解三角形的实际应用举例PPT课件

试一试：
从地平面A、B、C 三点测得某山顶的仰角均为 15°，设∠BAC=30°,而BC=200 m.求山高（结果 精确到0.1 m）
P
PO 200(2 3)
C
A
O
B
试一试：
如图所示,在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A，C 两孔中心的距离，已知BC=60.5 mm, AB=15.8mm ,∠ABC=80°,则AC= 59.82 mm（结 果精确到 0.01 mm）
A0 A A0C AC AB BC AC
= (l r r cos l2 r2 sin2 )(mm)
A0 A
80O
B0
C
若180 360 则根据对称性，将上式中的 改为360 即可， 有 A0 A (l r r cos l2 r2 sin2 )(mm) 总之，当 0 360 时， A0 A (l r r cos l2 r2 sin2 )(mm)
例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠BC的长 度（如图所示）.已知车厢的最大仰角为60（指车厢AC与水平线夹 角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间 的夹角为620，AC长为1.40m,计算BC的长度（结果精确到0.01ｍ）.
C
60
D A
620
B
问 题 转 化 为 ： 已 知 ABC 的 两 边 AB=1.95m,AC=1.40m, 夹 角 BAC 6620 ，求 BC 的长.
由正弦定理得： C1D1 sin C1BD1
BC1 sin BD1C1
，
C1
C
D1 D
A1
A
BC1
C1D1 sin BD1C1 sin C1BD1

12 sin 120 sin15
(18
2 6
6)m
从而：
A1B
2 2
BC1
18
6
3 28.392m
因此： AB A1B AA1 28.392 1.5 29.892 29.89m 答：烟囱的高约为 29.89m .
（2）当 l 340mm ， r 85mm ， 80 时，利用计算器得：
A0 A 340 85 85cos80 3402 852 sin2 80 81(mm)
答：此时活塞移动的距离约为81mm .
例 4：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点 A 处有一 个水声监测点，另两个监测点 B,C 分别在 A 的正东方 20km 和 54km 处，某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8s 后监 测点 A，20s 后监测点 C 相继收到这一信号，在当时气象条件下， 声波在水中的传播速度是 1.5km/s.
对实际应用问题中的一些名称、术语的理解
(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．
(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中， 视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫俯角，如图．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所 成的角，如图中B点的方位角为α.
(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角，如南偏西 60°，指以正南方向为始边，顺时 针方向向西旋转 60°.如图中∠ABC 为北偏东 60°或为东 偏北 30°.
B
C1
D1
A1
A
C
D
B 求A1B
C1 D1
A1
C
D
A
＝45°和 ＝60°, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.
分析：如图所示，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m, 所以只要求出A1B即可.
解：在 BC1D1 中，
＝45°和 ＝60°, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.
B
BD1C1 180 60 120 ， C1BD1 60 45 15 ，
D
解：由余弦定理，得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA
1.952 1.402 21.951.40 cos 6620
≈3.571，
C
∴BC≈1.89(m)．
1.40m
答：顶杆BC约长1.89m．
60
A
620
1.95m B
例2 如图，两点Ｃ，Ｄ与烟囱底部在同一水平直线上，在点Ｃ1 ， Ｄ1，利用高为1.5ｍ的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是 ＝ 45°和 ＝60°, Ｃ、Ｄ间的距离是12m. 计算烟囱的高AB(结果 精确到0.01m).
柄在 CB0 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在 A0 处。设连杆 AB 长为 lmm ，曲柄 CB 长为 rmm ， l r
（1）当曲柄自 CB0 按顺时针方向旋转角为 时，其中 00 3600 ，求活塞移动
的距离（即连杆的端点 A 移动的距离 A0 A ）；
（2）当 l 340mm ， r 85mm， 800 时，求 A0 A 的长（结果精确到1mm）.
分析：如图所示，不难得到，活塞移动的距离为
A0 A A0C AC 易知 A0C AB BC l r
A0
A
A0 A
B
B
80O 80 0
B0
C
B0
C
所以，只要求出 AC 的长即可，在 ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可 以通过正弦定理或余弦定理求出 AC 的长.
解：（1）设 AC x ，若 0 ，则 A0 A 0 ，若 1800 ，则 A0 A 2rmm 若 0 180 ，在 ABC 中，由余弦定理，得：
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为： 实际问题 画图形
数学模型
解三角形
检验（答）
实际问题的解
数学模型的解
例 3 如图是曲柄连杆机构的示意图 当曲柄 CB 绕点 C 旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞作直线往复运动。当曲
AB2 AC2 BC2 2AC BC cosC
即 x2 2(r cos )x (l2 r2 ) 0
解得： x1 r cos (r cos )2 l2 r2 (r cos l2 r2 sin2 )(mm)
B
x2 r cos (r cos )2 l2 r2 0 （不合题意，舍去）
A
B
C
总结提升
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。
(2)解决实际应用问题的步骤
实际问题
分析转化
数学问题（画出图形）
检验
数学结论
解三角形问题
课堂小结 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知