2022年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷(3月份)+答案解析(附后)

2022年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷（3月份）
1. 已知集合，
，则
( )
A. B. C.
或
D. 或 2. 已知复数，则
( )
A.
B. C.
D. 3. 已知甲、乙、丙、丁4名志愿者参加2022年冬奥会的3个项目的培训，每名志愿者只能参加1个项目的培训，则甲、乙参加同1个项目培训的概率为( )
A. B. C.
D.
4. 已知，，
，则下列判断正确的是( )
A. B.
C.
D.
5.
设是等差数列
的前n 项和，
，
，当
取得最小值时，
( )A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
6. 已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，则该木桶的侧
面展开成的扇环所对的圆心角为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知直线
与圆M ：交于A ，B 两点，若
，则
( )
A.
B. C. 2或 D. 1或
8. 已知函数，则不等式
的解集为( )
A. B.
C.
D.
9. 如图是国家统计局发布的2020年12月至2021年12月的全国居民消费价格涨跌幅，
其中同比
，环比
则下列说法正确的是( )
A. 2020年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为
B. 2020
年12月至2021年12月全国居民消费价格同比的中位数为
C. 这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低
D. 2021
年比2020年全国居民消费平均价格增长大于
10. 古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则( )
A. 与能构成一组基底
B.
C. D.
11. 在菱形ABCD中，，，将沿对角线BD折起，使点A
至点在平面ABCD外的位置，则( )
A. 在折叠过程中，总有
B. 存在点P，使得
C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为
D. 当三棱锥的体积最大时，
12.
已知抛物线C：的准线l的方程为，过C的焦点F的直线与C 交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是( )
A. C的方程为
B.
C. M恒在l上
D.
13. 已知双曲线的右焦点到直线的距离为，则C 的离心率为______.
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式______.
①的最大值为2；
②，；
③是周期函数．
15. 已知的展开式中常数项为，则展开式中的系数为______.
16. 已知实数a，b，c满足其中，则的最小值为______.
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
求B；
若，面积为，求的周长．
18. 受新冠肺炎疫情的影响，各地推出务工人员就地过年的鼓励政策．某市随机抽选了100名男务工人员和100名女务工人员，调查他们是否有就地过年的意愿，结果如表：
有就地过年的意愿无就地过年的意愿男务工人员8020
女务工人员6040能否有的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关？
若用频率估计概率，从该市所有女务工人员中随机抽取3人进行深入调查，X表示抽取
的女务工人员无就地过年的意愿的人数，求X的分布列与数学期望．
附：，其中
k
19. 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，E，F 分别为AB，的中点．
证明：平面；
求二面角的平面角的余弦值．
20. 已知为数列的前n项和，，
求数列的通项公式；
从下面两个条件中选择一个，求数列的前n项和
①；
②
21.
已知A为椭圆C：的下顶点，，分别为C的左、右焦点，
，且C的短轴长为
求C的方程；
设O为坐标原点，M，N为C上x轴同侧的两动点，两条不重合的直线，关
于直线对称，直线MN与x轴交于点P，求的面积的最大值．
22. 已知函数，
当时，求在区间上的极值之和；
若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
或
故选：
进行并集和补集的运算即可．
本题考查了集合的列举法和描述法的定义，并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：复数，
则，
故选：
先求复数z，再求其共轭复数即可．
本题考查了复数的四则运算，重点考查了共轭复数的运算，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：甲、乙、丙、丁4名志愿者参加2022年冬奥会的3个项目的培训，
每名志愿者只能参加1个项目的培训，
基本事件总数，
甲、乙参加同1个项目培训包含的基本事件个数，
则甲、乙参加同1个项目培训的概率为
故选：
基本事件总数，甲、乙参加同1个项目培训包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙参加同1个项目培训的概率．
本题概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：，，，
故选：
根据对数函数单调性可解决此题．
本题考查对数函数单调性应用，考查数学运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为等差数列中，，，
所以，
解得，，，
所以，
因为的零点为，，
所以的最小值是靠近零点处的函数值，
又，，，
当时，取得最小值．
故选：
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式先求出公差及首项，然后结合等差数列的求和公式求出，结合数列的函数特性可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式及数列的函数特性，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，
如图，将圆台补成圆锥CO，则，，，
，
由圆锥的结构特征可知，
该木桶的侧面展开成的扇环的外圆的周长为，
扇形所对外圆弧的长为，
该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为
故选：
把圆台补成圆锥CO，即可求出圆锥的母线，再根据弧长公式计算即可．
本题考查木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：圆M：可变为，
圆心，，圆心到直线的距离，
，，又，，
，，解得，
故选：
所圆的方程变形为标准方程可得圆心与半径，求出圆心到直线的距离d，由，求出d与圆的半径的关系，求解即可．
本题考查圆与直线的位置关系，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：函数，
由和在R上递减，可得在R上递减；
由，
可得，
即有，
则不等式即为
即为
由在R上递减，可得，解得或，
故选：
首先判断的单调性，推得，原不等式转化为由单调性可去掉两边的“f”解不等式可得所求解集．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A ，2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格环比的最大值为
，最小值为
，
年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为
，故A 正确；
对于B ，2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格同比单位：
从小到大依次为：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
中位数是
，故B 正确；
对于C ，从环比看，从2021年3至6月，环比涨幅均为负值，全国居民消费价格一直在下降，
这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低，故C 正确；对于D ，2021年比2020年全国居民消费平均价格增长：
，故D 错
误．故选：
计算出2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格环比的极差，判断A ；利用中位数的定义判断B ；根据从2021年3月至6月环比涨幅均为负值可判断C ；利用平均数公式可判断本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】BD 【解析】【分析】
本题考查了基底的概念，向量的加减运算以及数量积的性质和相关运算，属于中档题．
连接BG ，CF ，由正八边形的性质可知，
，
，可判断选项A ；从而可得
，可判断选项B ；连结AC 交OB 于点M ，可判断选项C ；先判断出
，结合向量的加法和数量积的运算性质可判断选项
【解答】
解：连接BG ，CF ，由正八边形的性质可知，
，
，
所以，所以AH 与CF 是共线向量，所以与不能构成一组基底，故A 项错误；
又，所以所以，故B项正确；
由上过程可知，连结AC交OB于点M，
在直角三角形OAC中，M为AC的中点，
则，
又，
所以，故C项错误；
又正八边形的每一个内角为：，
延长DC，AB，相交于点N，则，
所以，故，
所以，故D项正确．
故选：
11.【答案】AC
【解析】解：如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则，，
因为，BD，平面BDE，
所以平面BDE，又平面BDE，
所以，A项正确；
在菱形ABCD中，，，所以，
当沿对角线BD折起时，，所以不存在点P，使得，B项错误；当时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，
三棱锥的外接球就是该正方体的外接球，
因为正方体的各面的对角线长为
所以正方体的棱长为，
设外接球的半径为R，则，
所以三棱锥的外接球的表面积，C项正确；
当三棱锥的体积最大时，平面平面BCD，
取BD的中点O，连接PO，OC，
易知平面BCD，则，
又，
所以，D项错误．
故选：
利用线面垂直的判定定理可判断A，由题可得PC的取值范围可判断B，利用正方体的性质可判断C，利用三棱锥的体积的公式结合条件可求PC判断
本题主要考查锥体体积的计算，球与多面体的切接问题，立体几何中的翻折问题等知识，属于中等题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A：由题意可得，，抛物线C的方程为，故选项A
错误，
对于选项B：由题意可知直线AB的斜率存在，，
设AB的方程为，，，
联立方程，消去y得，所以
，，
由得，直线AM的斜率，
直线AM的方程为，即①，
同理直线AM的斜率，直线BM的方程为②，
，即，
，故选项B正确，
对于选项C：由①②得，
，，
将代入①②得，点M的坐标为，
又抛物线C的准线方程为，
点M恒在l上，故选项C正确，
对于选项D：当直线AB的斜率k不为0时，则，
，，
当直线AB的斜率时，点M的坐标为，显然，
在中，由与相似，得，
，故选项D正确，
故选：
由准线方程可求出p的值，进而得到抛物线C的方程，可判断A，设AB的方程为，
，，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合导数的几何意义，可求出
，即，可判断B，由直线AM，BM的方程求出点M的坐标，
可判断C，对直线AB的斜率是否为零分两种情况讨论，结合抛物线的性质可判断
本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由双曲线的，，，
，
双曲线C的右焦点，F到直线的距离，
，，的离心率为
故答案为：
利用右焦点到直线的距离为，可求m，从而可求C的离心率．
本题考查双曲线的几何性质，以及运算求解能力，属基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：由②知，的图像关于直线对称；
由③知，是周期函数，又的最大值为2，
故满足条件的函数的解析式可以为
故答案为：答案不唯一
分析各条件下函数的性质，再直接写出一个函数即可．
此题属于开放型题，答案不唯一，给合所给的三个条件和正弦函数的性质不难得出答案，属于易做题．
15.【答案】
【解析】解：展开式的常数项为，
解得，
则展开式中含的项为，
所以的系数为，
故答案为：
求出展开式的常数项，由此求出m的值，再根据二项式定理求出含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
设，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且恒成立，
所以，
设，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
故原式，
当且仅当且时取等号．
故答案为：
利用已知等式把变形为，构造两个函数和，利用导数求得的最大值，的最小值，然后由不等式的性质得结论．
本题考查了利用导数求函数的最值，难点在于构造两个函数及对的变形，属于中档题．
17.【答案】解：因为在中，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
因为，
由正弦定理可得，，即，①
因为面积为，
所以，
所以，②
由①②可得，，
所以，
解得，
所以，
所以，
即的周长为
【解析】由三角形中，代入条件，结合诱导公式以及二倍角公式可得，从而求得B；
由正弦定理可得，由三角形面积可得，两式联立可得，代
入余弦定理可求得b，从而求得，即可计算周长．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，分
故没有的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关．分
由题意可知分
所以X的取值范围是，分
，
，
，
，分
所以X的分布列为
X0123
P
分
所以分
【解析】利用已知条件求出，即可判断是否有的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关．
由题意可知，求出概率，得到分布列，然后求解期望．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验思想的应用，是中档题．
19.
【答案】证明：连接与交于点M，
则M为的中点，连接ME，，
因为E为AB的中点．所以ME为的中位线，
所以，且，分
又F为的中点，所以，且
则，且，
所以四边形为平行四边形，分
所以，分
因为平面，平面，
故平面分
解：由题意可知，，，，
以B为坐标原点，以BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，分
设平面的法向量为，
由即
取，则，分
易知平面，所以平面的一个法向量为，分
所以，分
由图形可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角的余弦值为分
【解析】连接与交于点M，则M为的中点，连接ME，，证明四边形
为平行四边形，推出，然后证明平面
以B为坐标原点，以BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：，，
所以时，，
，
转换为，
即，
当时，，解得；当时，，解得，，
所以数列是从第二项为首项，2为公比的等比数列，
所以，
可得，
所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，
所以，
即有，
上式对也成立，
故；
若选择①，
，
，
所以数列的前n项和
；
若选择②．
②
，
可得
【解析】直接利用数列的递推关系式，结合等比数列和等差数列的通项公式，求出所求数列的通项公式；
选条件①和②，利用数列的裂项相消法求出数列的和．
本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法的求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆C的方程为
设直线MN的斜率存在时，方程为，
联立，得，
设，，
所以，
所以，，
因为两条不重合的直线，关于直线对称，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，即，
所以直线MN的方程为，
令，得，
所以直线MN与x轴的交点P为，
要使得的面积最大，则需最大，即时，
所以，
当直线MN的斜率不存在时，，
所以与椭圆相离，故不符合题意，
综上所述，的最大值为
【解析】根据题意可得，解得，，，即可得出答案．
分两种情况：直线MN的斜率存在时，当直线MN的斜率不存在时，讨论的最大值，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：，的根为，，则，
，
由正弦函数的图象可知，所以，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则的极大值为，极小值为，
所以
由，得，
设，则，
设，则，
当时，，所以在R上是减函数，即在R上是减函数，
又，，所以存在，使得，
当时，，单调递增，则存在使得，不合题意；
当时，设，则，
易知，在R上都是减函数，所以在R上是减函数，
又，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得最大值，所以，
所以符合题意；
当时，在上单调递减，
又，则在上单调递减，即在上是减函数，
又，
，
则存在，使得，
所以时，，单调递减，则存在，使得，不合题意；
当时，，所以不合题意．
综上，实数a的取值范围为
【解析】的根为，，则，，根据函数的单调性
可得的极大值为，极小值为，根据三角函数的知识即可求解；
设，则，设
，则，对a分，，，四种情况分别讨论即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。