重庆市永川中学2017届高三上学期12月月考数学试卷(文

2016-2017学年重庆市永川中学高三（上）12月月考数学试卷（文
科）
一．选择题（12小题，每题5分，共60分）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）
2．复数的共轭复数的虚部是（）
A．B．C．﹣1 D．1
3．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）
A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x）≥0
C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x）≥0
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的（）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）
A．105 B．16 C．15 D．1
7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为
Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50
8．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时候扇形的中心角弧度数是（）
A．2 B．1 C．D．3
9．某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）
A．4 B．C．D．12
10．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）
时，f（x）=﹣x2+x，设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为，则a4=（）
A．2 B．1 C．D．
11．已知圆O为Rt△ABC的内切圆，AC=3，BC=4，∠C=90°，过圆心O的直线l
交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）
A．（﹣7，1）B．．[0，1] C．[﹣7，0]D．[﹣7，1]
12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；
④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；
以上命题中假命题的序号为（）
A．①④B．②C．③D．③④
二.填空题（4小题，每小题5分，共20分）
13．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于．
14．已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，则三棱锥A﹣BCD的外接球体积为．
15．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为万元．
16．数列{a n}的通项公式为a n=2n
cos，n∈N*，其前n项和为S n，则S2016=．三．解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos
2+acos
2
=c．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若
C=，△ABC的面积为
2，求c．
18．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB ⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P﹣ACE的体积．
20．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣
4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）讨论函数h（x）=的单调性；
（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
选做题（从以下两题中任选一题作答，两题都做以第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；
（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．
（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；
（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．
2016-2017学年重庆市永川中学高三（上）12月月考数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（12小题，每题5分，共60分）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，
B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；
∴A∩B=[﹣1，2）．
故选：C．
2．复数的共轭复数的虚部是（）
A．B．C．﹣1 D．1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出原复数的共轭复数得答案．
【解答】解：∵=，
∴复数的共轭复数为﹣i，虚部为﹣1．
故选：C．
3．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）
A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x）≥0
C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x）≥0
【考点】全称命题；特称命题．
【分析】先判断命题P的真假性，再写出该命题的否定命题即可．
【解答】解：∵f（x）=﹣x+sinx，∴f′（x）=﹣1+cosx≤0
∴f（x）是定义域上的减函数，
∴f（x）≤f（0）=0
∴命题P：∀x∈（0，），f（x）＜0，是真命题；
∴该命题的否定是¬P：∃x0∈（0，），f（x0）≥0．
故选：D．
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．
【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，
由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，
∴a9=a5+4d=5+4×1=9．
故选：B．
5．“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的（）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】对于直线l：y=kx+2k﹣1，对k分类讨论：k=0时，直接判断即可得出结论；k≠0时，分别令x=0，y=0，利用直线l在坐标轴上截距相等，解出k即可判断出结论．
【解答】解：对于直线l：y=kx+2k﹣1，k=0时化为：y=﹣1，在坐标轴上截距不相等，舍去．
k≠0时，令x=0，解得y=2k﹣1；令y=0，解得x=，
由2k﹣1=，化为：（2k﹣1）（k+1）=0，解得k=﹣1或k=．
∴“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的充分不必要条件，
故选：C．
6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）
A．105 B．16 C．15 D．1
【考点】循环结构．
【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．
【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，
它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）
∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．
故选C．
7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为
Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50
【考点】几何概型；简单线性规划．
【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．
==．
【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S
△ABC
区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，
则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．
∴芝麻落入区域Γ的概率为=．
∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．
故选A．
8．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时候扇形的中心角弧度数是（）
A．2 B．1 C．D．3
【考点】扇形面积公式．
【分析】设扇形的中心角弧度数为α，半径为r，可得2r+αr=4，α=，因此
S=αr2=（2﹣r）r，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设扇形的中心角弧度数为α，半径为r，
则2r+αr=4，∴α=，
∴S=αr2=××r2=（2﹣r）r≤（）2=1，
当且仅当2﹣r=r，解得r=1时，扇形面积最大．
此时α=2．
故选：A．
9．某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）
A．4 B．C．D．12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】画出图形，说明几何体的形状，然后利用三视图的数据求解即可．
【解答】解：由三视图可知几何体的图形如图．
是三棱柱截去两个四棱锥的几何体，原三棱柱的高为：4，底面是等腰直角三角形，直角边长为2．截去的四棱锥如图：
几何体的体积为：﹣=．
故选：B．
10．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）
时，f（x）=﹣x2+x，设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为，则a4=（）
A．2 B．1 C．D．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来
的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+．可得a1=f（），q=2，可得a n，即可得出．
【解答】解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，
当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+．
a1=f（）=，q=2，
∴a n=×2n﹣1=2n﹣3，
∴a4=×24﹣1=2，
故选：A．
11．已知圆O为Rt△ABC的内切圆，AC=3，BC=4，∠C=90°，过圆心O的直线l
交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）
A．（﹣7，1）B．．[0，1] C．[﹣7，0]D．[﹣7，1]
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．
【解答】解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，
与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；
设△ABC的内切圆的半径为r，
运用面积相等可得，×3×4=×r×（3+4+5），
解得r=1，
则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），
即有圆O：x2+y2=1，
当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），
=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．
当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k＜0），
代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），
即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1， +1），
则有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）
=﹣3+，
由1+k2≥1可得0＜≤4，
则有﹣3＜﹣3+≤1；
同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），
有═﹣3﹣，
可得﹣7≤﹣3+＜﹣3；
综上可得，•的取值范围是[﹣7，1]．
故选：D．
12．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；
④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；
以上命题中假命题的序号为（）
A．①④B．②C．③D．③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．
【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正确．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点
时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．
③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变
小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．
④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF 的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．
所以选C．
二.填空题（4小题，每小题5分，共20分）
13．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都
是男生或都是女生的概率等于．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】计算从2男3女5名学生中任选2名学生和选出的2名都是男同学或都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．
【解答】解：从2男3女5名学生中任选2名学生有=10种选法；
其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，
其中选出的2名都是男同学的有=1种选法，
∴这2名都是男生或都是女生的概率是=，
故答案为：．
14．已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，则三棱锥A﹣
BCD的外接球体积为4．
【考点】球内接多面体．
【分析】取AD的中点O，连结OB、OC．由线面垂直的判定与性质，证出AB⊥BD 且AC⊥CD，得到△ABD与△ACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出
OA=OB=OC=OD=AD，所以A、B、C、D四点在以O为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出AD长，即可得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小．【解答】解：取AD的中点O，连结OB、OC
∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
∵AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC，
∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=AD．
同理可得：Rt△ABD中，OB=AD，
∴OA=OB=OC=OD=AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．
Rt△ABD中，AB=2且BD=2，可得AD==2，
由此可得球O的半径R=AD=，
∴三棱锥A﹣BCD的外接球体积为=4π．
故答案为：4π．
15．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为10万元．
【考点】频率分布直方图．
【分析】由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，利用9时至10时的销售额即可求出11时至12时的销售额
【解答】解：由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，
因为9时至10时的销售额为2.5万元，
故11时至12时的销售额应为2.5×4=10，
故答案为：10．
16．数列{a n}的通项公式为a n=2n cos，n∈N*，其前n项和为S n，则S2016=．【考点】数列的求和．
【分析】由a n=2n cos，n∈N*，可得a n=a2k=2n coskπ=2n（﹣1）k=•2n；a n=a2k
=2n=0．（k∈N*）．可得S2016=a2+a4+…+a2n．
﹣1
【解答】解：∵a n=2n cos，n∈N*，
∴a n=a2k=2n coskπ=2n（﹣1）k=•2n；
a n=a2k
=2n=0．（k∈N*）．
﹣1
∴S2016=a2+a4+…+a2n
=﹣22+24﹣…+22016
=
=．
故答案为：．
三．解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为2，求c．
【考点】数列与三角函数的综合；正弦定理；余弦定理的应用．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可．
（Ⅱ）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：
即，∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3s inC…
∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC
∴sinB+sinA+sinC=3sinC…
∴sinB+sinA=2sinC
∴a+b=2c…
∴a，c，b成等差数列．…
（Ⅱ）
∴ab=8…
c2=a2+b2﹣2abcosC
=a2+b2﹣ab
=（a+b）2﹣3ab
=4c2﹣24．…
∴c2=8
得…
18．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；用样本的数字特征估计总体的数字特征；随机事件．
【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；
（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；
（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为．
从而可估计该批产品的一等品率为0.6；
（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，
{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A 5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，
{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种．
（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7．则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以p（B）=．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB ⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P﹣ACE的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（I ）利用勾股定理的逆定理得出AC ⊥BC ，由PC ⊥平面ABCD 得出AC ⊥PC ，故而AC ⊥平面PBC ，从而得出PMACE ⊥平面PBC ；
（II ）取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则可证EF ⊥平面ABCD ，即∠EAF 为AE 与平面∠平面ABCD 所成的角，利用勾股定理求出AF ，则EF=AF ．由E 为PB 的中点可
知V P ﹣ACE =V E ﹣ABC =
．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PC ，
∵AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=
．
∴AC 2+BC 2=AB 2， ∴AC ⊥BC ．
又BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC ∩PC=C ， ∴AC ⊥平面PBC ， 又∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC ．
解：（Ⅱ）取BC 的中点F ，连接EF ，AF ， ∵E ，F 是PB ，BC 的中点， ∴EF ∥PC ，
由PC ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ．
∴∠EAF 为AE 与平面ABCD 所成角．即∠EAF=45°．
∵AF==
，
∴EF=AF=
．
∵E 是PB 的中点，
∴V P ﹣ACE =V E ﹣ABC =
=
=
．
20．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x ﹣
4y +7=0相切，且被y 轴截得的弦长为，圆C 的面积小于13．
（Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设过点M （0，3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由． 【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥
，
则﹣3（x 1+x 2）=y 1+y 2，即可得出结论．
【解答】解：（I ）设圆C ：（x ﹣a ）2+y 2=R 2（a ＞0），
由题意知，解得a=1或a=
，…
又∵S=πR 2＜13， ∴a=1，
∴圆C 的标准方程为：（x ﹣1）2+y 2=4． …
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点，
联立
，消去y 得：（1+k 2）x 2+（6k ﹣2）x +6=0，…
∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，
解得或．
x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，
假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，
∴，
解得，假设不成立．
∴不存在这样的直线l．…
21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）讨论函数h（x）=的单调性；
（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；
（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于
a≥x﹣x2lnx恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值范围可求．
【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，
①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增
②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），
h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．
（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），
由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1
所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，
记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，
当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；
当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；
故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，
所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．
选做题（从以下两题中任选一题作答，两题都做以第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
已知点M的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线l过M且与曲线C相切，求直线l的极坐标方程；
（2）点N与点M关于y轴对称，求曲线C上的点到点N的距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，圆曲线C的普通方程联立消元，令判别式等于0求出k，得出直角坐标方程，再转化为极坐标方程；
（2）求出N到圆心的距离，即可得出最值．
【解答】解：（1）M的直角坐标为（2，2），曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=4．设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，
联立方程组得（1+k2）x2+（4k﹣4k2﹣2）x+4k2﹣8k+1=0，
∵直线l与曲线C相切，∴（4k﹣4k2﹣2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣8k+1）=0，
解得k=0或k=﹣．
∴直线l的方程为y=2或y=﹣（x﹣2）+2，即4x+3y﹣8=0，
∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0．
（2）点N的坐标为N（﹣2，2），C（1，0）．
CN==，圆C的半径为2．
∴曲线C上的点到点N的距离最大值为+2，最小值为﹣2．
曲线C上的点到点N的距离的取值范围是[﹣2， +2]．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．
（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；
（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．
【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，
∴T=（﹣∞，1]；
（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，
不等式•≥t恒成立，
只需•≥t max，
所以•≥1，
又因为m＞1，n＞1，
所以＞0，＞0，
又1≤•≤=（=时取“=”），
所以≥4，
所以≥2，mn≥9，
所以m+n≥2≥6，
即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．
2017年2月15日。