广东省汕头市潮阳南侨中学2018届高三下学期周一测(3)(理)数学试题及答案解析

广东省汕头市潮阳南侨中学2018届高三下学期
数学周一测（3）（理）
一、选择趣
1．已知集合}1{log {},032|{32-≤=≤--=x x B x x x A ，则集合B A =( ) A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 B ．]3,1[- C ．⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-3
1,1 D ．)3,0(
2．已知(3-4i)z = i l0l （其中z 为z 的共轭复数,i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知函数⎩⎨
⎧≥+<-=-4
,214),4(log )(1
2x x x x f x ，则)32(log )0(2f f +=( )
A ． 19
B ．17
C ．15
D ．13 4．将函数)0)(4
sin(2)(>+=ωπ
ωx x f 的图象向右平移
ω
π
4个单位，得到函数)(x g y =的 图象，若)(x g y =在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
3,6ππ上为增函数，则ω的最大值为( ) A ．3 B ．
23 C ．2 D ．4
5 5．函数221)(2|
|+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x f x 的图象可能是( )
6．ABC ∆中，“角C B A 、、成等差数列”是“(
)
B A A
C cos sin cos 3sin +=
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．圆C 与x 轴相切于)0,1(T ，与y 轴正半轴交于两点B A 、，且2||=AB ，则圆C 的标准 方程为(
)
A ．(
)22)1(2
2=-+-y x B ．2)2()1(2
2=-+-y x
C ．(
)
42
)1(2
2=+
++y x D ．()
42
)1(2
2=-+-y x
8．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列， 则这6名同学的站队方法有( )
A ． 144种
B ．180种
C ． 288种
D ． 360种 9．在A B C ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若7,8,3
===BD BC C π
，则A
B C ∆ 的面积为( )
A ．320
B ．324
C ．320或324
D ．320或10 10．若),0[+∞∈x ，则下列不等式恒成立的是( )
A ．21x x e x ++≤
B ．241
21111x x x
+-<+
C ．2211cos x x -
≥ D ．28
1
)1ln(x x x -≥+ 11．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A ．4
B ．
320
C ．8
D ．3
26
12．已知定义域为R 的函数)(x f 的图象经过点(1，1)，且对任意实数21x x <，都有
2)
()(2
121->--x x x f x f
，则不等式()
|13|log 3|13|log 22--<-x x f 的解集为( )
A ．)1,(-∞
B ．)1,0()0,( -∞
C ．)3,0()0,1( -
D ．),0(+∞ 二、填空题
13．已知实数y x 、满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≤-+≥022031y x y x x ，则y x z -=的最大值为 ．
14．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，2,90===∠CA BC BCA ，若该棱柱的 所有顶点都在体积为
32π
3
的球面上，则直线C B 1与直线1AC 所成角的余弦值为 ． 15．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若,2,2sin sin ==+b a C
b
B c 则AB
C ∆面积是 ．
16．已知向量y x +==-==,1||||||，且y x 、满足条件,1||=+y x 则点P 的轨迹围成面积是 ． 三、解答题
17．已知数列}{n a 中，,11=a 其前n 项和为n S ，且满足)(,)1(2*∈+=N n a n S n n ． (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)记23n n n a b λ-=，若数列}{n b 为递增数列，求λ的取值范围．
18． 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干技玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单
位：枝，N n ∈)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数 学期望及方差；
(ii)若花店计划一天购进16枝或l7枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明 理由．
19．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面 ,,2
1
,PD AP AB CD BC ABCD ==
= 90=∠=∠=∠BCD ABC APD .
(1)求证：⊥AP 平面PBD ；
(2)求平面PAD 与平面PBC 所成角的正弦值．
20． 已知椭圆)0(1:2
222>>=+b a b y a x E 的上顶点为B ，点P b D ),2,0(-是E 上且不在y 轴上的点，直线DP 与E 交于另一点Q ．若E 的离心率为PBD ∆,22的最大面积等于
2
23． (1)求E 的方程；
(2)若直线BQ BP 、分别与x 轴交于点N M 、，试判断||ON OM ⋅是否为定值．
21．函数kx x
x
x f --+=11ln
)(． (1)讨论)(x f 的单调性；
(2)当)1,0(∈x 时，若2
14x x
e e kx
kx -<
--，求实数k 的取值范围．
22．选修4－4:参数方程与极坐标选讲
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线αα
(sin cos 3：⎩⎨
⎧==y x C 为参数），直线06：=--y x l ． (1)在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；
(2)过点)0,1(-M 且与直线l 平行的直线1l 交C 于B A 、两点，求点M 到B A 、两点的距离之积．
23．选修4－5:不等式选讲 设实数y x 、满足14
=+
y
x ． (1)若32|7|+<-x y ，求x 的取值范围； (2)若0,0>>y x ，求证：γx xy ≥．
【参考答案】
一、选择题
1-12 ACABD AACCC BB 二、填空题
13．1 14．3
2
15．1 16．3 三、解答题
17．解：(1)因为n n a n S )1(2+=，所以112--=n n na S 两式相减可得1)1(2⋅⋅-+=n n n na a n a ，即1)1(-=-n n na a n ，所以)2(11
≥-=-n n a n a n n
所以
11
11
1===-=-a n a n a n n ，所以n a n =． (2)[
]()
)12(323)1(3
,3221
12
+-⋅=--+-=--=++n n n b b n b n n n n n n
n λλλλ
因为数列}{n b 为递增数列，所以0)12(32>+-⋅n n
λ，即1
232+⋅<n n
λ．
令1232+⋅=n C n
n ，则13
2363212323211>++=⋅+⋅+⋅=++n n n n c c n n n n ，所以}{n c 为递增数列， 所以,21=<c λ即λ的取值范围为)2,(-∞． 18．解：(1)当16≥n 时，80)510(16=-⨯=y ． 当15≤n 时，8010)16(55-=--=n n n y ．
得)(16,8015
,8010N n n n n y ∈⎩
⎨
⎧≥≤-=．
(2)(i)X 可取60，70，80．7.0)80(,2.0)70(,1.0)60(======X P X P X P ， 所以X 的分布列为
80 所以
767.0802.0701.060)(=⨯+⨯+⨯=X E ．
447.042.061.016)(222=⨯+⨯+⨯=X D ．
(ii)花店一天应购进17枝玫瑰花，理由如下： 设花店一天购进17枝玫瑰花当天的利润为Y ，那么Y 的分布列为
于是4.7654.08516.0752.0651.055)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，由(i)可知),()(Y E X E <即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润，所以花店一天应购进17枝玫瑰花．
19．(1) 证明：在底面ABCD 中，AB CD BC BCD ABC o
2
1
,90=
==∠=∠， 所以BC AD BC BD 2,2==，所以22224AB BC BD AD ==+，所以AD BD ⊥ 又平面⊥PAD 平面ABCD ，平面 PAD 平面⊂=BD AD ABCD ,平面ABCD ， 所以⊥BD 平面PAD ． 又⊂AP 平面PAD ，所以AP BD ⊥．
又090=∠APD ，即PD AP ⊥，又D BD PD = ，所以⊥AP 平面PBD ． (2) 解：在平面PAD 内过D 作AD DE ⊥，又平面⊥PAD 平面ABCD ，
平面 PAD 平面⊂=DE AD ABCD ,平面PAD ，所以⊥DE 平面ABCD ，又AD BD ⊥，所以、、DA DE DB 两两互相垂直．以D 为原点，向量DE DB DA 、、所在直线分别为
z y x 、、轴，建立空间直角坐标系，另设2=DA ．
则)1,0,1(),0,1,1(),0,2,0(P C B -，所以)0,1,1(),1,2,1(--=-=．
设),,(z y x n =是平面PBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0n n ，即⎩⎨⎧=--=+-002y x z y x ．
令1=x ，得)3,1,1(--=n ． 平面PAD 的一个法向量为)0,1,0(=m ． 因为11
11
9111,cos =++=⋅=
m n m n m n ，所以平面PAD 与平面PBC 所成角的正弦值为11
10．
20．解：(1)由题意，可得PBD ∆的最大面积为
22
332
1=⨯⨯a b ，即2=ab …① 又22
==
a
c e …②．
222c b a +=…③．
联立①②③，解得1,2==b a ，所以E 的方程为12
22=+y x ． (II)法1：设直线DP 的方程为),(),,(,22211y x Q y x P kx y -=．
联立方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=12
222y x kx y ，消去y ，得2)2(222=-+kx x ，
整理得068)12(22=+-+kx x k ． 由韦达定理，得1
26
,12822
1221+=+=+k x x k k x x ． 又直线BP 的方程为1111+-=
x x y y ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,111y x M ，同理⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,122y x N ． 所以9
)(3)3)(3(11212122121212211++-=--=-⋅-=
⋅x x k x x k x x kx kx x x y x y x ON OM 3
2)12(92466222=++-=
k k k ，即||||ON OM ⋅为定值32
．
法2：设直线DP 的方程为),(),,(,22211y x Q y x P kx y -=.
联立方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=12
2
22y x kx y ，消去y ，得2)2(222=-+kx x ，整理得
068)12(22=+-+kx x k ．
由韦达定理，得1
26
,12822
1221+=+=+k x x k k x x ． 所以2
121212212122119
)(3)3)(3(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k BQ
BP ++-=--=-⋅-=⋅
2
3
6)12(9246222=++-=k k k ．
又23||||||||=⋅=
⋅=⋅ON OB OM OB k k k k BN BM BQ BP ，所以3
2
||||=⋅ON OM ，即||||ON OM ⋅为
定值
3
2
．
21．解：(1)由
011>-+x
x
得11<<-x ，所以)(x f 的定义域为)1,1(-． k x
x f --=
2
12
)('． 因为)1,1(-∈x ，所以k x f -≥2)('． ①当2≤k 时，)(,0)('x f x f ≥在)1,1(-上递增．
②当2>k 时，由0)('<x f ，得k
x k 2
121-<<-
-，由0)('>x f ， 得k x 211--<<-或121<<-x k ，所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---k k 21,21上递减， 在⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---k 21,1和)1,21(k -上递增． 综上所述，当2≤k 时，)(x f 在)1,1(-上递增；当2>k 时，)(x f 在⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---k k 21,21 上递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---k 21,1和⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,21k 上递增． (2)由(1)知，当2≤k 时，)(x f 在)1,1(-上递增，所以当)1,0(∈x 时，
)(0)0()(x f f x f ->=>，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+->-+kx x
x kx x
x
11ln 11ln ．
从而⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧
-<+->-+kx kx
e x
x e x x
1111，两式相减得2
14x x e e kx
kx -<--．
当2>k 时，)(x f 在⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
-k k 21,21上递减，所以当)21,0(k x -∈时， )(0)0()(x f f x f -<=<．
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-<-+kx x x kx x x 11ln 11ln 从而⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧
->+-<-+kx kx e x
x e x x 1111．
两式相减得，2
14x x e e kx kx ->--，不符合题意，舍去． 综上可得，实数k 的取值范围为(]2,∞-． 22．解：(1)设点()
ααsin ,cos 3P ，则点P 到直线l 的距离为 2
63sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=παααd ． 所以当13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛
-πα时，⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21,23P ，此时24max =d ． (2)曲线C 化为普通方程为13
22=+y x ． 直线1l 的参数方程为t t y t x (22221⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=为参数）． 联立直线与椭圆，化简可得02222=--t t ，所以121-=t t ． 所以1||||||21==⋅t t NB MA ． 23．(1) 解：因为14
=+y x ，所以44=+y x ，由327+<-x y 可得32|34|+<+x x 323432+<+<--x x x ，解得01<<-x ．
(2) 证明：因为0,0>>y x ，所以xy y x y x =⋅≥+
=4241． 即1≤xy ，当且仅当214==
y x 时等号成立． 所以()01≥-=
-xy xy xy xy ，所以xy xy ≥．。