人教A版数学必修第二册课时跟踪训练：第六章 6.3 6.3.1 平面向量基本定理

一、复习巩固
1．设e 1、e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1与e 1－e 2 B ．e 1＋e 2与e 1－3e 2 C ．e 1－2e 2与－3e 1＋6e 2 D ．2e 1＋3e 2与e 1－2e 2
解析：∵－3e 1＋6e 2＝－3(e 1－2e 2)，
∴e 1－2e 2与－3e 1＋6e 2共线，故不能作为基底． 答案：C
2．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝6e 1，DC →＝4e 2，则OC →
等于( )
A ．3e 1＋2e 2
B ．3e 1－2e 2
C ．2e 1＋3e 2
D ．2e 1－3e 2
解析：OC →＝12AC →＝12(AB →＋BC →
)
＝12(DC →＋BC →
)＝3e 1＋2e 2. 答案：A
3．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →
等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋b
D.11＋λa ＋λ1＋λ
b 解析：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝a ＋λ·PP 2→
＝a ＋λ(OP 2→－OP →)＝a ＋λ(b －OP →)， ∴OP →
＝11＋λa ＋λ1＋λb .
答案：D
4．在△ABC 中，D ，E ，F 依次是BC 的四等分点，以AB →＝e 1，AC →＝e 2为基底，则AF →
等于( )
A.14e 1＋34e 2
B.34e 1＋14e 2
C.14e 1－14
e 2 D.14e 1＋14e 2 解析：∵D ，E ，F 依次是BC 的四等分点， ∴AE →＝12(AB →＋AC →)＝1
2(e 1＋e 2)，
BC →＝AC →－AB →
＝e 2－e 1， ∴AF →＝AE →＋EF →＝1
2(e 1＋e 2)＋14BC →
＝12(e 1＋e 2)＋1
4(e 2－e 1) ＝14e 1＋34e 2. 答案：A
5．如图在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →
，则λ＋μ的值为( )
A ．－1 B.12 C ．1
D ．2
解析：∵B 、H 、C 三点共线， ∴AH →＝(1－t )AB →＋tAC →. ∴2AM →＝(1－t )AB →＋tAC →. ∴AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，
∴λ＝1－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝1
2.
答案：B
6．在△ABC 中，AD →＝14AB →
，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM
与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →
(x ，y ∈R )，则x ＋y 等于( )
A ．1 B.12 C.14
D.18
解析：AN →＝12(AD →＋AE →)＝12(14AB →＋14AC →)＝18AB →＋18AC →
，∴x ＝y ＝18，即x ＋y ＝18＋18＝14.
答案：C
7．已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →
等于( )
A.43a ＋23b
B.23a ＋43b
C.23a －43
b D ．－23a ＋43
b
解析：BC →＝2BD →
＝2(23BE →＋13AD →)＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b .故选B.
答案：B
8．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →
＋
211
AC →
，求实数m ＝( ) A.13 B.211 C.311
D.73
解析：由点B ，P ，N 共线，得AP →＝mAB →＋(1－m )AN →
. 又AN →＝13NC →，因此AN →＝14
AC →，
AP →＝mAB →＋14(1－m )AC →＝mAB →＋211AC →，
所以14(1－m )＝211，m ＝3
11.
答案：C
9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p 的结果是________． 解析：设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b
得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2
⇒⎩⎨⎧
x ＝－74
，
y ＝138
所以p ＝－74m ＋13
8n .
答案：p ＝－74m ＋13
8n
二、综合运用
10．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →
＝mOP 1＋nOP 2，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( )
A ．m >0，n >0
B ．m >0，n <0
C ．m <0，n >0
D ．m <0，n <0
解析：如图所示，利用平行四边形法则， 将OP →分解到OP 1→和OP 2→
上， 有OP →＝OA →＋OB →，
则OA →＝mOP 1→，OB →＝nOP 2→，
很明显OA →
与OP 1方向相同，则m >0； OB →
与OP 2方向相反，则n <0. 答案：B
11．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →
的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →
＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →
＝OD →＋OE →.
在Rt △OCD 中，因为|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →
|＝2， 故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →， 即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 答案：B
12．如图，C ，D 是△AOB 中边AB 的三等分点，设OA →＝e 1，OB →
＝e 2，以e 1，e 2为基底来表示OC →＝__________，OD →
＝______________.
解析：OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋13AB →
＝e 1＋13(e 2－e 1)＝23e 1＋1
3e 2，
OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋13AB →
＝(23e 1＋13e 2)＋13(e 2－e 1)＝13e 1＋23e 2. 答案：23e 1＋13e 2 13e 1＋23
e 2
13．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.
(1)若BP →＝P A →
，求x ，y 的值；
(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值． 解析：(1)∵BP →＝P A →，∴BO →＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →， ∴OP →＝12OA →＋12OB →
，即x ＝12，y ＝12.
(2)∵BP →＝3P A →
，
∴BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →，即4OP →＝OB →＋3OA →， ∴OP →＝34OA →＋14OB →.
∴x ＝34，y ＝1
4
.
∴OP →·AB →＝(34OA →＋14OB →)·(OB →－OA →)
＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →
＝14×22－34×42＋12×4×2×12 ＝－9.
14．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；
(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋u b ，求λ，u 的值．
解析：(1)证明：假设a ＝λb (λ∈R )，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．
由e 1、e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1，3λ＝－2，
∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )， 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，
n ＝1.
所以c ＝2a ＋b .
(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋u b ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋u (e 1＋3e 2) ＝(λ＋u )e 1＋(－2λ＋3u )e 2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋u ＝4，－2λ＋3u ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝3，u ＝1.
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