高中数学 215平面直角坐标系中的距离公式活页训练 北师大版必修2

2-1-5平面直角坐标系中的距离公式
双基达标 限时20分钟
1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )． A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 解析 由点到直线的距离公式，
知d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2
＝1， ∴a ＝－1±2，又a ＞0，∴a ＝2－1.
答案 C
2．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离等于2，则P 点坐标为
( )．
A ．(1,2)
B ．(2,1)
C ．(1,2)或(2，－1)
D ．(2,1)或(－1,2) 解析 设P (x ，y )，则⎩
⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －5＝0，|x －y －1|2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.
答案 C
3．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为
( )．
A.95
B.185
C ．3
D ．6 解析 |PQ |的最小值即为两平行线间的距离，d ＝|3＋12|5
＝3.选C. 答案 C
4．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则腰长为________．
解析 |BD |＝12
|BC |＝2， |AD |＝5－32＋4－02＝25，
在Rt △ADB 中，由勾股定理，得腰长
|AB |＝22＋25
2＝2 6.
答案 2 6
5．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是
________．
解析 由题意，可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋－12＝|c －－1|
22＋－12，即|c －3|＝|c ＋1|.
∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.
答案 2x －y ＋1＝0
6．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4.
(1)求直线l 的方程；
(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．
解 (1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，
整理，得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.
(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，
由点到直线的距离公式，得
|3×－2＋4×5＋c |
32＋42＝3，
即|14＋c |
5＝3，
解得c ＝1或c ＝－29，
故所求直线方程3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.
综合提高 限时25分钟
7．若两平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是(
)．
A ．[－11，－1]
B ．[－11,0]
C ．[－11，－6)∪(6，－1]
D ．[－1，＋∞)
解析 y ＝－2x －k －2化为2x ＋y ＋k ＋2＝0，
∴0＜|k ＋2＋4|
22＋12≤5，0＜|k ＋6|≤5.
∴－5≤k ＋6≤5，且k ＋6≠0.
∴－11≤k ≤－1，且k ≠－6.
答案 C
8．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则l 的方程为( )．
A ．3x －y －5＝0
B ．3x －y ＋5＝0
C ．3x ＋y ＋13＝0
D ．3x ＋y －13＝0
解析 当l ⊥AB 时符合要求，∵k AB ＝4－23＋3＝1
3，∴l 的斜率为－3.
∴l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.
答案 D
9．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)、B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________．
解析 显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1；
设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，
由于点A 、B 到l 的距离相等． ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1
. ∴|1－3k |＝|3k －5|.∴1－3k ＝±(3k －5)．
∴k ＝1.∴l 的方程为x －y －1＝0.
答案 x －y －1＝0或x ＝1
10．已知实数x ，y 满足关系式5x ＋12y －6＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．
解析 x 2＋y 2表示直线5x ＋12y －6＝0上的点到原点的距离，∴x 2＋y 2的最小值为原点到
直线5x －12y －6＝0的距离，即
|－6|52＋122＝613. 答案 613
11．在直线x ＋3y ＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x ＋3y ＋2＝0的距离相等，求此点坐标．
解 设所求点的坐标为P (－3t ，t )，
则点P 到原点的距离为d ＝9t 2＋t 2
＝10|t |.
又P 到直线x ＋3y ＋2＝0的距离d ＝|－3t ＋3t ＋2|10＝210
， 依题意有10|t |＝210，∴t ＝±15. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15或⎝ ⎛⎭⎪⎫35
，－15. 12．(创新拓展)△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图所示，用解析法证明：|AE |＝|CD |.
证明 如图，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . 设△ABD 和△BCE 的边长分别为a ，c ，
则A (－a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3
2c ，C (c,0)，
D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a
2，32a ，
于是|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c
2－－a 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02
＝ a 2＋ac ＋c 2
4＋3
4c 2
＝a 2＋ac ＋c 2.
|CD |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02
＝ a 2
4＋ac ＋c 2＋34a 2＝a 2＋ac ＋c 2
.
所以|AE |＝|CD |.。