2023届河南省百师联盟高三一轮复习联考(四)全国卷数学(理)试题【含答案】

2023届河南省百师联盟高三一轮复习联考（四）全国卷数学（理）试题
一、单选题1．已知，则 （ ）
{}{}||1|2,|1A x x B x x =-<=>A B ⋃=A ．B ．{}
|13x x -<<{}|1x x >-C ．
D ．
{}|3x x >{}
3|1x x <<【答案】B
【分析】求出集合A ，根据集合的并集运算，即可得答案.【详解】由题意解，可得 ，|1|2x -<13x -<<所以，
{}{}|13,|1A x x B x x =-<<=>则
，
{}|1A B x x ⋃=>-故选：B.
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
z ()2i 2i
z +=-i z z ⋅=A ．B ．C ．D ．1
3
12
1
2
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的乘法可得结果.
z 【详解】由已知可得
，则
，
()()()2
2i 2i
34i 2i 2i 2i 55
z --==
=-++-34i 55z =
+因此，.3434i i 1
5555z z ⎛
⎫⎛⎫⋅=-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.
3．下列命题中的假命题是（ ）
A ．，
B ．，x ∃∈R sin x x ∃∈R ln 1
x =-C ．，D ．，x ∀∈R 2
x >x ∀∈R 30
x
>【答案】C
个选项即可.
【详解】对于A ，，，
A 正确；
1sin 1x -≤≤ x ∴∃∈R sin x 对于B ，当
时，，B 正确；
1
e x =
ln 1x =-对于C ，当时，，C 错误；
0x =2
0x =对于D ，值域为
，，，D 正确.
3x
y = ()0,∞+x ∴∀∈R 30x >故选：C.4．等差数列 中，，当 取得最小值时，n 的值为（ ）
{}n a 12326,27a a S -==-n S A ．4或5B ．5或6
C ．4
D ．5
【答案】A
【分析】求得数列的首项和公差d ，可得通项公式，继而求得的表达式，结合二次函数知识即1a n S 可得答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为d ，则 ，{}n a 1a ()()111263313272a a d a d ⎧-+=⎪⎨⨯-+=-⎪⎩解得，则，
112
3a d =-⎧⎨
=⎩315n a n =-所以
，
22(12315)32739243
()222228n n n S n n n -+-=
=-=--
由于，故当n 取4或5时，取得最小值，
N n *
∈n S
故选：A.5．函数
的图象可能是（
）
()
cos sin 2f x x x
=+A ．B ．
C ．
D ．
【分析】利用函数的奇偶性，的值及在区间，上函数值的正负情况，排除错误π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭选项即可得解．【详解】，
()cos()sin(2)cos sin 2f x x x x x
-=-+-=-则，
，
()()f x f x -≠()()
f x f x -≠-故
是非奇非偶函数，故排除A 、B ，
()cos sin 2f x x x
=+；当
时，，；当时，ππcos sin π022f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭()20,πx ∈()cos sin 20f x x x =>+π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
，结合图象可排除C ．
()2π,2πx ∈()cos sin 20
f x x x =+<故选：D ．6．已知
，，，则的大小关系为（ ）
1lg
2a =cos1b =3
22c -
=,,a b c A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b
<<b a c <<b<c<a
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数和余弦函数单调性，结合临界值
进行判断即可.
1
0,
2【详解】，.31211π
lg lg1022cos cos1
223--<=<<==< a c b ∴<<故选：B.
7．已知正数满足,则的最大值是（ ）
,a b 22
21a b +=2ab
A ．
B
C
D ．1319
【答案】C
【分析】将写为的形式,再用基本不等式即可求出的最大值.
222a b +222
a b b ++2ab
【详解】解:由题知22222
12a b a b b =+=++≥
,
13≤
当且仅当
,
a b ==
所以
．
2ab
8．已知平面向量 ，其中，且与和与的夹角相等，则
,,a b c
(2,0),(a b c a b λμ==-=+ c a c b =（ ）
λ
μA ． B ．1
C ．
D ．2
1-2-【答案】B
【分析】求出向量
，根据题意与和与的夹角相等列出等式，化简可得答案
.
(
)2c λμ=-
c
a c b
【详解】由题意
，(2,0),(a b c a b λμ==-=+ 得
，
(
)2c λμ=-
由于与和与的夹角相等，故，c a c b
||||||||a c c b a c c b ⋅⋅= 即，即，42232||2||c c λμλ
μμ--++= 1λμ=故选：B.
9．直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则
:l y =22
22:1
x y C a b +=,
P Q F C 0PF QF ⋅=
椭圆的离心率为（ ）
A
．B ．C D
4-31
【答案】C
【分析】根据对称关系和垂直关系可知四边形为矩形，结合直线倾斜角大小可确定
PF QF '，由此利用表示出，结合椭圆定义可构造齐次方程求得离心率.
π
6PQF ∠=
c ,PF QF
记椭圆的左焦点为，
C F '由对称性可知：四边形为平行四边形，，PF QF 'PF QF
'∴=；
2PF PF PF QF a
'∴+=+=，，四边形为矩形，，
0PF QF ⋅=
PF QF ∴⊥∴PF QF '2PQ FF c '∴==
又，又，，tan POF ∠=π3POF ∴∠=OF OQ =π
6PQF ∴∠=
，，，
π
2sin 6PF c c ∴==π2cos 6QF c ==)
12PF QF c a
∴+==
椭圆的离心率
.
∴1c e a =
=故选：C.
10．函数关于直线对称，则函数的最大值为（ ）
2
()2sin cos cos f x x x a x =+π
12x =
()f x
A ．2
B
C ．
D ．2+2【答案】C
【分析】先根据函数的对称轴可得，然后利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再利a =用正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】因为函数关于直线
对称，
()2
2sin cos cos f x x x a x
=+π
12x =
所以，即
，解得，()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭34a a =a =
所以，()2π2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛
⎫=+==++ ⎪⎝⎭
，满足关于对称，故最大值为πππ21232⨯
+=π
12x =2+故选：.C 11．如图所示，在正方体
中，O ，F 分别为，的中点，点P 为棱上的
1111ABCD A B C D -BD 1AA 1BB 动点（不含端点），设二面角的平面角为，直线OF 与平面所成角为，则
1F D O P --α1
OPD β（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．以上均有可能
αβ>αβ<αβ
=【答案】A
【分析】根据几何体的结构特征，分别作出二面角的平面角为，直线OF 与平面
1F D O P --α所成角为，利用三角函数值即可比较两角大小.
1
OPD β【详解】设点M 为B 1D 与
的交点，可得，，且1BD FM BD ⊥1FM BB ⊥1BB BD B
⋂=所以平面，即FM ⊥平面
，所以，
FM ⊥11BB D D 1OPD FOM β∠=过点F 作D 1O 的垂线FH ，垂足为H ，如下图所示
由三垂线定理可知
，所以，
1MH D O ⊥FHM α∠=从而
，
tan ,tan MF MF
MH MO αβ=
=在中，所以，
Rt MOH MO MH >tan tan αβ>又
，所以.
π,0,2
αβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭αβ>故选：A.
12．相原理也称祖氏原理，是一个涉及求几何体体积的著名数学命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的在两个平行平面问的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平
祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理，已知将双曲线与它的渐近线以及直线
22:1
82x y C -=
围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个旋转体I ，将双曲线C 与直线围成的图形4x x ==2y =±绕y 轴旋转一周得到一个旋转体II ，则关于这两个旋转体叙述正确的是（ ）
①由垂直于y 轴的平面截旋转体II ，得到的截面为圆面②旋转体II 的体积为112π
3
③将旋转体I 放入球中，则球的表面积的最小值为 16π
④旋转体I 的体积为(8π-A ．①②B ．③④C ．①③④D ．①②③
【答案】C
【分析】对于①，想象旋转体几何特征，确定由垂直于y 轴的平面截旋转体II ，得到的截面为圆面；对于②，根据祖暅原理计算出旋转体II 的体积，即可判断；对于③，求出将旋转体I 放入球中，当球的表面积最小时，均在球面上或球内，可求得球的表面积的最小值，即可判断；对,,,A B C D 于④，可根据祖暅原理，计算出旋转体I 的体积，即可判断.
【详解】对于①,直线与双曲线的交点为
，(22)y h h =-<<),()P h Q h 则用垂直于y 轴的平面截旋转体II 的截面为圆面，故①正确
对于②,,2(84)πh +与双曲线的渐近线的交点为，
(22)y h h =-<<(2,)h h ±所以是用垂直于y 轴的平面截两条渐近线绕y 轴旋转得到的旋转体的截面面积.
2
4πh x 绕y 轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为
，1
2,2y y =±=±
164π2216π33⨯⨯⨯=
因为底面半径为8π，高为4的圆柱的体积为，
48π32π⨯=所以旋转体II 的体积为
，故②错误；
64π48π3V =⨯+
=160
3π
对于③,双曲线的右顶点为，渐近线的方程为
，22:182x y C -=12y x
=±
当时,，由对称性可知若将旋转体I 放入球中时，
4x =2y =±
当球的表面积最小时，均在球面上或球内，
,,,A B C D 且此时球的半径与四边形的外接圆的半径相等，四边形的外接圆的圆心在x 轴上，
ABCD ABCD 不妨设为点Q ，由图可知对应的球的半径至少为2，此时球的表面积是，
2
4π16πR =
由图象可知此时
，
(4,0),||2,||2
Q QB QA ===<所以均在球面上或球内，所以③正确；
,,,A B C D
对于④,与渐近线交于点
，4)x m m =<<11(,),(,)
22M m m N m m -
与双曲线交于点，
((,E m F m
则用垂直于x 轴的平面截旋转体I 的截面应为圆环，其内径为EF =外径为，截面面积为，MN m =21π2MN ⎛⎫- ⎪⎝⎭2
1π2π2EF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
根据祖暅原理，旋转体I 的体积为，故④正确，
((42π8π-⨯=-故选:C
【点睛】难点点睛：解决此类旋转体相关问题时，难点在于要能发挥空间想象力，明确旋转体的形状特征，因此解答时要能根据双曲线特点想象出几何体特征，并能根据祖暅原理结合几何体相关公式进行计算.
二、填空题
13．是数列的前n 项和，当时，取得最小值，写出一个符合条件的数列的通项n S {}n a 7n =n S {}n a 公式，an =______.
【答案】（答案不唯一）
215n -【分析】根据题意，找一个符合题意的等差数列即可得到正确答案.【详解】由题意，我们可以取一个等差数列：215
n a n =-当时，时，，所以当时，取得最小值.
7n ≤10,,7n n n a S S n -<>>10,n n n a S S -><7n =n S 所以
符合题意.
215n a n =-故答案为：（答案不唯一）215n -14．给出下列命题：
①若平面上有3个不共线的点到平面 的距离相等，则平面与平面平行；αβαβ②若平面上有2个不同的点到平面的距离不相等，则平面与平面相交；αβαβ③若平面外的直线l 上有3个点到平面的距离相等，则直线l 与平面平行；αα④若直线l 上有2个点到直线m 的距离相等，则直线l 与直线m 平行其中正确命题是______（只填编号）. 【答案】②③
【分析】根据空间平面与平面以及线面和线线的位置关系，一一判断各命题，可得答案.【详解】①：该两平面可能相交，因为位于平面两侧的不共线的3个点到平面的距离也是可能α相等的，故错误；
②：若平面上有2个不同的点到平面β的距离不相等，则过这两点的直线与平面β相交，则平面
α与平面相交，故正确；
αβ③：若平面外的直线l 上有3个点到平面的距离相等，至少有两个点在平面的同侧，α在平面同侧有两点到平面距离相等，则直线与平面平行，故正确；
α④：若直线l 与m 相交，直线l 上在交点两侧的两个点到m 的距离也可能相等，故错误，故答案为:②③.
15．已知平面向量是两两夹角相同的单位向量，则||=______.
,,a b c 23a b c ++
【分析】根据平面向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】因为平面向量两两夹角相同，即夹角均为或0，,,a b c
2π3当夹角为时，，2π311a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯ 1122⎛⎫-=- ⎪
⎝⎭
且，
222210,|23||2|44144()3
2a b c a b c b c b c b c ++=++=+=++⋅=++⨯-=
，则|23|a b c ++=当夹角为0时，，
6
23a b c =++
综上，
6.
a b c ++=
故答案为 6.16．正实数，满足，，则的值为____________．
a b 1
e 4a a +=+()ln 3b b +=b a -【答案】1【分析】由题意得，
，所以，是方程
的两个解，设
()ln 41
a a +=+()ln 3
b b
+=b 1a +()ln 3x x
+=函数
，结合函数的单调性，零点存在定理判断
在
上只有一个
()()()
ln 30f x x x x =+->()
f x ()0,∞+零点，即方程
只有一个解，可得，即可得出答案．
()ln 3x x
+=1b a =+【详解】解法一：由，得，又因为，
1
e 4a a +=+()ln 41a a +=+()ln 3b b +=所以，是方程的两个解，b 1a +()ln 3x x
+=设函数
，
，
()()()
ln 30f x x x x =+->()121033x f x x x --'=
-=<++所以函数在
上单调递减，
()
f x ()0,∞+又
，
，
()30ln 0
f =>()()3333e 3ln e e 36e 0
f -=--=-<则函数
在
上只有一个零点，即方程只有一个解，
()
f x ()0,∞+()ln 3x x +=所以，∴．
1b a =+1b a -=解法二：因为，所以
，
，即
，
1e 4a a +-=()1
e
130
a a +-+-=()ln 30
b b -+=()()ln 3e ln 330
b b +-+-=设函数，当时，，所以函数在上单调递
()()
e 30x
f x x x =-->0x >()e 10x f x '=->()f x ()0,∞+增，
10a +>()ln 30
b +>()()1ln 3f a f b +=+⎡⎤⎣⎦
∴
，，∴．
()
1ln 3a b +=+1
e
3a b +=+1e 3431a b a a +-=--=-=故答案为：1．
三、解答题
17．如图,在中,
,,为线段上一点,．
ABC π
4B ∠=
2AC AB =D BC π6CAD ∠=
(1)求的值;
CD
AD (2)当时,求线段的长．4=AD AC
【答案】(1)CD
AD
=
(2)AC =【分析】(1) 在中,由正弦定理得到之间的关系, 在中,由正弦定理得到ADC △,CD AC ADB 之间的关系,根据和即可得的值;
,AD AB πADC ADB ∠+∠=2AC AB =CD
AD (2)先由得到,又有
,在中,由余弦定理即可得的长.
4=AD CD π
6CAD ∠=
ADC △AC 【详解】（1）解:由题知在中,由正弦定理可得:ADC △,
sin sin CD AC
CAD ADC =
∠∠即
,
π
sin
sin 6AC CD ADC =
⋅∠在中,由正弦定理可得:ADB ,
sin sin AD AB B ADB =
∠即
,
π
sin
sin 4AB AD ADB =
⋅∠因为,πADC ADB ∠+∠=所以,
sin sin ADC ADB ∠=∠
所以
,
π
sin
6πsin 4AC CD AD AB =
=因为,2AC AB =所以
CD
AD =（2）当时,4=AD 由(1)可知
,CD =在中,由余弦定理可得:
ADC △,
222π2cos
6CD AC AD AC AD =+-⋅即
2163224AC AC +-⋅⋅=代入化简可得
,2160AC AC -⋅-=解得
（舍）
,
AC =+
0AC =
<故AC =18．已知数列对于任意的均有；数列
{}n a *N n ∈12335(21)n a a a n a ++++-= (21)(21)
3n n n -+的前n 项和为，且.
{}n b n S 111,1n n b S b +=+=(1)求数列
的通项公式；
{},n a {}n b (2)令 ，为数列的前n 项和，且恒成立，求λ的最大,,n
n n a n c b n -⎧=⎨⎩为奇数
为偶数n T {}n c 2
2210n n T n n b λ+-+≥值.
【答案】(1)，.
*21N n a n n =-∈，1*
2,N n n b n -=∈(2)10
【分析】（1）根据数列的递推式，采用两式相减的方法可求得其通项公式，根据
{}n a 可证明数列为等比数列，即可求得其通项公式.
111,1n n b S b +=+={}n b （2）利用（1）的结果可求得的通项，继而求得，将
恒成立，化为{}n c 2n
T
2
2210n n T n n b λ+-+≥
，即，结合数列的单调性，即可求得答案.
1
2421023n n λ-⨯-+≥⋅min 1
2428()32n n λ-⨯+≥⋅【详解】（1）因为①,
()()()
312212135213
n n n n a a a n a -+++++-=
当时，
；
1n =11a =当时，
②.,
2n ≥()()()()
12311232135233
n n n n a a a n a ----++++-=
①-②可得
,
()()2
2121n n a n -=-所以时.
2n ≥21n a n =-经检验，符合上式，所以.
11a =*
21N n a n n =-∈，对于{}，由题意可得，，当，所以，
n b 11b =11n n S b +=-121,11n S b ==-=22b =时，，则，
2n ≥11n n S b -=-11n n n n n b S S b b -+=-=-即
，，因为，所以，
12(2)n n b b n +=≥0n b ≠11b =212b b =所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以.
{}n b 1*
2,N n n b n -=∈（2）由（1）可得，,,n
n n a n c b n -⎧=⎨⎩为奇数
为偶数所以
()2135621242()
n n n T a a a a b b b b -=-+++++++++ ()()
3521
159432222n n -=-++++-+++++ ，
()()42
21414324222
14
3
n n n n n -+-⨯-=-+=-++
-则，
2
224223n n T n n ⨯-=-++
恒成立，等价于，2
2210n n T n n b λ+-+≥1
2421023n n λ-⨯-+≥⋅化简得，即即可.
1242832n n λ-⨯+≥⋅min 1
2428
()32n n λ-⨯+≥⋅令，
1
242841423232n n n n n d -⨯+⎛⎫
==+ ⎪⋅⎝⎭
若，则，2111111
414144144(214)(22)(203223232n n n
n n n n n n n d d ++++++⨯--=+--=-=>⨯2n ≥即时，数列
单调递增；又因为，所以，
2n ≥{}n d 121210d d ==，()min 10n d =即，可得的最大值为10.
10λ≤λ19．已知四棱锥 中，底面 ，平面平面 ，，P ABCD -PA ⊥ABCD PAD ⊥PCD AB CD ∥.
2PE ED =
(1)求证：平面 ；AB ⊥PAD (2)若
，求二面角的余弦值.
1
12PA AB AD CD ===
=A EC D --【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据线面垂直的判定证明平面，再根据，可得结论；CD ⊥PAD AB CD ∥（2）建立空间直角坐标，求得相关点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角AEC DEC 公式即可求得答案.
【详解】（1）证明；因为平面平面，平面平面，PAD ⊥PCD PAD ⋂PCD PD =在平面内作，则 平面，平面， PAD AH PD ⊥AH ⊥PCD CD ⊂PCD 所以.
AH CD ⊥因为PA ⊥底面ABCD ，平面，所以,
CD ⊂ABCD PA CD ⊥平面，则平面，,,AH PA A AH PA =⊂ PAD CD ⊥PAD 因为,∴平面.
AB CD ∥AB ⊥PAD
（2）由（1）可知平面,平面,所以，AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB AD ⊥以A 为原点分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
,,AB AD AP ,,x y
z 因为，
1
1,22PA AB AD CD PE ED
===== 则
，21
(0,0,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,,33A C D E 所以
()()21112,1,0,0,,,2,0,0,0,,,
3333AC AE DC DE ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设平面的法向量为，则 ,即 ,AEC 1111(,,)n x y z = 1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
11112021033x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令
，则取
.
11x =()
11,2,4n =-
设平面 的法向量为，则,即,
DEC 2222(,,)n x y z = 2200n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
2222011033x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令,则取.
21y =2(0,1,1)n =
所以
122121cos ,||||n n n n n n 〈===
⋅⋅〉
由图可知所求二面角为钝角，故二面角的余弦值为
A EC D --20．已知双曲线的右焦点为F ，点 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点F 的直2
22:1x C y a -=,M N 线l 交双曲线的右支于 两点，设直线的斜率分别为，且
.
,P Q ,MP NP 12,k k 121
3k k =
(1)求双曲线C 的方程；
(2)当点P 在第一象限，且时，求直线l 的方程.tan 1
tan 2MPN MQN ∠=
∠【答案】(1)2
2 1.
3
x y -
= .
0y --=【分析】（1）设点，根据
，结合点P 是双曲线上的点，化简求得，即得答案.11(,)P x y 121
3k k =
23a =（2）设
，利用两角和的正切公式化简可得，设直线1122(,),(,)P x y Q x y tan 1
tan 2MPN MQN ∠=
∠122y y =-，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m 的值，即得答案.
:2(0)l x my m =+>【详解】（1）由题意得 ，设点.(0),(0)M a N a -，，
11(,)P x y 则
.211111121222111111,,3y y y y y k k k k x a x a x a x a x a ==⋅=⋅==
+-+--因为点P 是双曲线上的点，则，∴.，∴，
221121x y a -=2
122211y x a a =-23a =则双曲线C 的方程为2
2 1.
3
x y -=（2
）设
，点P 在第一象限，
1122(,),(,)P x y Q x y
则
，
()11tan tan 0,0,tan tan 1tan tan PMN PNM x y MPN PMN PNM PMN PNM ∠+∠>>∠=-∠+∠=-
-∠⋅∠又
tan tan PM PN PMN k PNM k ∠==∠=-=故
，
tan MPN ∠====
同理可得
，即，
21tan 1
tan tan 2y MPN MQN MQN y ∠∠===-∠122y y =-则直线l 的斜率大于0，
由（1）可知 ，设直线，联立 ，
2,0)F (:2(0)l x my m =+>222
13x my x
y =+⎧⎪⎨-=⎪
⎩化简得
，
()2
23410
m y my -++=则，
2222
30,164(3)12120m m m m -≠∆=--=+>故
,
12122
241
,033m y y y y m m -+=
=<--，代入韦达定理得 ，
2123,20,m y y ∴<=-> 12222
122243123m y y y m y y y m -⎧
+==-⎪⎪-⎨
⎪==-⎪-⎩所以 ，解得
（舍去），2
22
41
233m m m -⎛⎫-= ⎪
--⎝
⎭m =m =所以直线l .
0y --=【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结
合
进行化简得到，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.tan 1tan 2MPN MQN ∠=
∠122y y =-21．已知函数
22221
()e ,()2(e )
2x x f x ax g x x x x =--=-+(1)若在上单调递增，求的取值范围；()f x R a (2)当时，证明：.1a =-()()f x g x >【答案】(1)
[]
0,2e
(2)证明见解析
【分析】（1）由在上单调递增，得恒成立，讨论的单调性，求的最小值()f x R ()0f x '≥()f x '()f x '
大于等于恒成立，建立不等关系，求得答案.
0（2）利用分析法转化需要证明的结论为，构造函数利()
2
2222(e )1x x x x ⎡⎤-+->⎢
⎥⎣⎦2
()e 2,x t x x x =-+用导数研究单调性，可判断函数在上存在唯一零点，结合重要不等式对式子进行放缩，结(1,0)-0x 论得证.
【详解】（1）在上单调递增，所以恒成立，
()f x R 2()2e
20x
f x ax '=-≥令
恒成立， 2()e x
h x ax =-()0h x ∴≥当时，
恒成立.0a =2()e 0x
h x =>当时
，所以h （x ）在上单调递增，0a <2()2e 0x h x a '=->R 所以
时，，故不符合题意.2
1(e 10,
a
h a =-<1x a <()0h x <当时，令，解得
，
a 0>2()2e 0x
h x a '=-=1ln
22a
x =
当时，单调递增；1ln
22a x >()0,()h x h x >'当时，，单调递减，
1ln
22a x <
()0h x '<()h x 所以
min 1()(ln ln 0
22222a a a a
h x h ==-≥解得.02e a <≤综上，的取值范围是
.
a []0,2e （2）证明：当时，，
1a =-221
()e 2x f x x =+-
要证
，即证
，()()
f x
g x >222431
e 2e 222x x x x x x +-
>⋅-+只需证
，
222431e 2e 222x x x x x x +-⋅+->
即证()
2
2222(e )1
x x x x ⎡⎤-+->⎢
⎥⎣⎦令，令
，2()e 2,()e 41x x
t x x x t x x '=-+=-+()(),()e 4x p x t x p x ''==-当时，，当时，，
(,ln 4)x ∈-∞()0,p x '<(ln 4,)x ∈+∞()0p x '>
所以
()58ln 20,
t x '=-<最小值
，
21
()10,(1)e 30,(2)e 702t t t '''=>=-<=->故存在使得
121
(,1),(1,2)2x x ∈∈121122()e 410,()e 410x x t x x t x x ''=-+==-+=所以
，1212e 41,e 41x x x x =-=-即在
时递增，在时递减.
()t x 12(,),(,)x x x x ∈-∞∈+∞12(,)x x x ∈令
，2()251q x x x =-+-则二次函数关于直线
对称，函数图象开口向下，且，
()q x 5
4x =
1()(2)10
2q q ==>故当
时，，又1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0q x >121,(,2)2x x ∈∴
，122
11111()e 22510x t x x x x x =-+=-+->22222222()e 22510,
x t x x x x x =-+=-+->又，所以函数在上存在唯一零点，1
(1)e 30,(0)10t t --=-<=>(1,0)-0x 使得
.022000e x x x x -=-2222222222
2(e )()(e )()2(e )()x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+-≥-+-+--⎣⎦,当且仅当
时等号成立.
2
222
(e )()(e )
x x x x x x ⎡⎤=-+-=-⎣⎦0x x =令，则，
()e x m x x =-()e 1x
m x '=-当
时，单调递增；
()
0,x ∈+∞()0,()m x m x '>当时，单调递减，
(,0)x ∈-∞()0,()m x m x '<所以，((0)1m x m ≥=）
即，当且仅当时等号成立
e 1x
x -≥0x =因为取等号的条件不一致，故
.
()()
f x
g x >【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,以xOy 1C 2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨
=⎩θ轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
（）．
x 2C π
3θ=
R ρ∈(1)写出的直角坐标方程和的普通方程;
1C 2C (2)设
,的交点为,若,求的值．
1C 2C ,A B OA OB >OA OB -【答案】(1)
;
()2
2
1
1:
1
4
9x y C -+=2
:C y (2)12
7
【分析】(1)根据
的参数方程及,即可得的直角坐标方程,根据极坐标转与直角
1C 22sin cos 1θθ+=1C 坐标的互化,即可得的普通方程;
2C (2)将转化成极坐标方程,将
代入,即可得两点极径之间的关系,再根据极径的几何意义,即
1C π
3θ=
,A B 可得
的值.
OA OB
-【详解】（1）解:由题知,12cos 1:3sin x C y θθ=+⎧⎨
=⎩,
()2
2
1
1:
14
9x y C -∴+=∵
,
()2π
:R 3C θρ=
∈根据极坐标转与直角坐标的互化,可得
;
2π
:tan
3C y x ==（2）由(1)知
,
()2
2
1
1:
14
9x y C -+=化简得,
22
918427x x y -+=由可将化成极坐标方程:
cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩1C ,
()()22
9cos 18cos 4sin 27
ρθρθρθ-+=
把代入,
π3θ=化简得
,2712360ρρ--=所以,,
12127ρρ+=12367ρρ=-由极径的几何意义知,,
1OA ρ=2OB ρ=又因为,,
OA OB >12367ρρ=-所以
,且,12ρρ>120ρρ>>故．1212127OA OB ρρρρ-=-=+=
23．（1）已知正数，，满足x y z 2x y z ++=（2）已知正数，，满足，求证：．
x y z ()()1236x y z ++=3214x y z ++≥【答案】（1）答案见解析 ；（2）答案见解析 ．
【分析】（1）利用基本不等式可得：
，两式相加即可得证；2y x +2y z +（2）变形，然后利用基本不等式即可得证．()()3232124
x y z x y z ++=++++-
【详解】（1）证明：，，∴
时等号成立，
0x >0y >2y x +2x y =
，，∴时等号成立，0y >0z >2y z +2z y =
∴22y y x z ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴，当且仅当时等号成立．
x y z ++221x y z ===
∵，2x y z ++=（2）证明：，
()()3232124x y z x y z ++=++++-
，()()321218
x y z ++++=≥当且仅当
时等号成立，()3212x y z =+=+由，等号成立的条件是，，，
()()1236x y z ++=2x =2y =4z =∴，即，当且仅当，，时等号成立．32184x y z ++-≥3214x y z ++≥2x =2y =4z =。