专题1：库仑定律讲解

f（a b） f（a b）a
f（2a）
b

（3）由上述两个实验得到的 值
若假定
(r)

1 r 2
1
则
f
(r)

1
1
2
r 1

f
(0)
f (0)不影响结 果，略去
对小量做级数展开
f
(r)

1
1
2
r r

1
1

2
r e ln r

1
1
2
r1
q外 在 (r a) 处的电位
v内

q内 2b2
f（2b）
f（0）
q外 2ab
f（a
b）
f（a
b）
v外

q外 2a2
f（2a）
f（0）
q内 2ab
f（a

b）
பைடு நூலகம்
f（b

a）
V外=V内=V（充电时，内、外球用导 线连接）
消去q外，解出q内，得充电后内球分配的电量
2
)
如图： r1 r2
（1）若n﹥2，则
dF是指向ds2，同理 Ⅱ、ⅳ区域，q合力指向球心。
（2）若n﹤2，则
dF是指向ds1，同理 Ⅱ、ⅳ区域，q合力背离球心。
实验证明 q在球内不受力，∴只有n=2，由此
F 1 r2
证明：库仑力满足平方反比定律
2）同心导体球，内球壳电量或电位为零的实验 对平方反比定律的证明：
（1）一个均匀带电球壳在空间任意一点P的电位
令：球壳半径为 a ，
球壳带电面密度为
选直角坐标如图
直角坐标 x, y, z
球坐标
r, ,
Pz
r
b
a
0

ds y
ds a2 sindd
x
r 2 a2 b2 2ab cos
带电面元 ds 在 P 点的电位贡献为


ds1 cos1
r12

ds2
cos 2
r22
由于 1 2
d

ds1
cos
r12
ds2 cos
r22
q 受 ds1 与 ds2 的合力为 dF
令 q与 同号，设库仑力

1 rn
因此
dF

(
qds1
r1n

qds2
r2n
)

qd cos
(
1 r n2
1

1 r n2

k
q1q2 r2
F

1
4
0
q1q2 r2
F

1
4 0
q1q2 r3
r
适用范围：
1）真空。 在介质（导体）中，将极化（感应） 电荷“固化”在原地，在真空中满足定律要
2）求静止的点电荷之间。 相对于谁静止？ 相对于观察者静止 施力电荷静止， 受力电荷可以运动，但满足（v﹤﹤c）
3）定律的尺度范围。
2、关于几种验证方法的说明：
1）均匀带电球壳内部场强为零，既对内部任意一点 电荷作用力为零的实验可以确立平方反比定律。
证明：
电荷面密度
Ⅰ ds1
Ⅳ
r1 q
球内任意一点电荷 q
（充分小）
Ⅱ
r2
O d ds2
Ⅲ
过 q 的一对对顶立体小锥角 d
在球面上截取小面元 ds1 与 ds2
立体角为：
d
f 'dr
b 0,r r1
积分结果为
当 P 在壳外时， r 的上下限分别为
ba ~ ab
v

2 a
b
f
(r2 )
f
(r1)
q f
2ab
(a b)
f
(b a)
当 P在壳上时，r 的上下限分别为
0 ~ 2a
v q f (2a) f (0)
2a 2

ln
r

1 (
2!
ln
r)2

1 (
3!
ln
r)3

1 略去 2 及更高次方项
f（r） r（1 ln r）
于是，得到：
v'内
1 2
a
a
b
v
ln
4a2 a2 b2
a ln b
a b
普通物理专题研究 电磁学专题
主讲：钱小陵
专题一 关于库仑定律的讨论
一、库仑定律的表述及适用范围
表述：
真空中两个静止的点电荷 q1, q2
之间的作用力, 与其电量之积成正比，
与他们之间的距离平方成反比，
作用力沿他们的连线，同性相斥，
异性相吸
数学表述：
q1 r1

r
q2

r2
o
F

q1q2 r2
F
10-13~109厘米。
10-10~10-13厘米，但不遵守叠加原理。
一、库仑定律的建立与验证：
1、库仑定律的建立（1785年，库仑完成）
1755年，富兰克林，带电小球不受杯上电荷作用力。 1766年，普利斯特利，带电金属空腔内部不带电。 1769年，罗宾逊，直接测量 F∝r-（2+ ） 1772年，卡文迪许，空腔带电导体实验精度≤2×10-2 1785年，库仑，扭秤实验，精度≤4×10-2 1864年，麦克斯韦，同心导体球实验，精度≤5×10-5 1936年，普里泼顿等，精度 ≤2×10-9 1968年，考克兰等，精度≤9.2×10-12 1970年，巴特勒特等，精度≤1.3×10-13 1971年，威廉姆斯等，精度≤6×10-16 1980年，威廉姆斯等，精度≤10-19
dv E dl Erdr
p
p
令两个单位点电荷间斥力与距离的关系为
(r)

并令另一新函数 f (r) 的导数 f ' (r) r (r)dr
r
因此 Er (r)ds


dv (r)dsdr (r)a2 sindddr
r
r
a 2 sin f ' (r) dd
当 P 在壳内时，r 的上下限分别为
ab ~ ab
v q f (a b) f (a b)
2ab
（2）两个同心球壳的电位计算
令：内外球壳的半径分别为 a, b
外 内
b
电量分别为 q内，q外
电位分别为 V内，V外
其中：
a
V内= q内在 (r b)处的电位+
q外在(r b) 处的电位 V外 = q内在(r a)处的电位+
r
根据电位叠加原理，整个球壳在P 点的电位为
v a2 sin
f ' (r) dd
r
:0~
: 0 ~ 2
rdr absind
sind rdr
ab
对 积分 化简

v a2 2 sin
f ' (r) d
0
r
v 2
a


,r r2
bf（2a） a f（a b） f（a b） q内 2vb f（2a）f（2b） f（a b） f（a b）2
卡文迪许实验，内球电位为：
v内 ，

q内 2b 2
f（2b）
麦克斯韦实验，内球电位为：
此时，外球壳接地放电，V外=0（不保证q外=0）
v内'' v1