【优化方案】2016高考总复习课件(人教A版)高中数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

考点一
离散型随机变量的均值与方差(高频考点)
考点二
均值与方差的实际应用
考点三
正态分布
考点一
离散型随机变量的均值与方差(高频考点)
离散型随机变量的均值与方差是高考命题的热点，多以解答 题的形式呈现，多为中档题． 高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个
命题角度：
(1)已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差； (2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值； (3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．
[做一做] 3．两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信
2 件数 X 的数学期望 E(X)＝________ ． 3
解析：两封信投入 A，B，C 三个空邮箱，投法种数是 32＝9， 4 A 中没有信的投法种数是 2×2＝4，概率为 ， 9 A 中仅有一封信的投法种数是 4 1 C2×2＝4，概率为 ， 9
1 A 中有两封信的投法种数是 1，概率为 ，故 A 邮箱的信件数 9 4 4 1 2 X 的数学期望是 ×0＋ ×1＋ ×2＝ . 9 9 9 3
4．已知ξ～N(0,σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4,则P(ξ＞2)＝ 0.1 ． ____
解析：因为 P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝0.4， 1 所以 P(ξ＞2)＝ ×(1－2×0.4)＝0.1. 2
2．均值与方差的性质
aE（X）＋b （1）E（aX＋b）＝_______________ (a，b 为常数)． 2 a D（X） （2）D（aX＋b）＝____________
3．两点分布与二项分布的均值、方差 X E(X) D(X) X 服从两点分布 p(p 为成功概率)
p(1－p) __________
随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量 平均水平 ． 取值的__________
2 (2)D(X)＝∑ ( x － E ( X )) pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了 i ＝ i 1
n
偏离 程度，其算术 随机变量 X 与其均值 E(X)的平均__________
平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差．
集中 ；σ 越大，曲线越“矮 高”，表示总体的分布越__________ 分散 ． 胖”，表示总体的分布越__________
[做一做] 1． (2015· 杭州模拟)甲、 乙两人参加某高校的自主招生考试， 2 若甲、乙能通过面试的概率都为 ，且甲、乙两人能否通过 3 面试相互独立，则面试结束后通过人数 ξ 的数学期望 E(ξ) 4 的值为________ ． 3
1．辨明两个易误点 (1)理解均值 E(X)易失误，均值 E(X)是一个实数，由 X 的 分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X)是 不变的，它描述 X 值的取值平均状态． (2)注意 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)易错．
2．正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
X～B(n，p) np __________
np(1－p) _____________
4.正态曲线的特点
上方 ，与 x 轴不相交； (1)曲线位于 x 轴__________ x＝μ 对称； (2)曲线是单峰的，它关于直线__________
1 (3)曲线在 x＝μ 处达到峰值 ； σ 2π 1 (4)曲线与 x 轴之间的面积为__________ ； (5)当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移； (6)当 μ 一定时， 曲线的形状由 σ 确定． σ 越小， 曲线越“瘦
第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布
第9讲
离散型随机变量的均值与方差、
正态分布
1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为 (1)均值：称 E()＝_______________________________
2 2 4 解析：由题意可知，ξ ～B(2， )，所以 E(ξ)＝2× ＝ . 3 3 3
2．(2014· 高考浙江卷)随机变量 ξ 的取值为 0，1，2.若 P(ξ 2 1 5 ＝0)＝ ，E(ξ)＝1，则 D(ξ)＝________ ． 5
解析：设 P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 1 5＋a＋b＝1， 则 解得 1 a＋2b＝1， b＝5， 1 3 1 2 所以 D(ξ)＝ ＋ ×0＋ ×1＝ . 5 5 5 5 3 a＝ ， 5
(2014· 高考湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组， 2 3 他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新 3 5 产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若 新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元．求该企 业可获利润的分布列和数学期望．
3．求离散型随机变量均值、方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可 直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量 ξ 的均值、方差，求 ξ 的线性函数 η＝aξ ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用 ξ 的均值、方差的性 质求解； (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、 二 项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．
[解] 记 E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品 2 3 － 1 － 2 成功}．由题设知 P(E)＝ ，P( E )＝ ，P(F)＝ ，P( F )＝ ， 3 3 5 5 － － － － 且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立． － －－ (1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ， － － － 1 2 2 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝ × ＝ ， 3 5 15 2 13 － 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－ ＝ . 15 15