以x1<x2.
f′(x)>0 x> 2b 或a x3<a，
3
f′(x)<0 a<x< 2b .a
3
函数的大致图象为如右.
本节完，谢谢聆听
-ax(x<0)(0<a<1)，选D.
2.下列函数图象中，正确的是( C )
对A、B,由y=x+a,知a>1,可知A、B 图象不正确;对D,由y=x+a知0<a<1,所以 y=logax应为减函数，D错，故选C.
3.函数y= 1 的图象大致是(B )
x 1
1 x 1
1
由函数y= x 的图象向左平 移一个单位长度可得.
y= 个单
位2x长=1x 度x，3,因1向此下由平y移= 一个的3x 单图位象长向度左即平可移得一
到函数y= 2 的x 图象.对分子、分母都是一次 的分式函数，x 它1的图
象特点是有一个对称中
心,有两条渐近线,可通
过分离常数的方法求解，
如图乙.
(3) 函 数 的 定 义 域 是 {x|x≠0 ， x∈R} ， 先 作 y=lgx关于y轴对称的图象，得到y=lg(-x)， 共同组成y=lg|x|的图象，再将x轴下方的图 象翻折到x轴上方，即得到y=|lg|x||的图象， 如图丙.0
原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,于是， 设 y=|x2-4x+3|,y=x+a ， 在 同 一 坐 标 系 下 分 别作出它们的图象,如右图.
①当a<-3时，由图可知，
函数y=|x2-4x+3|与函数
y=x+a的图象无交点,不
合题意，舍去.
②当a=-3时，由图可知，函数y=|x2-4x+3|与 函数y=x+a的图象只有一个交点，不合题意， 舍去.
分析 这几个函数的图象均可由最基本
的函数图象经过几种变换得到.
(1)函数的定义域为实数集R,
( x- 1 )2- 9 (x≥２)
y=｜x-2｜(x+1)=
24
-(x- 1)2+ 9 (x<2)，
24
由二次函数的图象经过变换作出其图象,
如图甲.
(2)函数的定义域为{x|x∈R,且x≠-１}，因为函数
ya=x b ,y=x+a .(图象略)
cx d
x
2.函数图象的基本作法有两种:①
描点法
和
② 图象变换法 .
(1)描点法作图的基本步骤是：③ 列表 、 ④ 描点、⑤ 连线.画函数图象时有时也可利用 函数的性质如⑥ 单调性、奇偶性、对称性. 、
周期性等 以及图象上的特殊点、线（如对 称轴、渐近线等）
于y轴对称 ,作出x<0的图象.
(3)伸缩变换:y=kf(x)(k>0)的图象可将函 数y=f(x)的图象上所有点14 纵坐标变为原来的 .
k倍，横坐标不变 的 而 得 到 .y=f(ωx)(ω>0) 的
图 象 可 将 函 数 y=f(x) 的 图 象 上 所 有 点 的 15横坐标变为原来的 1 ,纵坐标不变.得到.
适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象 .
在高考中要求学生掌握的三种变换是： ⑧ 平移变换、对称变换和伸缩变换 .
3.常用函数图象变换的规律.
(1)平移变换：y=f(x)的图象向左(+)或 向 右 (-) 平 移 a(a>0) 个 单 位 长 度 得 到 函 数 y=f(x±a)的图象;y=f(x)的图象向上(+)或向 下 (-) 平 移 k(k>0) 个 单 位 长 度 得 到 函 数 y=f(x)±k.
由函数图象在每一点处的切线的倾斜角
都是递减的,知f (x2 ) < f (x1),得②正确；
x2
x1
作出 f (x1) f (x2) 与f( x1 x2 )对应的点发现,
③
也
正
2
确 .(
注
③
实
际2是
说
f(x)
是
“
凸
函
数”）.
故填①②③.
(2)由图象给出的信息得0，1，2是方程 f(x)=0的三个根，所以d=0. 设f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax， 知b=-3a. 再由f(x)的函数值的符号得a>0，所以 b<0.
(2)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如 图所示,则A( ) A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)
分析本题属于识图问题，通过对给出的
函数图象的分析、判断，抽象出函数所 具有的一些性质、满足的条件等.
(1) 由 图 象 给 出 信 息 得 f(x) 在 [0,1] 上 单调递增，故①正确；
(2)对称变换:y=f(x)与y=f(-x)的图象关于
⑨ y轴 对称：y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 ⑩ x轴 对称；y=f(x)与y=-f(-x)的图象关
于 11 原点 对称：y=|f(x)|的图象可将函数
y=f(x)的图象在12 x轴下方的部分以x轴为对.
称轴翻折到x轴上方 , 其 余 部 分 不 变 ； y=f(|x|)的图象可将函数y=f(x)的图象在x≥0 的部分作出,再用 13 偶函数的图象. 关
新课标高中一轮 总复习
理数
▪ 第二单元 ▪函 数
第12讲
函数的图象
掌 握 基 本 函 数 图 象 的 作 法 —— 描点法和图象变换法；会运用函数 图象，理解研究函数的性质；会看 图得到相关信息，即学会作图、识 图、用图.
1.函数y=
xax |x|
(0<a<1)的图象0.C,取.λx11<>λ02,<所0 以
D1.λx121<x1λ<1<01
x1
2
x1
.
整理得(λ1-λ2)x1>0,所以λ1>λ2>0.
学例2 (2009·安徽卷)设a<b，函数
y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( C )
f′(x)=(x-a)(3x-2b-a).
令f′(x)=0 (x-a)(3x-2b-a)=0，
4.函数f(x)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式是( C )
A.f(x)=x+sinx B.f(x)=cos x
x
C.f(x)=xcosx D.f(x)=2x·(x- )·(x-3 )
2
由图象关于原点对称，且在原点有定 义，故原函数为奇函数，且f(0)=0,排除B.又 观察图象f(- )=0，排除A、D.故选C.
2
5.方程lgx=sinx的实根有( C ) A.1个 B.２个 C.３个 D.无穷多个
在同一坐标下作出函数y=lgx和 y=sinx的图象，注意到lg10=1，由图象 易得原方程的实根个数是3.
1.基本函数的图象要熟记：一次函数、二次
函数、反比例函数、幂函数、指数函数、
对数函数、三角函数以及常用函数：
题型三 图象法的综合应用
例3 (1)(2010·安徽安庆三模)已知f(x)是定义
域为(-∞，0)∪(0,+∞)的奇函数,
在区间(0,+∞)上单调递增,f(x)的
图象如右图所示,若x·[f(x)-f(-x)]<0,
1 x2
则x的取值范围是
(-3,0)∪(0,3)
2
.
(2)(2010·山东东营二模)已知直线y=x+m与
点评 “由式作图”这是高考中常见的一类
的问题，解决这类问题主要是将解析式进行 化简，然后与一些熟知的函数图象相联系， 通过各种图象变换得到要求的函数图象.另外， 还要善于借助解析式，发现函数的性质（如 单调性、奇偶性、对称性、周期性等），以 此帮助分析函数的图象特征.其基本步骤：① 求出函数的定义域；②化简函数解析式；③ 讨论函数的性质；④利用基本函数的图象画 出所给函数的图象.
③当-3<a<-1时,由图可知,函数y=|x2-4x+3|与函 数y=x+a的图象有两个交点,不合题意,舍去.
④当a=-１时，由图可知，函数y=|x2-4x+3|与 函数y=x+a的图象有三个交点，符合题意.
3
若 方 程 -x2+4x-3=x+a 有4两 个 相 等 的 实 根 ， 即 x2-3x+3+a=0有两个相等的实根，此时
函数y=
的图象有两个不同的交点，
则实数m的取值范围是 1≤m< .
（1）因为f(x)为奇函数，所以x·[f(x)f(-x)]=2x·f(x)<0. 又 f(x) 在 定 义 域 上 的 图 象 如题图,所以取值范围为（-3,0）∪（0,3）. （2）因为函数y=1-x2的图 象如下图所示，由图可知
题型二 利用函数图象研究函数 性质 例2（ 1 ） 已 知 定 义 在 区 间 [0,1]
上的函数y=f(x)的图象如图所示， 对于满足0<x1<x2<1的任意x1、 x2，给出下列结论：
①f(x2)-f(x1)>x2-x1；
②x2f(x1)>x1f(x2)； ③f (x1) f (x2 ) <f(x1 x2 ). 其中正2 确的结论的2序号是 ① ② ③ .
函数y=x4 +a的图象有两个交点，不合题意， 舍去. 综上所述，实数a的取值范围是［-1,- 3］.
4
方法提炼
1.作函数图象的常用方法有描点法和变换法, 对前者,要注意对函数性质的研究;对后者， 要熟悉常见的函数图象及图象的变换法则.
2.“识图”问题,能根据给定的函数图象观察函 数的有关性质,如奇偶性、单调性、周期性、 最值或极值等.
Δ=9-4(3+a)=0，得a=- . ⑤当-1<a<- 3 时,由图可知，函数y=|x2-4x+3|
与函数y=x4+a的图象有四个交点，符合题意.
⑥函当数a=y-=x34+a的时图,由象图有可三知个,函交数点y,=符|x合2-题4x意+3.|与 ⑦当a>- 3 时,由图可知，函数y=|x2-4x+3|与
(4) 函 数 y=f(a+x) 与 y=f(a-x) 的 图 象 关 于15 x=0 .对称,y=f(a+x)与y=(b-x)的图象关 于 15 xb= a .对称.
2
典例精讲
题型一函数图象的变换
例1 作出下列函数的大致图象：
(1) y=|x-2|(x+1); (2) y= 2 x ；
x 1
(3) y=|lg|x||.
1≤m< 2 .
点评函数的图象的应用，主要体现在讨论方
程的解的个数问题、求不等式的解集、不等 式的恒成立等，注重数、形之间的转化.
备选题
若关于x的方程|x2-4x+3|-a=x至少有三 个不相等的实数根,试求实数a的取值范围.
分析原 方 程 重 新 整 理 为|x2-4x+3|=x+a,
将两边分别设成一个函数并作出它们的 图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围.
3.“用图”问题，由于函数的图象提供了形的 直观性，因而为灵活利用图象处理有关不 等式、方程的解的个数、求参数范围等问 题提供了有力的工具.
走进高考
学例1 (2009·湖南卷)如图，当
参数λ=λ1,λ2时，连续函数y=
x
(x≥01)的 x图象分别对应曲线C1 和C2，则( ) B
A.0<因λ1为<1λ+2λx>0,且B.函0<数λ2为<λ连1 续函数,所以
得x1=a，x2=2b a .
3
因为a<b，所以a<
2b
a
<b，所以x1<x2.
f′(x)>0 x> 2b 或a x3<a，
3
f′(x)<0 a<x< 2b .a
3
函数的大致图象为如右.
本节完，谢谢聆听
-ax(x<0)(0<a<1)，选D.
2.下列函数图象中，正确的是( C )
对A、B,由y=x+a,知a>1,可知A、B 图象不正确;对D,由y=x+a知0<a<1,所以 y=logax应为减函数，D错，故选C.
3.函数y= 1 的图象大致是(B )
x 1
1 x 1
1
由函数y= x 的图象向左平 移一个单位长度可得.
y= 个单
位2x长=1x 度x，3,因1向此下由平y移= 一个的3x 单图位象长向度左即平可移得一
到函数y= 2 的x 图象.对分子、分母都是一次 的分式函数，x 它1的图
象特点是有一个对称中
心,有两条渐近线,可通
过分离常数的方法求解，
如图乙.
(3) 函 数 的 定 义 域 是 {x|x≠0 ， x∈R} ， 先 作 y=lgx关于y轴对称的图象，得到y=lg(-x)， 共同组成y=lg|x|的图象，再将x轴下方的图 象翻折到x轴上方，即得到y=|lg|x||的图象， 如图丙.0
原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,于是， 设 y=|x2-4x+3|,y=x+a ， 在 同 一 坐 标 系 下 分 别作出它们的图象,如右图.
①当a<-3时，由图可知，
函数y=|x2-4x+3|与函数
y=x+a的图象无交点,不
合题意，舍去.
②当a=-3时，由图可知，函数y=|x2-4x+3|与 函数y=x+a的图象只有一个交点，不合题意， 舍去.
分析 这几个函数的图象均可由最基本
的函数图象经过几种变换得到.
(1)函数的定义域为实数集R,
( x- 1 )2- 9 (x≥２)
y=｜x-2｜(x+1)=
24
-(x- 1)2+ 9 (x<2)，
24
由二次函数的图象经过变换作出其图象,
如图甲.
(2)函数的定义域为{x|x∈R,且x≠-１}，因为函数
ya=x b ,y=x+a .(图象略)
cx d
x
2.函数图象的基本作法有两种:①
描点法
和
② 图象变换法 .
(1)描点法作图的基本步骤是：③ 列表 、 ④ 描点、⑤ 连线.画函数图象时有时也可利用 函数的性质如⑥ 单调性、奇偶性、对称性. 、
周期性等 以及图象上的特殊点、线（如对 称轴、渐近线等）
于y轴对称 ,作出x<0的图象.
(3)伸缩变换:y=kf(x)(k>0)的图象可将函 数y=f(x)的图象上所有点14 纵坐标变为原来的 .
k倍，横坐标不变 的 而 得 到 .y=f(ωx)(ω>0) 的
图 象 可 将 函 数 y=f(x) 的 图 象 上 所 有 点 的 15横坐标变为原来的 1 ,纵坐标不变.得到.