2024届河南省驻马店市高三上学期期末数学试卷及答案

驻马店市2023-2024学年度高三年级期末统一考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数1i
43i
z +=-，则z =
A.17i 2525-+
B.17i
2525
- C.1
i 7
-
+ D.
1i 7
-
2.设集合}
21,A n n =-∈Z ，{
}
2
340B x x x =--…，则A B = A.{}1,1,3- B.{}3,1,1--C.{}4,3,2,1,0,1---- D.{}
1,0,1,2,3,4-
3.已知函数()f x =的定义域为R ，则2
2
4a c +的最小值为
A.1
B.2
C.4
D.5
4.如图，这是某厂生产的一批不倒肦型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为
A.
45
B.45
-
C.
35
D.35
-
5.设圆1C ：2
2
4x y +=和圆2C ：()()2
2
224x y +++=交于A ，B 两点，则四边形12C AC B 的面积为
A. D.C.6
B.4
6.已知tan 2α=，则
sin3sin cos α
αα
=
+
A.215
-
B.
215
C.79
-
D.
79
7.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为D.122
C.100B.92
A.78
8.已知O 为坐标原点，抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若
3AF BF =，则OA =
A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩X （单位：分）近似服从正态分布(
)2
75,N σ
，()600.1P X <=，()700.3P X <=，则下列说法正确的是
A.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在(]80,90内的概率为0.2
B.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在[]70,80内的概率为0.4
C.若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.25
D.σ越大，()75P X …的值越小10.将函数()sin2f x x =的图象向右平移712
π
个单位长度，再将所得的图象关于x 轴对称，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是A.()g x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B.()g x 在,42ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3g x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
为偶函数
D.()g x 在0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增11.已知函数()()[)6
ln ,0,6,
e 1,6,,x x x
f x x -⎧∈⎪=⎨
-∈+∞⎪⎩存在()3n n …个不同的正数i x ，{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，使得()()()121
2
n n
f x f x f x x x x =
=⋅⋅⋅=
，则下列说法正确的是
A.n 的最大值为5
B.n 的最大值为4
C.
()11
f x x 的最大值为e
D.
()11
f x x 的最大值为
1
e
12.在三棱锥A BCD -中，4AD BC ==，6AB BD DC CA ====，M 为BC 的中点，N 为BD 上一点，
球O 为三棱锥A BCD -的外接球，则下列说法正确的是A.球O 的表面积为11π
B.点A 到平面BCD
C.若MN AB ⊥，则6DN NB
=D.过点M 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知正项等比数列{}n a 的前3项和为26，且数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前3项和为13
18，则2a =______.
14.若函数()22,0,
4,0
x m x f x x x x ⎧+>=⎨+⎩…有最小值，则m 的取值范围是______.
15.已知ABC △是边长为3的等边三角形，D 为CB 上一点，O 为ABC △的中心，E 为ABC △内一点（包
括边界），且23AD AB mAC =+ ，则AD OE ⋅ 的最大值为______.
16.探究函数1y x x =+的图象和性质时发现它的图象实际上是双曲线，将函数1
y x x
=+的图象绕原点顺时针
旋转得到焦点在x 轴上的双曲线C ，()00,P x y 是双曲线C 上一点，则
))
2
2
0011x y --
+=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos cos 2cos a B b A c C +=，4ab =.（1）求ABC △的面积；（2）求AB 边上的高的最大值.18.（12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =且满足()111n
n n a a +-=+-.（1）令21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式；（2）求30S .19.（12分）
如图，在斜三棱柱ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面ACFD ，AB BC ⊥，四边形ACFD 是边长为2的菱形，3
DAC π
∠=
，1BC =，M ，N 分别为AC ，DE 的中点.
（1）证明：BC MN ⊥.
（2）求直线MN 与平面BCD 所成角的正弦值.
20.（12分）
一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷n 次，落于水平的桌面，记n 次底面的数字之和为n X .
（1）当2n =时，记Y 为2X 被3整除的余数，求Y 的分布列与期望；（2）求n X 能被3整除的概率n P .21.（12分）
动点(),M x y 到定点()11,0F -的距离和它到直线4x =-的距离的比是常数1
2
，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过点1F 作不与坐标轴垂直的直线l 交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，若
()11111149F A F B F Q F A F B =+，求l 的方程.
22.（12分）
已知函数()ln f x ax x =-有两个零点.（1）求a 的取值范围；
（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，21x x >，证明：823
12
e x x >.
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数学参考答案
1.B ()()()()1i 43i 1i 17i 17i 43i 43i 43i 252525z ++++=
=
==+--+，则17i 2525
z =-.2.A 依题得{}{
}
2
34014B x x x x x =--=-………，则{}1,1,3A B =- .
3.C 由题可知0a >，且440ac -…，即1ac …，所以22
444a c ac +…
…，当且仅当a
=c =
号成立，则2
2
4a c +的最小值为4.
4.C 几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，则球的半径也为r .因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，所以
23114
323r h r ππ=⨯，得2h r
=.
故l ==.设圆锥的轴截面的
顶角为α，则
2263
cos 105
r r α=
==.5.B 由题意可知()10,0C ，()22,2C --，直线AB 的方程为20x y ++=，易知四边形12
C AC B 为菱形，所
以
1C 线
直到
AB 离
的
距
d =
=，
以
所
AB ==故
121
242C AC B S d AB =⋅⋅==四边形.
6.A sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1
αααααααα
ααααα++==
+++(
)
(
)
22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+(
)
(
)
2
221tan 2tan 2
153tan 1
ααα-+==-
+.7.C 若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有22
3222
4
12
22
2
4C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余
4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有23
43C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.
同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.8.D 不妨设点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为θ，所以2cos AF AF
θ-=
，则2
1cos AF θ
=
-，同理可
得
21cos BF θ=
+.因为3AF BF =，所以1cos 2θ=，即3πθ=，23AFO π
∠=，所以
2
41cos AF θ==-.
在AFO △
中，OA =
=9.ABC ()()()()8090607070600.2P X P X P X P X <=<=<-<=……，
()()708012700.4P X P X =-<=……，故A ，B 正确.无论σ为何值，()750.5P X =…，若从高三男生中
随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.50.50.25⨯=，故C 正确，D 错误.10.BCD 由题得，()7sin 2sin 26
6g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=--
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
令6
x π
=
，则26
6
x π
π
-
=
，1
62
g π⎛⎫=
⎪⎝⎭，故A 错误；当,42x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()1sin 2,162g x x π⎛
⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，故B 正确；
sin 2cos232g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭C 正确；
当0,
3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故D 正确.11.BD
()f x x
的几何意义为过点
()(),x f x ，()0,0的直线的斜率.易知直线
y kx =与
()()[)
6ln ,0,6,
e 1,6,x x x
f x x -⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象最多只有4个交点，故n 的最大值为4.当直线y kx =与曲线ln y x =相切
时，
()11
f x x 取得最大值，设切点为()00,ln A x x ，则该直线的斜率为00ln x k x =
，又01
k x =，所以000
ln 1x x x =，解得0e x =，得()e,1A ，所以()1010max
ln 1
e f x x x x ⎡⎤==⎢
⎥
⎣⎦.12.BCD 由4AD BC ==，6AB BD DC CA ====，可将三棱锥A BCD -补形成如图所示的长方体，则
AE=
EB BF
==，所以球O
=，所以球O的表面
积为44π，故A错误.易知BC⊥平面AMD，过点A作
MD的垂线，交MD于H，故AH为点A到平面BCD
的距离.在
AMD
△中，AM MD
==4
AD=，解得AH=，故B正确.以E为原点，EB，EC，
EA所在直线分
别为x，y，z
轴建立空间直
角坐标系
，则(
(
0,0,,,,
A D，()
B
，)
M
，(
AB=-
，
(0,
BD=
.设()
0,
,
BN BD
λ
==
，
所
以
)())
0,,
MN MB BN
=+=
+=
.因为MN AB
⊥
，所以
MN AB
⋅=-=
，解得
1
7
λ=，所以6
DN NB
=，故C正确.当且仅当OM与截面垂直时，截面面积最小，最小的半径为2，故D正确.
13.6 由题可知
123
26
a a a
++=，13123
2
222
12313222
1112613
18
a a a a a
a
a a a a a a a a
+++
++=+===，则2
2
36
a=，解得2
6
a=.
14.[)
5,
-+∞函数2x
y m
=+在()
0,+∞上的值域为()
1,
m++∞，24
y x x
=+在(],0
-∞上的值域为[)
4,
-+∞，则14
m+-
…，即5
m-
…，所以m的取值范围是[)
5,
-+∞.
15.3 因为B，D，C三点共线，所以
2
1
3
m
+=，解得
1
3
m=，即D为CB上靠近点B的三等分点.利用向量的投影定义，可知当E位于点B时，AD OE
⋅
取得
最大值，最大值为
2122
33
3333
AD OB AB AC OB AB OB
⎛⎫
⋅=+⋅=⋅=⨯=
⎪
⎝⎭
.
16.2 设双曲线C的方程为()
22
22
10,0
x y
a b
a
b
-=>>，函数
1
y x
x
=+的两条渐近线方程为y x
=和0
x=，
为
角夹其4
π
故
，2
2tan 8
tan
14
1tan 8
π
π
π
=
=-，解
得tan
18
π
=，
则
1b
a
=-，
且3tan 18π==+，所以y x =和0x =
的角平分线的方程为)
1y x =
+.
联立)
1,1
,
y x y x x ⎧=⎪
⎨=+⎪⎩
解
得2
x =
所以
)
(
2
2222
22142a x y x x x =+=+=+=+
，
)
2
2212b a =
-=，
所以双曲线C
1=
，故
))
2
2
00112x y --
+=.
17.解：（1）由cos cos 2cos a B b A c C +=及正弦定理，
得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，
则1cos 2C =
，即3
C π
=，所以ABC △
的面积1
sin 2
S ab C ==
.
（2）由余弦定理可知2
2
2
2
2
2cos 4c a b ab C a b =+-=+-.因为2
2
2a b ab +…，所以2c …，当且仅当a b =时，等号成立.设h 为AB 边上的高，所以12S hc =
，即2S h c
=…，
所以AB
.
18.（1）由题可知221n n a a -=，2122n n a a +=+所以21212n n a a +-=+，
即12n n b b +=+，所以数列{}n b 是等差数列，则()12121
n b n n =+-=-（2）()
301232930135292S a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()123151514221512450
2b b b b ⨯⎛
⎫=+++⋅⋅⋅+=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭
19.（1）证明：如图，连接DM .
因为四边形ACFD 是边长为2的菱形，3
DAC π
∠=
，
所以ADC △为等边三角形，则DM AC ⊥.
又平面ABC ⊥平面ACFD ，平面ABC 平面ACFD AC =，所以DM ⊥平面ABC ，
因为BC ⊂平面ABC ，所以DM BC ⊥.因为AB DE ∥，AB BC ⊥，所以DE BC ⊥.因为DM DE D = ，所以BC ⊥平面NMD .又MN ⊂平面NMD ，所以BC MN ⊥.
（2）解：如图，过B 作DM 的平行线为z 轴，结合（1）知z 轴，BA ，BC 两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()1,0,0C
，12M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，12D ⎛ ⎝
，()
A ，
则12BD ⎛= ⎝ ，()1,0,0BC =
，()
BA = .
设平面BCD 的法向量为(),,n x y =
，
则0,0,n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得10,20,x y x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩取2y =，得1z =-，则()0,2,1n =-
.
因为N 为DE
的中点，所以110,22DN ED BA ⎛⎫
=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ .
又(0,0,DM = .
所以0,MN DN DM ⎛=-= ⎝ .
则4
cos ,5MN n MN n MN n
⋅==
=-
.设直线MN 与平面BCD 所成的角为θ，则4
sin cos ,5
MN n θ==
，
即直线MN 与平面BCD 所成角的正弦值为
45
.20.解：（1）由题可知，Y 的取值可能为0，1，2.
()11111022222P Y ==⨯+⨯=，
()111
1224P Y ==⨯=，
()111
2224
P Y ==⨯=，
则Y 的分布列为Y 0
1
2
P
1214
141113
0122444
EY =⨯+⨯+⨯=.
（2）由题可知10P =，当2n …时，1n -次底面的数字之和能被3整除的概率为1n P -，所以()11
12
n n P P -=-，则1111323n n P P -⎛⎫-
=-- ⎪⎝⎭，所以数列13n P ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是以13-为首项，12-为公比的等比数列，则1
111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪
⎝⎭，
即1
111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪
⎝⎭
.
21.解：（11
2
=
，化简得2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=.故曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆。

（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()1y k x =+，
则2211143x y +=，22
22
143
x y +=
所以11122AF x ===+，121
22
BF x =+.
（也可以根据题目条件得出()111114222AF x x =+=+，()122114222
BF x x =+=+）联立方程组()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()
22223484120k x k x k +++-=，则Δ0>，所以2122834k x x k -+=+，2122
41234k x x k -=+所以线段AB 的中点为22243,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，所以线段AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭
.令0y =，可得2
234k x k -=+，即22,034k Q k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
.
()()()
22122221212121444341142111338434224224x x k k k k k
x x x x x x ++-+++===--+++++++，由()11111149F A F B F Q F A F B =+，可得11191114F Q AF BF ⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝
⎭，则2261347
k k -+=+，解得21k =，所以l 的方程为10x y ±+=.
22.（1）解：由ln 0ax x -=且0x >，可得
ln x a x
=.设()ln x F x x =，()0,x ∈+∞，则()21ln x F x x -='，令()0F x '=，解得e x =.
当0e x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；
当e x >时，()0F x '<，()F x 单调递减.
又当x 趋向于0时，()F x 趋向于-∞，当x 趋向于+∞时，()F x 趋向于0，所以要使()F x 的图象与直线y a =有两个交点，则()0e a F <<，
故a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
（2）证明：()10F =，由（1）得121e x x <<<，则1212ln ln x x a x x ==，2211
ln ln x x x x =.设()211x t t x =>，则11
ln ln ln t x t x +=，即1ln ln 1t x t =
-，2ln ln 1t t x t =-()()212122ln ln 2ln ln 1
t t x x x x t +=+=-.设()()()2ln 11t t g t t t +=>-，则()()
223ln 11t t t g t t '-+-+=-.设()23ln 1G t t t t =-+-+，则()()()2212321t t G t t t t '--=-++=，当()1,2t ∈时，()0G t '<，()G t 单调递减，当()2,t ∈+∞时，()0G t '>，G t 单调递增.又()10G =，()()210G G <=，()2222e 6e 10e G =-+-+>，所以存在唯一的()202,e
t ∈，使得()00G t =，即000
23ln 10t t t -+-+=，所以()g t 的最小值为()0g t ，()()0000000000212ln 2148411333t t t t t g t t t t t -++⎛⎫+=
=⋅=++> ⎪--⎝⎭，所以()2
128ln 3x x >，故82312e x x >.。