2016-2017学年吉林省辽源五中高一(下)期末数学试卷与解析word(文科)

2016-2017学年吉林省辽源五中高一（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知α为第二象限角，且sinα=，则tanα的值为（）A．B．C．D．
2．（5分）已知向量=（5，3），=（3，﹣1），则3=（）A．（13，5）B．（13，﹣5）C．（7，7） D．（7，﹣5）
3．（5分）△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=6，c=5，cosB=，则b等于（）
A．6 B． C．5 D．
4．（5分）如图，在三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项，则这个数列的一个递推公式为（）
A．a n+1=8a n B．a n+1=a n+8n C．a n+1=a n+8n﹣1D．a n+1=a n+8n
5．（5分）已知||=||=2，且||=2，则与的夹角为（）
A．60°B．90°C．120° D．150°
6．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若（a+b）（sinB ﹣sinA）=sin（A+B）（b﹣c），则角A=（）
A．30°B．60°C．120° D．150°
7．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（）
A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米
8．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间[0，]上单调，且f（）=0，f（）=1，则f（0）的值为（）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣D．0
9．（5分）已知角θ的终边在直线y=3x上，则sin2θ=（）
A．B．﹣C．D．﹣
10．（5分）若sin40°（tan10°﹣m）=﹣1，则实数m的值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣D．
11．（5分）如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=4，AC=6，则=（）
A．12 B．10 C．6 D．4
12．（5分）已知数列{a n}各项为，，，，，，
…，若a1+a2+a3+…+a m=14，则a m等于（）A．B．C．D．
一、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）sin15°sin75°的值是．
14．（5分）在数列{a n}中，a1﹣，a n=1﹣（n＞1），则a1+a2+a3+…a9=．15．（5分）在边长为2的正△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且=，
=2，则=．
16．（5分）已知在△ABC中，BC=2，AC=3，C=120°，则cos（2A﹣C）=．
二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=
（I）求a2，a3，a4，并据此写出数列{a n}的通项公式（不需要证明）；
（II）根据（I）的结论，证明数列{a n}是单调递减数列．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=bcosC
（I）求角B；
（II）设b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．
19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．
20．（12分）已知=（cosωx，1），=（sinωx，cos2ωx），函数f（x）=2﹣1的最小正周期为π
（I）求ω的值及函数f（x）的最大值；
（I I）若f（）=，，求cosα．
21．（12分）在△ABC中，设三个内角分别为A，B，C，且满足A=45°，sin（B ﹣C）=
（1）求证：tanB=tanC；
（2）设AD是BC边上的高，且BC=5，求AD的长．
22．（12分）（理）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，，．
（1）若，求x1的值；
（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最
大值．
2016-2017学年吉林省辽源五中高一（下）期末数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知α为第二象限角，且sinα=，则tanα的值为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，
∴cosα=﹣=﹣，
则tanα==﹣．
故选：B．
2．（5分）已知向量=（5，3），=（3，﹣1），则3=（）A．（13，5）B．（13，﹣5）C．（7，7） D．（7，﹣5）
【解答】解：∵向量=（5，3），=（3，﹣1），
∴=[（）+（）]=（8，2）=（4，1），
∴=（）﹣=（5，3）﹣（4，1）=（1，2），
∴3=3（4，1）+（1，2）=（13，5），
故选：A．
3．（5分）△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=6，c=5，cosB=，则b等于（）
A．6 B． C．5 D．
【解答】解：∵a=6，c=5，cosB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=36+25﹣36=25，
则b=5．
故选：C．
4．（5分）如图，在三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项，则这个数列的一个递推公式为（）
A．a n+1=8a n B．a n+1=a n+8n C．a n+1=a n+8n﹣1D．a n+1=a n+8n
【解答】解：由图形可得：a1=1，a2=1+8=a1+8，a3=a2+82，…，
可得：a n
=．
+1
故选：D．
5．（5分）已知||=||=2，且||=2，则与的夹角为（）
A．60°B．90°C．120° D．150°
【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵||=||=2，且||=2，
∴=+2+=4+2+4=4，∴=2×2×cosθ=﹣2，
∴cosθ=﹣，θ=120°，
故选：C．
6．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若（a+b）（sinB ﹣sinA）=sin（A+B）（b﹣c），则角A=（）
A．30°B．60°C．120° D．150°
【解答】解：已知等式（a+b）（sinB﹣sinA）=（b﹣c）sinC，
利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），
即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA==，
则A==60°，
故选：B．
7．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（）
A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米
【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=6，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×6=3，
可得：矢=6﹣3=3，
由AD=AO•sin=6×=3，
可得：弦=2AD=2×3=6，
所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（6×3+32）=9+4.5≈20平方米．
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间[0，]上单调，且f（）=0，f（）=1，则f（0）的值为（）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣D．0
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间[0，]上单调，且f（）=0，f（）=1，
则：，
解得：T=4π，
所以：，
由于：f（）=0，
所以：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
当k=0时，，
所以：f（x）=sin（x）
则：f（0）=sin（﹣）=﹣
故选：A．
9．（5分）已知角θ的终边在直线y=3x上，则sin2θ=（）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：∵角θ的终边在直线y=3x上，
∴tanθ=3，
则sin2θ=2sinθcosθ====．
故选：C．
10．（5分）若sin40°（tan10°﹣m）=﹣1，则实数m的值为（）
A．1 B．﹣1 C．﹣D．
【解答】解：∵sin40°（tan10°﹣m）=﹣1，
又∵sin40°（tan10°﹣）=sin40°（﹣）=•（sin10°﹣cos10°）
=•（sin10°cos60°﹣cos10°sin60°）
=•sin（﹣50°）=﹣=﹣=﹣1，
∴m=，
故选：D．
11．（5分）如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=4，AC=6，则=（）
A．12 B．10 C．6 D．4
【解答】解：如右图，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
可得D，E为AB，AC的中点，
则=•（﹣）=•﹣•
=（+）•﹣（+）•
=•+•﹣•﹣•
=2+0﹣2﹣0
=×（36﹣16），
=10．
故选：B．
12．（5分）已知数列{a n}各项为，，，，，，
…，若a1+a2+a3+…+a m=14，则a m等于（）A．B．C．D．
【解答】解：∵数列{a n}各项为，，，，，，
…，
∴数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的第n项为++…=，
∴该数列是等差数列，且数列的前n项和S n=+++…+=，
∵a1+a2+a3+…+a m=14，
∴=14，
解得m=7，
∴a m=，
故选：A．
一、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）sin15°sin75°的值是．
【解答】解：∵sin15°sin75°
=sin15°cos15°
=sin30°
=．
∴sin15°sin75°的值是．
故填：．
14．（5分）在数列{a n}中，a1﹣，a n=1﹣（n＞1），则a1+a2+a3+…a9=．【解答】解：由a1=﹣，a n=1﹣，可得，
，，
…
由上可知，数列{a n}是以3为周期的周期数列，且，∴a1+a2+a3+…a9=3（a1+a2+a3）=3×．
故答案为：．
15．（5分）在边长为2的正△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且=，
=2，则=﹣1．
【解答】解：由题意可知D为BC的中点，E为AC靠近C的三点分点，
以BC，DA为坐标轴建立坐标系如图所示：
则B（﹣1，0），A（0，），D（0，0），C（1，0），E（，）
∴=（0，﹣），=（，），
∴=﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（5分）已知在△ABC中，BC=2，AC=3，C=120°，则cos（2A﹣C）=．【解答】解：∵BC=2，AC=3，C=120°，
∴由余弦定理可得：AB=
==，
∴cosA===，
sinA==，
∴cos（2A﹣C）=cos2AcosC+sin2AsinC
=（2cos2A﹣1）×（﹣）+2sinAcosA×=（2×﹣1）×（﹣）+2×
××=．
故答案为：．
二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=
（I）求a2，a3，a4，并据此写出数列{a n}的通项公式（不需要证明）；
（II）根据（I）的结论，证明数列{a n}是单调递减数列．
【解答】解：（I）数列{a n}中，a1=，a n+1=，
∴a2=×+=，
a3=×+=，
a 4=×+=，
∴a n=，
﹣a n=﹣==＜0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n
+1
∴数列{a n}是单调递减数列．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=bcosC
（I）求角B；
（II）设b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．
【解答】解：（I）∵a=bcosC，
∴由余弦定理可得：a=b×，整理可得：a2+c2﹣b2=ac，
∴由余弦定理可得：cosB===，
∵B∈（0，π），
∴B=．
（II）∵B=，b=2，△ABC的面积为=acsinB=ac，可得：ac=4，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，
∴解得：a+c=4．
19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．
【解答】解：（1）∵由函数的图象可得A=5，T=π﹣=，
∴求得T=3π，ω==．
∵点（，5）在函数图象上，可得：×+φ=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ+，k∈Z，
又∵|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=5sin（x+）．
（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈z，求得3kπ﹣≤x≤3kπ+，k∈z，
又∵x∈[0，2π]，
∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为：[0，]，[，2π]．
20．（12分）已知=（cosωx，1），=（sinωx，cos2ωx），函数f（x）=2﹣1的最小正周期为π
（I）求ω的值及函数f（x）的最大值；
（I I）若f（）=，，求cosα．
【解答】解：（I）f（x）=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），
∴T==π，即ω=1．
f（x）的最大值为．
（II）f（）=sin（）=，
∴sin（α+）=，
∵α∈（，），∴∈（，π），
∴cos（）=﹣，
∴cosα=cos（﹣）=cos（）cos+sin（）sin=﹣．
21．（12分）在△ABC中，设三个内角分别为A，B，C，且满足A=45°，sin（B ﹣C）=
（1）求证：tanB=tanC；
（2）设AD是BC边上的高，且BC=5，求AD的长．
【解答】（1）证明：在△ABC中，设三个内角分别为A，B，C，sin（B﹣C）=
则：sinBcosC﹣cosBsinC=①，
已知：A=45°，
所以：sin（B+C）=，
则：②，
由①②得：sinBcosC=，cosBsinC=，
所以：，
整理得：2tanB=3tanC，
即：tanB=tanC．
（2）解：在△ABC中，AD⊥BC，设AD=x，BD=y，DC=z，
则：，tanB=①，
tanC=②，
由于：tanB=tanC．
所以：，
整理得：3y=2z，
由于：y+z=5，
解得：z=3，y=2．
tanA=﹣tan（B+C）=1，
整理得：，结合①②和得：z=3，y=2．
解得：AD=6．
22．（12分）（理）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，，．
（1）若，求x1的值；
（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．
【解答】（理）解：（1）由三角函数的定义有，x1=cosα，
因为，
所以，
所以，
即．
（2）由图可知S1=cosαsinα，，
所以，
化简得
==，
其中，，．
因为，所以，从而，
由上可知，，
所以，当时，．
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
O D
A
B C
E
A
O
D C
B
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
P
B
C
O
A
D
H
M
N E
G
P B
C O A
D
图1 图2
4. 如图，在⊙O 中，弦AB 丄弦CD 与E ，弦AG 丄弦BC 与F 点，CD 与AG 相交于M 点．
(1)求证：︵BD ＝︵
BG ；(2)如果AB =12，CM =4，求⊙O 的半径．
5.（1）如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA 、PB
组成⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
B
A
O
E
E
F
D
C
B
O
P
E
D
B
O
P
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

图1
图2。