学业水平考试2016-2017学年高一数学人教版必修1课件：2.1.1.2 指数幂及运算

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2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r_＋_s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝_a_r_s _ (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr (a>0，b>0，r∈Q). 温馨提示：分数指数幂 amn不能理解为mn 个 a 相乘；任何有意 义的根式都能化为分数指数幂的形式.
∴两边平方得：a＋a－1＋2a12＋－21＝9，
故 a＋a－1＝7.
将 a＋a－1＝7 两边平方得 a2＋a－2＋2a·a－1＝49.
因此 a2＋a－2＝47.
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规律方法 条件求值问题的两个步骤及一个注意点
(1)两个步骤：
(2)一个注意点： 若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，要注意
数指数幂，其结果是(
1
3
A.a2 B.a2
5
C.a6
)
7
D.a6
a2 表示成分 a·3 a2
(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A.－ x＝(－x)2(x>0)
6 B.
1
y2＝y3(y<0)
34 C.x－4＝
1x3(x>0)
1
D.x－3＝－
3
x(x≠0)
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1
(2)通常规定分数指数幂的底数 a>0，但要注意在像(－a)4＝
4
－a中的 a，则需要 a≤0.
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2.对有理数指数幂的运算性质的三点说明 (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广 而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变， 指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂 的积. (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加， 除相减，幂相乘. (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂.
C.25
25 D. 9
解析 68215－14＝354－14＝35－1＝53.
答案 B
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2.计算2a－3b－23·(－3a－1b)÷4a－4b－35得(
)
A.－32b2
B.32b2
C.－32b73
37 D.2b3
解析 原式＝－ 4a6－a4b－－4b1353＝－32b2.
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3.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算 性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由 内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.
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1.68215－14的值是(
3
5
A.5
B.3
) 3
1
所以 m＝3，即 x2＋x－2＝3.
1
1
1
1
(2)设 n＝x2－x－2则 n2＝x＋x－1－2x2·x－2＝7－2＝5.
1
1
∴n＝± 5，即 x2－x－2＝± 5.
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[课堂小结] 1.分数指数幂与根式互化
(1)指数幂 amn不可以理解为mn 个 a 相乘，它是根式的一种新写 法.在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的 量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以 分数指数幂与根式可以相互转化.
解析 (1)
a2 ＝ a·3 a2
a2 2＝ a·a3
a2
51
(a3 )2
＝a25＝a2－56＝a76. a6
1
(2)选项 A 中，(－x)2无意义，不正确.
B 中，6 y2＝y26＝(－y)13(y<0)，B 不正确.
C 中，x－34＝1x34＝ 4 1x3(x>0)正确. D 中，x－13＝1x13＝ 3 1x≠－3 x(x≠0)，不正确. 答案 (1)D (2)C
1
1
解析 [(－ 5)－3]－3＝(－ 5)(－3)(－3)＝－ 5.
答案 － 5
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4. a ＝________. 3 a2
1
解析
∵ 3
aa2＝aa223＝a12－23＝a－16＝61a.
答案 1 6a
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类型一 根式与分数指数幂的互化 【例 1】 (1)(2016·济宁高一检测)设 a>0，将
1
1
31
(2)原式＝233×1＋24·24－
2 3
2 3
2
1
21
1
1
＝233＋21－233×2＝233＋2－233＝2.
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类型三 分数指数幂的综合应用
1
1
-
【例 3】 已知 a2＋a 2＝3，求 a＋a－1，a2＋a－2 的值.
1
1
-
解 ∵a2＋a 2＝3，
【训练 2】 化简求值：
(1)5x－32y21·－14x－1y12·－56x13y－16；
1
1
(2)(2016·温州高一检测)计算：32－3×－760＋84×4 2－
(
2
)
2 3
3
.
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解 (1)原式＝5·－14·－56x－23－1＋13y12＋12－16
＝2254x－43y56.
答案 A
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3.
3
614－
338＋3 0.125的值为________.
解析 原式＝ 522－ 3 323＋ 3 123＝52－32＋12＝32.
答案
3 2
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4.(2015·淮安高一检测)不用计算器求下列各式的值： (1)21412－0.30－16-34；
整体代换及平方差、立方差公式的灵活应用.
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【训练 3】 若例 3 条件变为：已知 x＋x－1＝7，求值：
1
1
1Hale Waihona Puke 1(1)x2＋x－2；(2)x2－x－2.
1
1
1
1
解 (1)设 m＝x2＋x－2，两边平方得 m2＝x＋x－1＋2x2·x－2＝
7＋2＝9.又 m>0，
1
解析 结合正分数指数幂的运算性质可知 234＝4 23.
答案 B
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5
2.
a－2可化为(
2
A.a－5
5
B.a2
)
2
C.a5
5
D.－a2
解析 5 a－2＝(a－2)51＝a－25. 答案 A
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1
3.计算[(－ 5)－3]－3的结果是________.
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规律方法 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是 熟记根式与分数指数幂的转化关系式： ①根指数 指数幂的分母. ②被开方数(式)的指数 分数指数幂的分子. (2)当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写 出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.
(2)原式＝[ab3(ab5)2]2＝[a·a2b3(b5)2]2＝(a2b 2 )2＝a4b 4 .
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类型二 利用分数指数幂运算性质化简与求值 【例 2】 (2016·宁波高一检测)计算：
(1)a23b12·－3a12b13÷13a16b56. (2)(0.064)－13－－780＋811614＋|－0.01|12. 解 (1)原式＝－3÷13a23＋12－16b21＋13－65＝－9a. (2)原式＝(0.43)－13－1＋32441＋(0.12)12 ＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3110.
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3.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一 个确定的______.有实数理数指数幂的运算性质同样 适用于无理数指数幂.
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即时自测
1.234化成根式形式为( )
A.3 24 B.4 23
C.4 32 D.2 43
11
(2)设 x2＋x-2＝2，求 x＋x－1.
第二十六页，编辑于星期日：八点 六分。
解 (1)原式＝9412－1－(24) -34＝32－1－2－3＝12－18＝38.
(2)由 x12＋x-12＝2，得x21＋x－122＝4，即 x＋x－1＋2＝4，
故 x＋x－1＝2
第二十七页，编辑于星期日：八点 六分。
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规律方法 (1)①由分数指数幂的概念，将根式化成分数指数幂.
②利用分数指数幂的运算性质进行化简.
(2)对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指 数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化 小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.
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【训练 1】 将下列各式化为分数指数幂的形式.
(1)
1
(x>0)；(2) ab3 ab5(a>0，b>0).
3
x·（5 x2）2
1
解
(1)原式＝ 3
1＝ x·x252 3
1＝ x·x45
3
1＝
9
x5
x
9 5
1
3
=
1
3
x5
=
3
x5
.
11
1
11
3 11 1 3 11
1.分数指数幂
(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：amn＝_n__a_m_ (a＞0，
m、n∈N*，且 n＞1)；
1
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝__a_m_n (a＞0，m、
n∈N*，且 n＞1)； (3)0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂__没_有__意__义___.
第2课时 指数幂及运算
目标定位 1.理解分数指数幂的含义；熟练掌握用分数指数幂 表示一个正实数的n次方根.2.会进行根式与分数指数幂的相 互转化，能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简.3. 经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，了解实 数指数幂的含义.
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自主预习