(高中物理)高二物理第二章第5节电子束在示波管中的运动上科选修31

高二物理第二章第5节电子束在示波管中的运动上科版选修3-1
【本讲教育信息】
一、教学内容
选修3－1 带电粒子在电场中的运动 二、考点点拨
带电粒子在电场中运动是高中阶段一个特别重要的计算，是高考的一个重点和难点。

三、跨越障碍
〔一〕带电粒子在电场中的平衡
解决这类问题与解决力学中物体的平衡问题的方法相同：选取研究对象，进行受力分析，注意电场力的特点，再由平衡条件列出具体方程求未知量。

在对粒子进行受力分析时，要注意两点：
1. 要掌握电场力的特点，如电场力的大小和方向不仅跟场强的大小和方向有关，还与带电粒子的电荷量和电性有关；在匀强电场中，同一带电粒子所受的电场力处处是恒力；在非匀强电场中，同一带电粒子在不同位置所受的电场力不同。

2. 是否考虑重力要依据具体情况而定
〔1〕根本粒子：如电子、质子、氘核、氚核、α粒子、离子等一般都不考虑重力〔但并不忽略质量〕。

〔2〕带电颗粒：如液滴、尘埃、小球等除有说明或明确的暗示外，一般不能忽略重力。

例1：质量都是m 的两个完全相同、带等量异种电荷的小球A 、B 分别用长l 的绝缘细线悬挂在同一水平面上相距为2l 的M 、N 两点，平衡时小球A 、B 的位置如以下列图甲所示，线与竖直方向夹角为α=30°，当外加水平向左的匀强电场时，两小球平衡位置如以下列图乙所示，线与竖直方向夹角也为α=30°，求：
〔1〕A 、B 小球的电性及所带电量Q ；
〔2〕外加匀强电场的场强E 。

解析：〔1〕A 球带正电，B 球带负电。

两小球相距l l l d =︒-=30sin 22
由A 球受力平衡可得：22l
Q k tan mg =α
解得k
mgl Q 332
=
〔2〕此时两球相距l l l d 330sin 22=︒+='
根据A 球受力平衡可得：αtan )
3(2
2
mg l Q k EQ =- 解得：3
3910mgk
l E =
〔二〕带电粒子在电场中的加速
带电粒子在电场中的加速，假设不计粒子的重力，那么电场力对带电粒子做的功等于带电粒子动能的增量。

1. 在匀强电场中：
2
022
121mv mv Uq Eqd W t -=
==〔功能关系、动能定理〕 at v v m
Eq
a t +==
0,〔牛顿定律、匀变速直线运动公式〕
2. 在非匀强电场中：
2
022
121mv mv Uq W t -=
=〔功能关系、动能定理〕 例2：如下列图，A 、B 为平行板电容器的两个极板，A 板接地，中间开有一个小孔，电
容器电容为C ，现通过小孔连续不断地向电容器射入电子，电子射入小孔时的速度为0v ，单位时间内射入的电子数为n ，电子质量为m ，电荷量为e ，电容器原来不带电，电子射到B 板时均留在B 板上，求：
〔1〕电容器两极板间能到达的最大电势差？
〔2〕从开始射入电子到电容器两极板间到达最大电势差所用时间为多少？ 解析：〔1〕电子从A 板射入后打到B 板，A 、B 间形成一个电场，当A 、B 板间到达最大电势差U 时，电子刚好不能再打到B 板上，有
2021mv Ue = 那么e
m v U 22
=
〔2〕电子打到B 板后，A 、B 板就是充了电的电容器，当电势差到达最大时，
net cU Q ==，那么所用时间2
2
2ne cm v t =
例3：如图甲所示A 和B 表示在真空中相距为d 的两平行金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀强电场，图乙表示一周期性的交变电压波形，横坐标代表时间t ，纵坐标代表电压U ，从t =0开始，电压为一给定值0U ，经过半个周期，突然变为0U -；再过半个周期，又突然变为0U ；……如此周期性地交替变化。

在t =0时，将上述交变电压U 加在A 、B 两板上，使开始时A 板电势比B 板高，这时在紧靠B 板处有一初速度为零的电子〔质量为m ，电荷量为e 〕在电场作用下开始运动。

要想使这电子到达A 板时具有最大的动能，那么所加交变电压的频率最大不能超过多少？
解析：在电子由B 板向A 板运动的过程中，A 板电势高于B 板时电子做加速运动、动能增加，A 板电势低于B 板时电子做减速运动、动能减小。

因此，要让电子到达A 板时具有最大动能，在电子从B 到A 运动的时间内应一直处于加速状态，这就要求2
T t ≤
在电压0U 作用下电子的加速度md
e
U a 0=
据2at 2
1
d =得电子到达A 板所用时间e
U md t 02
2=
设交流电周期为T ，那么f
T t 21
2=≤即f e U md 21202≤ 解得：2
8md eU f ≤
〔三〕带电粒子在匀强电场中的偏转
只讨论带电粒子垂直进入匀强电场时发生的偏转。

〔1〕粒子在电场中的运动情况：如果带电粒子以初速度0v 垂直于场强方向射入匀强电场，不计重力，电场力使带电粒子产生加速度，做类平抛运动。

〔2〕运动规律：垂直于电场方向上的分运动——匀速直线运动：0v v x =t v s x 0=
平行于电场方向上的分运动——匀加速直线运动 粒子飞越电场时，侧移距离和偏转角：
飞越电场所用的时间0
v l t =
侧移距离y=2
2
2222121mdv Uql t md Uq at == 偏转角β：2
0tan mdv Uql
v at v v x y ===β 应用：示波器
〔1〕构造：示波器的核心部件是示波管，它由电子枪、偏转电极、荧光屏组成 〔2〕工作原理：如下列图，电子先由加速电压1U 加速，再经偏转电压2U 偏转
例4：如下列图，离子发生器发射出一束质量为m ，电荷量为q 的离子，从静止经加速电压1U 加速后，获得速度0v ，并沿垂直于电场方向射入两平行板中央，受偏转电压2U 作用后，以速度v 离开电场，平行板长为L ，两板间距离为d ，求：
〔1〕0v 的大小；
〔2〕离子在偏转电场中运动的时间t ；
〔3〕离子在偏转电场中受到电场力F 的大小； 〔4〕离子在偏转电场中的加速度a ；
〔5〕离子在离开偏转电场时的横向速度y v ；
〔6〕离子在离开偏转电场时的速度v 的大小； 〔7〕离子在离开偏转电场时的横向偏移量y ；
〔8〕离子离开偏转电场时的偏转角θ的正切值θtan 解析：〔1〕不管加速电场是不是匀强电场，Uq W =都适用，所以由动能定理得
20121mv q U =
，m
q
U v 102= 〔2〕由于偏转电场是匀强电场，所以离子的运动类似于平抛运动，即：水平方向为速
度为0v 的匀速直线运动；竖直方向为初速度为零的匀加速直线运动。

在水平方向上q
U m
L
v L t 102==
〔3〕偏转电场的场强d U E 2=，离子所受电场力d
q
U Eq F 2==
〔4〕加速度md
q U m F a 2== 〔5〕在偏转电场中的竖直方向上有1
21222mU q
d LU q U m L md q U at v y =
⨯== 〔6〕离开电场时的速度是水平方向上的速度0v 和竖直方向上的速度y v 的合速度
1
22
2
22122224U md U qL U qd v v v y
x +=
+=
〔7〕1
2
22421dU U L at y ==〔和带电粒子的m 、q 无关，只取决于加速电场和偏转电场〕
〔8〕偏转角1
2
2tan dU LU v v x y =
=θ 〔和带电粒子的m 、q 无关，只取决于加速电场和偏
转电场〕
〔四〕带电粒子在重力场与电场中的运动
由于带电粒子在匀强电场中所受的电场力和重力都是恒力，因此处理方法一般有两种： 1、正交分解法：将复杂的运动分解为两个互相垂直的直线运动，再根据运动合成的观点去求复杂运动的有关物理量；
2、等效“重力〞法：将重力与电场力进行合成，合F 等效于“重力〞，m
F a 合
=等效于“重力加速度〞，合F 方向等效于“重力〞的方向，即在重力场中的竖直方向。

例5：如下列图，在水平向右的匀强电场中，有一质量为m ，带正电的小球，用长为L 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ，现给小球一个垂直于悬线的初速度。

使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。

问：
〔1〕小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？最小速度是多少？ 〔2〕小球在B 点的初速度为多大？ 解析：〔1〕设小球静止时的位置B 为零势能点，据动能和等效重力势能的总和不变可知，小球在与B 点对应在同一直径上的A 点时，等效重力势能最大，动能最小，速度也最小。

设小球在A 点时速度为A v ，此时细线拉力为零，等效重力提供向心力
故小球的最小速度为
θ
cos gL
〔2〕设小球在B 点的初速度为B v ，据能量守恒L mg mv mv A B 22
1212
2效+= 由上面解得θ
cos 5gL
v B =
四、小结
掌握好带电粒子在电场中的运动规律和根本方法是关键 五、预习导学(第八讲期中考试复习) 1、库仑定律
2、电场力的性质：电场强度电场力 电场线
3、电场能的性质：电势电势差 等势面
4、电容器 电容
【模拟试题】〔答题时间：60分钟〕
1. 如下列图，有一质量为m 、带电量为q 的油滴，被置于竖直放置的两平行金属板间的匀强电场中，设油滴是从两板的中间位置，并以初速度为零进入电场的，可以判定
A. 油滴在电场中做抛物线运动
B. 油滴在电场中做匀加速直线运动
C. 油滴打在极板上的运动时间只决定于电场强度和两板间距离
D. 油滴打在极板上的运动时间不仅决定于电场强度和两板间距离，还决定于油滴的荷质比
2. 电子垂直射入两带电平行金属板间的匀强电场中，通过电场后发生了侧移，那么以下说法正确的选项是
A. 电子射入的速度越大，侧移量越大
B. 两板间电压越大，侧移量越大
C. 两板间距离越大，侧移量越大
D. 两板间场强越大，侧移量越大
*3. 如下列图，细线一端悬于O 点，另一端挂一质量为m ，带电量为q +的小球，把它们放入水平向右的匀强电场中，将小球从B 点拉到A 点，使悬线恰水平. 然后将小球自然释放，假设Eq mg =，那么小球在到达B 前
①沿弧线AB 运动，细线张力越来越大 ②沿弧线AB 运动，细线张力先增后减 ③做匀加速直线运动，细线张力为零
④假设小球将到达最低点B 时突然剪断细线，小球将做与竖直方向成45°角的匀变速直线运动
其中正确的选项是 A. ①② B . ②③ C. ③④ D. ②
4.如下列图，质量为m ，带电荷量为q 的滑块沿绝缘斜面匀速下滑，当滑块滑至竖直向下的匀强电场时，滑块运动的状态为
A. 继续匀速下滑
B. 将加速下滑
C. 将减速下滑
D. 以上情况都可能发生
*5.图甲表示真空中水平放置的一对相距足够大的平行金属板，两板之间加电压后，各瞬间电场可视为匀强电场，从0=t 时刻起，在两板间加上某种交变电压，此时恰有一个质子以水平初速沿着两板之间的中心线射入电场，假设不计重力，以向上方向为正方向，那么图乙表示质子在竖直方向上的速度—时间图像。

由此可知两板间的电压〔设上板带正电时电压为正值〕随时间变化的图像是
*6.如下列图，在两极板中间有一静止的电子，在交变电压作用下电子的运动情况是〔不计重力，0=t 时，M 板电势为正，板间距离足够长〕
A. 一直向M 板运动
B. 一直向N 板运动
C. 先向M 板运动，再一直向N 板运动
D. 在M 、N 间做周期性的来回运动
**7.如下列图，一根用绝缘材料制成的轻弹簧，一端固定，另一端与一质量为m 、带正电荷、电荷量为q 的小球连接，弹簧的劲度系数为k ，小球静止在光滑的绝缘水平面上。

当施加水平向右的匀强电场E 后，小球开始做简谐运动，当小球经过O 点时加速度为零，A 、B 两点为小球能够到达的最大位移处，那么以下说法中正确的选项是
A. 小球的速度为零时，弹簧伸长为k Eq /
B. 小球在做简谐运动的过程中机械能守恒
C. 小球做简谐运动的振幅为k Eq /2
D. 小球在由O 点到B 点的运动过程中，克服弹力做的功一定大于电场力做的功
*8.如下列图，在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m 的带电小球，另一端固定于O 点，把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放，小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，求小球经过最低点时细线对小球的拉力。

**9.如下列图，在光滑绝缘水平桌面上固定一个光滑绝缘的挡板ABCD ，AB 段为直线，BCD 段是半径为R 的圆，挡板处在场强为E 的匀强电场中，电场方向与圆的直径MN 平行，现使一带电荷量为q +，质量为m 的小球由静止从斜挡板内侧上某点释放，为使小球沿挡板内侧运动，从D 点抛出，求：
〔1〕小球从释放点到N 点沿电场方向的最小距离； 〔2〕在上一问中小球经过N 点时对挡板的压力大小
**10.质量为m ，带电荷量为q +的微粒在O 点以初速度0v 与水平方向成θ角射出，如下列图，微粒在运动过程中所受的阻力大小恒为f
〔1〕如在某方向加上一定大小的匀强电场后，能保证微粒仍沿0v 方向做直线运动，试求所加匀强电场的最小值；
〔2〕假设加上大小一定，方向水平向左的匀强电场，仍保证微粒沿0v 方向做直线运动，并且经过一段时间后微粒又回到O 点，求微粒回到O 点时的速度 【试题答案】
1. 答案：BD 解析：因为粒子初速度为零，且受的重力和电场力均为恒力，故粒子做匀加速直线运动，所以B 正确。

设油滴打在板上的时间为t ，那么由221t m Eq s =得Eq
ms
t 2=，故答案D 正确。

2. 答案：BD
解析：2
2
20221)(2121mdv UqL v L m Eq at y === 由上式可知B 、D 正确.
3.答案：C
解析：小球受力如下列图
小球将沿与竖直方向成45°角斜向下运动. 绳子张力为零，到B 点时剪断绳子，小球的运动状态不变。

4. 答案：A
解析：进入电场前：θμθcos sin mg mg = 进入电场后：
故粒子仍做匀速运动，应选A 5. 答案：B
解析：由速度图像知：粒子先向上做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，接着再向上做匀加速直线运动，匀减速直线运动… 6.答案：D
解析：画出粒子运动的速度图像，如下列图，由图像知粒子做往复运动。

7. 答案：D
解析：O 点加速度为零，那么有kA Eq =，振幅为k
Eq
A =，故C 选项错。

速度为零时，弹簧伸长为零，或k
Eq
x 2=
，故A 选项错；小球运动过程中除弹簧弹力做功外，电场力也做功，机械能不守恒，故B 选项错；小球由O 点到B 点由动能定理得：KO KB E E W W -=-弹电，
而0,0≠=KO KB E E ，所以弹电W W <，故D 选项正确。

8. 答案：)sin 1cos 23(θ
θ
+-
=mg F
解析：带电小球在运动过程中，只有重力和电场力做功，小球由A 到B 由动能定理得
2
2
1mv Eql mgl =
-，由A 到C 得到0)sin 1(cos =+-θθEql mgl 在B 点有l
m v m g T 2
=-
解以上关系式得到小球经过最低点时细线对小球的拉力)sin 1cos 23(θ
θ
+-=mg F
9. 答案：〔1〕2
5R
s =
〔2〕Eq N 6= 解析：〔1〕小球经过N 点时恰好无压力，此时s 最小，R
v m Eq M
2=
〔2〕过N 点时R
v m Eq N N
2
=-221N mv Eqs =Eq N 6=
10. 答案:〔1〕q mg E /cos min θ=〔2〕θ
θ
sin sin 0f mg f mg v v +-=
解析：〔1〕如图，要使微粒做直线运动 有θcos min mg q E = 那么q mg E /cos min θ=
〔2〕如图，微粒做直线运动θθcos sin mg Eq = 在O →A →O 过程中有 在O →A 过程中有
解以上关系式得到微粒回到O 点时的速度为：θ
θ
sin sin 0
f m
g f mg v v +-=。