微积分产生的历史背景

目录1
目录
1微积分的思想渊源2
1.1芝诺悖论：对无穷的认识 (2)
1.1.1二分法 (2)
1.1.2阿基里斯追不上乌龟 (2)
1.1.3飞矢不动 (3)
1.1.4队列移动 (3)
1.1.5芝诺悖论的解决 (3)
1.2积分思想 (4)
1.2.1圆的周长、面积问题 (4)
1.2.2抛物线下的面积 (5)
2促进微积分形成的几个问题7
2.1运动中速度与距离的互求问题 (7)
2.2曲线的切线问题 (7)
2.3最值问题 (8)
2.4求和问题 (9)
3微积分的创立10
3.1牛顿的“流数术” (10)
3.2莱布尼茨的微积分 (11)
3.3微积分发明权之争 (12)
3.4贝克莱悖论 (13)
4微积分的严格化14
4.1柯西的贡献 (14)
4.2魏尔斯特拉斯的贡献 (15)
1微积分的思想渊源2
1微积分的思想渊源
1.1芝诺悖论：对无穷的认识
芝诺（约公元前490——公元前425），出生地为意大利半岛南部的埃利亚。

古希腊数学家、哲学家，以芝诺悖论著称。

1.1.1二分法
图1:一个人从A 点走到B 点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……
微积分解释：12+122+12
3+···=11.1.2阿基里斯追不上乌龟
图2:若追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它……
微积分解释：s =a 2−a 1，v a ,v t 分别为阿基里斯和乌龟的速度。

s +v t v a s +(v t v a )2s +(v t v a
)3s +···
1微积分的思想渊源3 1.1.3飞矢不动
飞行的箭不可能在运动。

−→
1.1.4队列移动
队列是移动不了的。

AAAAAA ←BBBBBB CCCCCC→
AAAAAA BBBBBB
CCCCCC
1.1.5芝诺悖论的解决
芝诺悖论默认的逻辑次序与现代物理有所不同：芝诺悖论把时空概念置于逻辑的起点，运动的概念建立在时空概念之上；而在相对论中，将光速置于本源的位置，时间间隔是由光镜构成的自然钟定义的，空间间隔由时间间隔与光速共同决定，因此运动才是更根本的；在量子力学中，将运动与时空置于同等位置，有如下的不确定性原理：
∆x∆p≥
h
4π
,∆t∆E≥
h
4π
其中h是普朗克常数。

不等式表明：空间与动量所含的运动相互制约，时间与能量所含的运动相互制约。

1微积分的思想渊源4
1.2积分思想
古希腊人已经能够将多边形的面积可以分解为三角形的面积之和来计算任意多边形的面积。

但是对于曲边围成图形的面积难以求解。

图3:多边形的面积可以分解为三角形的面积之和
1.2.1圆的周长、面积问题
古希腊人“穷竭法”计算圆的周长、面积问题：利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周，以及面积和逐渐逼近圆的面积。

例如，圆的内接正n 多边形的周长为：l n =n ·2R sin (πn )=2πR sin (πn )πn
图4:利用圆内接正多边形的边长和、面积和逼近圆的周长、面积相关研究：
1.公元前5世纪，古希腊学者安提芬最早表述“穷竭法”，提出“化圆为方”计算圆的面积的思想；
1微积分的思想渊源5
2.公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯改进了安提芬的“穷竭法”，将其定义为：任意给定2个正的量，在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小；
3.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》和《圆的度量》中利用正多边形割圆的方法得到圆周率π的值：
31071<π<317
4.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中利用“割圆术”得到了圆周率π的值3927/1250（等于3.1416）。

“穷竭法”蕴含着“无限细分，无限求和”的现代积分思想。

1.2.2抛物线下的面积
阿基米德还将“穷竭法”广泛应用于求解曲边、曲面面积和旋转体体积，最早使用“穷竭法”进行积分运算，是微积分学的先驱。

“穷竭法”也被后人称为阿基米德原理。

例如，计算由抛物线y =x 2与直线y =0和x =1围成的曲边三角形的面积：将底边n 等分，相应的分点是
图5:计算抛物线下的面积0n ,1n ,2n ,···,k n ,···,n −1n ,n n
1微积分的思想渊源6从左边数第k个大、小矩形的面积分别为：
1 n (
k
n
)2,
1
n
(
k−1
n
)2
大、小矩形的面积和S n、s n分别为：
S n=1
n
·1
n2
(12+22+···+n2)
=n(n+1)(n+2)
6n3
=
1
3
+
1
2n
+
1
6n2
s n=1
n
·1
n2
(02+12+···+(n−1)2)
=(n−1)n(2n−1)
6n3
=
1
3
−1
2n
+
1
6n2
当n越来越大的时候，S n和s n都会越来越接近1/3，而曲边三角形的面积介于S n和s n之间，所以其面积就是1/3。

但是在使用“穷竭法”计算曲边形的面积时，对不同的曲边形，采用不同的直边形去逼近。

并且计算的过程中采用了特殊的技巧，因而不具有一般性，无法向一般的曲边形推广。

2促进微积分形成的几个问题7
2促进微积分形成的几个问题
2.1运动中速度与距离的互求问题
•已知物体移动的距离是时间的函数s =s (t )，求物体在任意时刻的速度v (t )，若是匀速运动，可以使用平均速度v 定义瞬时速度v (t )：
v =s (t 0+∆t )−s (t 0)
∆t
对于变速运动，如何定义瞬时速度？
瞬时速度的定义：
v (t )=lim ∆t →0s (t 0+∆t )−s (t 0)
∆t
•已知物体的瞬时速度是时间的函数v =v (t )，求物体经过一段时间移动的距离s (t )。

∆s =v (t )∆t
2.2曲线的切线问题
•天文学研究：计算光学望远镜镜片反射面的切线与法线的；
•运动学研究：求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向——即轨迹的切线方向。

考虑光滑曲线y =f (x )在点P (a,f (a ))处的切线问题。

图6:曲线y =f (x )在点P (a,f (a ))处的切线问题
取P 点附近的点Q (x,f (x ))，则割线P Q 的斜率为：
k P Q =f (x )−f (a )
x −a
2促进微积分形成的几个问题8
当点Q逐渐靠近点P时，割线P Q也逐渐逼近点P处的切线。

曲线在点P处的切线斜率为：
k=lim
x→a f(x)−f(a)
x−a
2.3最值问题
•战争：炮弹射程
图7:炮筒与地面夹角多大的时候可以打得最远•天文学研究：计算行星距离太阳的最近和最远距离。

图8:绕日行星的近日点与远日点
2促进微积分形成的几个问题9 2.4求和问题
•曲线的长度；
•曲线围成的面积；
•曲面围成的体积；
•物体的重心；
•引力等。

3微积分的创立10
3微积分的创立
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，为微积分的创立做出了贡献：
•法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；
•英国的巴罗、瓦里士；
•德国的开普勒；
•意大利的卡瓦列利等
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

3.1牛顿的“流数术”
图9:牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。

•1643年，牛顿出生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭；
3微积分的创立11•1661年，牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗；
•1664年，牛顿受到笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》两部著作的启发，开始研究微积分问题；
•1666年，牛顿将其研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献；
牛顿在“流数术”中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度；已知运动的速度求给定时间内经过的路程。

牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。

正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。

3.2莱布尼茨的微积分
图10:莱布尼茨（1646年7月1日——1716年11月14日），德国哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。

•1646年，莱布尼茨出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育；
3微积分的创立12•1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作，1673年开始微积分研究；
•1684年，莱布尼茨整理、概括自己的微积分研究成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用；
•1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号，并给出了摆线方程：
y =√2x −x 2+∫dx √2x −x 2
莱布尼茨被称为“数学史上最伟大的符号学者之一”。

除了微积分符号dx,dy ∫f (x )dx ，还有商“a/b ”，比“a :b ”，相似“∼”，全等“∼=”
，并“∪”，交“∩”等等都是莱布尼茨精心设计的。

3.3微积分发明权之争
•1699年，瑞士数学家德丢勒称“牛顿是微积分的第一发明人”，引起了牛顿与莱布尼兹“微积分创立者”之争的轩然大波；
•1708年，牛津的凯尔在《哲学学报》力挺“牛顿是微积分的最先发明人”；
•1711年，《学术学报》称牛顿是“剽窃”，值得注意的是莱布尼兹是《学术学报》的编委；
•1712年，英国皇家学会调查组公布调查结果支持牛顿。

值得注意的是牛顿为该学会会长，其好友哈雷为调查组组长；
•1716年，莱布尼兹匿名挑战牛顿，提出“对于一个参数曲线而言，正交常角的轨道是什么？”这样一个在他看来能难倒牛顿、证明自己发明权的问题。

当时牛顿已经不在科研一线，且已76岁高龄，但他下班拿到题，晚餐前就完美地解决了。

这让莱布尼兹输得心服口服，从此不再参与优先权的争论。

3微积分的创立13
事实上，微积分是牛顿和莱布尼兹在前人的基础上各自独立地建立起来的。

3.4贝克莱悖论
贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。

单从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。

1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。

在这本书中，贝克莱对牛顿的微积分理论进行了攻击，例如他指责牛顿，为计算x2的导数，先将x2取一个不为0的增量∆x，由(x+∆x)2−x2，得到2x∆x+(∆x)2，然后两边除以∆x，得到2x+∆x，最后突然令∆x=0，求得导数为2x。

4微积分的严格化14
4微积分的严格化
18世纪，欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，这方面的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉、拉格朗日和波尔察诺。

•达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它作为微积分的基础；
•欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论；
•拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数，并由此得到拉哥朗日中值定理；
•波尔察诺1817年发表的论文《纯粹分析证明》，其中包含了函数连续性、导数等概念的合适定义、有界实数集的确界存在性定理、序列收敛的条件以及连续函数中值定理的证明等内容。

4.1柯西的贡献
图11:柯西（1789年8月21日——1857年5月23日），法国数学家、物理学家、天文学家。

柯西的贡献：
4微积分的严格化15
从1821年到1829年，柯西相继出版了《分析教程》、《无穷小计算教程》以及《微分计算教程》，它们以分析的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义。

然而，柯西的理论只能说是“比较严格”，不久人们便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。

4.2魏尔斯特拉斯的贡献
图12:魏尔斯特拉斯（1815年10月31日——1897年2月19日），德国数学家，被誉为“现代分析之父”。

魏尔斯特拉斯的贡献：
•魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义，这就是今天极限论中的“ϵ−δ”方法；
•魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就先要使实数系本身严格化。

1857年，魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义，但他没有发表。

1872年，戴德金、康托尔几乎同时发表了他们的实数理论，并用各自的实数定义严格地证明了实数系的完备性。

这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。